http://profbeckman.narod.ru/

Рис. 11. Примеры применения диаграммы паутины: а – диаграмма итераций x0=0,3 при cos(x) (итерации сходятся к неподвижной точке при x≈0.739); б – диаграмма итераций x0=0,5 при x2 – 1,1 (итерации сходятся к двум циклам в {p+, p-} ≈ {0,0916, -1,0916}); в – фазовый портрет итерации функции f(x)=x3. Эта функция имеет три неподвижные точки, x=-1, 0, 1. Если |x0|>1, то итерации расходятся до бесконечности, а если |x0|<1, то итерации сходятся к неподвижной точке х=0.

Арифметические последовательности могут показывать только один тип конечного поведения, неограниченность (если общая разница не равна нулю). Геометрические последовательности могут быть либо неограниченными, либо сходятся к неподвижной точке. Ни арифметические, ни геометрические последовательности не проявят циклического или хаотического поведения. Классическим примером последовательности, которая показывает все эти конечные поведения, является логистическая последовательность.

18.3 Отображение Бернулли

Прежде, чем рассматривать отображение сдвига Бернулли, коротко остановимся на свойствах сдвига Бернулли.

Преобразование двоичной последовательности, состоящее в сдвиге всех её символов на одну позицию, называют сдвигом Бернулли. Сдвиг Бернулли базируется на операторе сдвига.

Оператор сдвига – оператор, который переводит функцию x f(x) в x f(x+a). В анализе временных рядов оператор сдвига называется оператором задержки.

Важное свойство сдвига Бернулли – возможность перехода его к хаотическому поведению. Возникающие явления имеют все свойства динамического хаоса: 1) плотные периодические орбиты, 2) транзитивность динамической системы, 3) чувствительность системы к начальным условиям.

Замечание. Топологически транзитивная динамическая система имеет точки, которые движутся при итерации от одного сколь угодно малого открытого множества к любому другому; такую систему нельзя разложить на два непересекающихся множества с непустыми внутренними областями, которые не взаимодействуют при преобразовании. Каждая минимальная динамическая система транзитивна (система минимальна, если все орбиты плотны). Транзитивность – важный компонент хаоса. Впрочем транзитивность совместима и с регулярным поведением траекторий. Транзитивная система бывает либо очень правильная, либо очень нерегулярная.

Сдвиг Бернулли демонстрирует следующие хаотические свойства: сохранение фазового пространства, ограниченность и детерминированность. Сохранение фазового пространства чрезвычайно важно в гамильтоновых системах, поскольку теорема Луивилля гарантирует сохранение объема фазового пространства по мере развития системы во времени. Преобразование ограничено, так как оно является результатом линейных преобразований. Аналитически описание этого преобразования:

Детерминизм - важнейшая особенность отображения Бернулли. Отображение сдвига полностью детерминировано, но очень чувствительно к начальным условиям, в результате чего трансформация становится непредсказуемой, возникает хаос.

Приведём простой пример сдвига Бернулли для случая {x0}=(1/2, 1/2) 1 этап. Делим квадрат на две колонки одинаковой ширины.

2 этап. Сжимаем каждый столбец прямоугольником высотой 1/2 и основанием 1.

3 Этап. Перемещаем A0 на верх B0 формируя квадрат

Рис. 10. Операции при осуществлении сдвига Бернулли для случая

{x0}=(1/2, 1/2).

Этот алгоритм можно обобщить. Например, если {x0}= (1/3, 1/3, 1/3), то, используя тройные разложения, сдвиг Бернулли осуществляется операциями:

1 этап. Разрезаем квадрат на три столбца одинаковой ширины

2 этап. Сжимаем каждый столбец прямоугольником высотой 1/3 и основанием 1

3 этап. Перемещаем A0 на верх B0 формируя квадрат

Согласно теореме Колмогорова эти трансформации являются изоморфными. Отображение Бернулли определяется как одномерная дискретная динамическая

система с кусочно-определенной системной функцией по правилу

(13)

http://profbeckman.narod.ru/

спараметром >0.

