1. Все планеты движутся по круговым орбитам с разделенным эксцентриситетом; Солнце находится в одной из точек эксцентриситета.

2. Скорость планет обратно пропорциональна их расстояниям от Солнца.

Второе положение - так называемый закон радиуса.

Обращает на себя внимание не только спекулятивный характер этого закона, но и то обстоятельство, что Кеплер вообще искал такого рода закономерности, оставив попытки построения эквантной окружности. Тем самым он уже отошел от аксиомы Платона, то есть от утверждения, что планеты движутся с постоянной угловой скоростью. Определяющим здесь было его мистическое отношение к Солнцу. Воображаемые точки, вокруг которых, как считалось, вращаются небесные тела, были для него чем-то призрачным. Его тревожило уже то, что в системе Коперника Солнце на самом деле не находилось в центральной точке (и потому она не могла быть названа "гелиоцентрической" в строгом смысле)^[47] и выполняло лишь вспомогательную роль источника света. Для Кеплера же Солнце представляло собой священный центр Вселенной, воплощение Бога-Отца. Поэтому от Солнца должна была исходить сила, заставлявшая планеты кружиться вокруг него (Кеплер связывал ее со Святым Духом, а неподвижные звезды - с Богом-Сыном). Поэтому так важно было определить эту силу, и поэтому вычислению подлежало движение планет по отношению именно к Солнцу, а не к воображаемой точке в пространстве.

Именно эта страстная убежденность в гелиоцентризме дала Кеплеру возможность искать и находить нечто вроде закона радиуса, а непоколебимая уверенность, выросшая на почве возрожденческого гуманизма, в том, что принципы устройства Вселенной постижимы для человеческого разума, придавала ему смелость, позволявшую видеть в рискованных экстраполяциях силу доказательства. Вдохновляемый своей философией, он неотступно продвигался вперед, приступив к решению задачи, которая не могла не казаться аристотелианцам изумительной дерзостью - связать закон радиуса с принципом рычага, а затем с гильбертовским магнетизмом, тем самым связывая небесные и земные движения. Отсюда уже было недалеко до воззрения на Вселенную не как на подобие божественной формы жизни (instar divine animalis), а как на подобие часового механизма (instar horologii)^[48]. Однако в своей гипотезе о причинах движения планет, которую можно было бы рассматривать как предвосхищение теории тяготения Ньютона, он вновь возвращается к аристотелизму, абсолютно противопоставляя покой и движение (он полагал, что если бы не сила, генерируемая Солнцем, то движение планет из-за их естественной инерции остановилось бы). Это закрывало ему путь к закону инерции и, следовательно, как мы теперь понимаем, к наиболее важному аргументу в пользу идеи Коперника.

После размышлений над небесной механикой он вернулся к теории движения Марса. Рассмотрим рис. 2.

По закону радиуса скорость планеты в точке P на орбите с центром C обратно пропорциональна расстоянию = PS до Солнца S: следовательно, время, затрачиваемое на движение в этом сегменте, пропорционально PS. Но как выразить эту зависимость точной формулой? Казалось невозможным найти прямое отношение между радиусом и временем движения. И здесь Кеплер вспомнил так называемую теорему Архимеда, выражающую отношение площади круга и радиуса окружности. Согласно этой теореме площадь сектора QCP можно рассматривать как предел суммы бесконечного числа бесконечно малых треугольников с высотой, равной радиусу окружности. Это подсказало Кеплеру идею связать время, за которое планета проходит путь PQ, не непосредственно с радиусом окружности, а с площадью сектора, описываемого радиус-вектором. Не долго думая, он применил теорему Архимеда, благодаря чему в его распоряжении оказалось достаточно сомнительное средство выражения через площадь, описываемую отрезком CP (то есть радиус-вектором орбиты) времени, необходимого для прохождения планетой соответственной дуги орбиты, и тем самым он получил по крайней мере косвенную возможность выразить соотношение времени и радиус-вектора в следующей формуле:

(1)                             

где t - время прохождения планетой дуги PQ, а Т - время, затрачиваемое планетой на прохождение всей орбиты. Если r = 1, то площадь QCP = 1/2 , площадь CSP = 1/2 e sin , а - площадь круга.

Из (1) следует:

(2)                             

может быть вычислено, если известно t (хотя методы, которыми располагал Кеплер, могли давать только грубое приближение).

Итак, расстояние между планетой и Солнцем определяется уравнением

(3)                              ,

получаемым, в соответствии с рис. 2 по закону косинусов. Наконец, из этого следует уравнение

(4)                              ,

из которого по простому отношению косинусов выводится значение v, и, следовательно, положение планеты в момент времени t.

В этих рассуждениях используются: 1) закон радиуса, с помощью которого устанавливается отношение между временем и радиусом; 2) модификация теоремы Архимеда, посредством которой от вывода площади сектора круга, описываемого радиус-вектором, переходят к вычислению площади QSP, то есть чего-то совершенно отличного от сектора круга. Таким образом, отношение между временем и радиус-вектором преобразуется в отношение между временем и площадью круга. Едва ли можно говорить об эмпирических основаниях закона радиуса, а указанный переход от теоремы Архимеда к ее модификации не был обоснован математически. И то, и другое было хорошо известно Кеплеру. К этому надо добавить, что в уравнениях 1 - 4 фигурирует эксцентриситет e, что стало возможным только благодаря hypothesis vicaria, которые Кеплер вначале отвергал.

Таким образом, и на этой стадии исследований Кеплер вновь показал, что его не слишком заботила точность и достаточность эмпирического, математического или теоретического обоснования, хотя, как это видно из отрывка, приведенного в начале этой главы, их возможность им предполагалась. Поэтому нет ничего удивительного в том, что, исходя из минимума эмпирических данных, он в конечном счете отказался и от остававшейся части аксиомы Платона - от допущения о круговой форме планетарных орбит - как ранее он отказался от другой ее части, от допущения о постоянстве угловой скорости планет.

На этот шаг он решился в ходе новой попытки определить орбиту Марса. Вначале Кеплер применил уже описанный метод, использованный при вычислении орбиты Земли. Так же как тогда он сравнивал различные положения Земли по отношению к константному положению Марса, так и теперь три различных положения Марса соотносятся им с одним и тем же положением Земли. Тем самым были определены три расстояния Марса от Солнца и три угла, образуемых соответствующими радиус-векторами. С помощью утомительных, хотя и простых, тригонометрических вычислений он определил линию апсид и значение эксцентриситета Солнца для трех различных случаев. Все результаты были различны. Из этого мог быть сделан только один вывод: орбита Марса не может быть круговой.

Этот революционный для астрономии вывод был сделан на основе тех же смелых допущений, как и при вычислении орбиты Земли. Почва, на которой теперь стоял Кеплер, была не менее зыбкой, чем раньше: теория Тихо, hypothesis vicaria и вера в правильность данных Тихо.

И на заключительной стадии исследования, когда он пришел к заключению, что орбиты планет должны иметь форму эллипса, спекулятивный дух ему не изменил. Обратимся к рис. 3.

Прежде всего, следуя принципу простоты, Кеплер постулировал отклонение орбиты Марса от круговой формы по формуле b = 1-e², где 1 - радиус, e - эксцентриситет Солнца, b - ось действительной орбиты. Позднее он представил b = 1 - (e²/2).

Но однажды он сделал открытие, суть которого мы сможем понять, взглянув на рис. 4, представляющий орбиту Марса. Он заметил, что

(5)                              .

Здесь - наибольший угол, образованный схождением сегмента P₁S (планета-Солнца) и P₁C (планета-центральная точка окружности). Если затем просто подставить предполагаемое значение b в вычисления, то получится

а поскольку e << 1, то

,

но 1 + (e²/2) равно 1.00429, что согласуется с вычисленным результатом (5).

"Когда я увидел это, - писал Кеплер, - я словно бы очнулся ото сна и увидел свет"^[49].

Полученное отношение, хотя оно было лишь приблизительным и верным только благодаря малости e, немедленно вдохновило его на новые спекуляции, представленные рис. 5.