Вданной части главы мы ограничимся случаем =2, при котором и возникает сдвиг

Бернулли.

Рис. 12. Отображение сдвиг Бернулли.

Преобразование сдвига заключается в умножении исходного числа на некоторый множитель (обычно это 2), после чего сохраняется только дробная часть. Это – верный шаг к хаосу, поскольку значимость некоторого дальнего возмущения всё время растёт.

Одномерное рекурентное отображение – сдвиг Бернулли, заключается в удваивании числа х через регулярные промежутки времени с отбрасыванием в случае

необходимости целой части произведения 2х. Требуется, чтобы число х всё время должно оставаться заключённым между 0 и 1.

Отображение сдвига Бернулли (отображение сдвига, shift map) записывается в виде одномерного рекуррентного отображения :[0,1] [0,1]

xn+1= n(xn)={2xn}=2xn(mod 1), (14)

где xn [0, 1], фигурные скобки или оператор mod 1 означают операцию отбрасывания целой части числа при сохранении его дробной части (фигурные скобки - дробная часть числа). Геометрически это эквивалентно сдвигу растянутого отображения в исходную область.

Решение Ур. 14:

Рис. 13. График отображения Бернулли: а – первая итерация; б – несколько итераций

Анализ динамики сдвига Бернулли провести легче, если перейти к двоичной системе счисления.

Замечание. Двоичное представление имеет конечное число членов после точки начала системы счисления, например 3*2-5=0,00011. Это означает, что ряд двоичных рациональных чисел есть бассейн аттрактора неподвижной точке в нуле. Есть, однако, рациональные числа в двоичном представление, но вместо того, чтобы быть конечными, они повторяются: конечная последовательность цифр повторяется бесконечно (т.е такие числа содержат периодическую часть которой может предшествовать непериодическая часть):

вместе с их бассейном притяжения отображения сдвига.

Тогда начальное условие представляется как x0=0, a1, a2..., что эквивалентно

где каждое ai – это 0 или 1.

Действие отображение сводится к отбрасыванию первой цифры и к сдвигу влево последующих цифр двоичного числа

x1=f(x0)=0.a2a3... (18)

Эта операция называется сдвигом Бернулли. Свойства отображения сдвига Бернулли.

http://profbeckman.narod.ru/

1.Чувствительность к начальным условиям: два начальных условия, незначительно отличающиеся друг от друга (на множитель 2-m, так что отличие имеет место в после m-ой цифры в двоичном числе), после m итераций расходятся весьма существенно.

2.При случайном начальном условии последовательность итераций имеет те же

вероятностные характеристики, что бросок монеты, т.е. n(x) будет меньше или больше 1/2 в зависимости от того, равна ли аn+1 нулю или единице. . Эта редукция хаотической динамики до случайной последовательности чисел 0 и 1 (т.е. до последовательности Бернулли) путём фиксированного разбиения фазового пространства называется «символической динамикой».

3.Информация увеличивается на 1 бит при одной итерации (энтропия Колмогорова).

4.Существует счётная бесконечность начальных условий (х0 рациональное число), которые приводят к (неустойчивым) периодическим орбитам.

5.Дополнение этого множества (в теории множеств дополнение множества A относится к элементам не принадлежащим A) имеет меру 1, т. е. большинство начальных условий приводят к хаотическим орбитам.

Вотображении сдвига неподвижная точка: x =0, нестабильная точка f'(x )=2>1, период-2 орбита: {x }={1/3, 2/3},нестабильная точка: (f2)'(x )=4>1 Все периодические орбиты нестабильны. Отображение Бернулли способно на хаотическое поведение. Его график и диаграмма, иллюстрирующая динамику на протяжении нескольких итераций, приведены на рис.13.