Он предположил, что (см. рис. 5) отношение, аналогичное уравнению (5) должно выглядеть следующим образом:

.

Иначе говоря, отношение расстояния между Солнцем и планетой на "истинной" орбите к расстоянию между Солнцем и планетой на "воображаемой" орбите аналогично отношению r/b на рис. 3.

При r = 1 получаем:

SP cos = PM

PM = 1 + e cos .

Из этого следует, что планетарные орбиты выражаются формулой

(6)                                          

После изнурительных трудов - "paene usque ad insanium" - Кеплер установил, что уравнение (6) выражает формулу эллипса, хотя и приблизительно (надо напомнить, что математический аппарат, доступный Кеплеру, был еще достаточно примитивен).

Итак, и на этой стадии, как мы видим, Кеплер вновь прибегает к использованию предположений, спекуляций и грубых приближений; более того, проверка уравнения (6) предполагает сравнение значений SP_e с теми значениями, которые были получены методами определения расстояния, применяемыми Кеплером; критические замечания об этих методах были сделаны выше.

В заключение рассмотрим еще один шаг Кеплера (см. рис. 6).

В соответствии с формулой (1) здесь также должно выполняться соотношение

(7)                              .

Другими словами, время t, необходимое, чтобы планета прошла по эллиптической дуге QP_c, относится ко времени T, затрачиваемому на прохождение всей орбиты, так, как площадь SQP_c относится к общей площади эллипса, где b - радиус малой оси, а большая ось принята за 1. Здесь Кеплер делает предположение, аналогичное тому, какое уже было сделано ранее (см. рис. 4 и 5):

(8)                              .

Согласно (1)

.

Если подставить это значение в (8) и (7), то в результате простых вычислений получим:

.

Решающий шаг в этом выводе - принятие за исходный пункт уравнения (7) - есть не что иное, как новое и не менее проблематичное применение теоремы Архимеда; теперь она применяется к сектору эллипса, вершиной которого является один из его фокусов, в котором помещается Солнце.

Теперь можно сформулировать два первых закона Кеплера [ср. уравнение (6)]:

(9)                             

(10)                           

Уравнение (10) говорит о том, что планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Уравнение (9) говорит, что в равные промежутки времени радиус "Солнце-планета" пробегает равные площади.

По отношению к Марсу, который является центральной проблемой и исходным пунктом всех рассуждений, это означает, что  и e в уравнении (9) могут быть определены только благодаря ранее отброшенным (даже в усовершенствованном виде) hypothesis vicaria. Поэтому они использовались как при вычислениях SP_с, так и в методе оценки и проверки полученного результата (включая определение трех положений Марса по отношению к одной и той же позиции Земли).

Вот как в действительности обстояли дела с обоснованием двух первых законов Кеплера, обоснованием, которое еще и сегодня часто представляют чем-то таким, что возникло исключительно на базе опыта.

Кстати сказать, теория Птолемея в сравнении с теорией Кеплера вовсе не проигрывает, ибо, во-первых, из-за малости орбитальных эксцентриситетов планет система Птолемея описывает движения планет почти с той же точностью, как теория Кеплера (что же касается Меркурия, то он является для обеих теорий своего рода enfant terrible); во-вторых, аксиома Платона имела ясное философское обоснование, тогда как для Кеплера эллиптическая форма планетарных орбит, естественно, оставалась загадкой. Его попытка обосновать эту форму спецификой движений планет не привела к успеху. В-третьих, то же можно сказать о его усилиях опровергнуть аристотелианскую аргументацию против идеи вращения Земли. Все это было типичными гипотезами ad hoc^[50]. Неудивительно, что его "Новая астрономия" была встречена современниками без всякого энтузиазма.

Анализ методов и доказательств, фигурирующих в "Новой астрономии", позволяет нам сказать со всей определенностью: если бы Кеплер следовал доктринам, принятым в теории науки нашего времени, он должен был бы отбросить оба своих закона, значимость которых вряд ли кто-либо сегодня осмелится отрицать. Покажем это на двух примерах: методологии науки Поппера-Лакатоса и индуктивной логики Карнапа.