Если число представлено в двоичной форме, то им легко манипулировать. При этом путь к хаосу лежит в повышении роли менее значимых цифр в числе. Например, возьмём 0.1010010 ... и умножим его на 2. В двоичной системе счисления умножение на 2 соответствует сдвигу всех цифр числа влево на один разряд. Поэтому результат 1.010010

.... Для взятия модуля, отбросим целочисленную часть, и получим 0,010010 ... При операции сдвига случайное число приобретает любую сложность, в результате чего оно становится хаотичным, ничем не отличаясь от шума. Это при том, что процесс, приведший к хаосу, был полностью детерминированным. В этом отображении

также периодические отображения для чисел, например, 0,101... 0,1 0.

Пример 1. При операции сдвига отбрасывается старший разряд, так что xn+1 получается из xn

сдвигом Бернулли: xo=0.01011..., x1=0.1011... x2= 0.011 ...

Пример 2. Последовательность (xo, x1...) называется орбитой (фазовой траекторией) точки xo.

Например, х0=0,1101010111..., х1=0,1010101110...,

Пример 3. Если х0=0,4, то:

Из таблицы понятно, почему отображение Бернулли при =2 называют сдвигом Бернулли: двоичная цифра сдвигается влево, а цифра перед десятичной меткой отбрасывается. После каждого шага итерации система забывает ровно одну цифру двоичного представления, так что некоторая информация теряется.

Пример 4. Сдвиг Бернулли – пример детерминированного хаоса. Можно представить примеры последовательностей, начинающихся с какого-нибудь произвольного числа, например: (0,13; 0,26; 0,52; 0,04; 0,08; 0,016; 0,16; 0,32; 0,64; 0,028) и (0,14; 0,28;, 0,56; 0,12; 0,24; 0,48; 0,96; 0,96; 0,84).

Как видно, незначительное отличие в начальных условиях уже на 4-ом шаге порождает

http://profbeckman.narod.ru/

x0=0.0101...=0.(01)=1/112=1/3, x1=0.1010...=0.(10)=102/112=2/3.

Две последние комбинации x2=0.(00)=0 и x3=0.(11)=1 неподвижные точки отображения (с периодом 1). Приведем также две орбиты с периодом 3

x0= 0.001001...=0.(001)=12/1112=1/7, x1=0.(010)=2/7, x2=0.(100) =4/7

и x3=0.(110)=6/7, x4=0.(101)=5/7, x5=0.(011)=3/7.

Как уже упоминалось, преобразование в ходе отображения Бернулли состоит из равномерного растягивания исходного отрезка в 2 раза и сдвига его правой половины на - 1. Такое растяжение ведёт к экспоненциальной расходимости близлежащих точек. Сдвиг сохраняет ограниченность области отображения, но приводит также к его необратимости, т.к. две различные точки xn отображаются в одну xn+1. Необратимость следует также из отбрасывания старшего символа последовательности при сдвиге Бернулли. После каждой итерации отображения расстояние между близлежащими точками удваивается, поэтому гладкое распределение также расплывается в два раза. Так как все точки лежат в ограниченном интервале [0,1], то в пределе n→∞ возникает однородное распределение точек ρ(x)=1. Отображение не меняет этого распределения и оно называется

стационарным или инвариантным распределением (заметим, что точки неустойчивых периодических орбит образуют сингулярные инвариантные распределения).

один шаг итераций увеличивается в два раза. Поэтому показатель Ляпунова для данного отображения равен

=ln2=0.693.

Предположим, что взято очень близкое, но другое начальное значение х0. Очень близкое – значит, что достаточно большое количество цифр двоичной записи до некоторой позиции, например, 333, зафиксированы, а дальнейшие цифры – хвост – не

определены. Тогда после 333 временных шагов начало хвоста как раз придвинется к разделительной запятой. Дальнейшая динамика сдвигов будет зависеть от символов хвоста и может в корне отличаться от поведения системы при исходных начальных условиях. Малое изменение начального условия за одну итерацию при сдвиге Бернулли увеличивается в два раза. Показатель Ляпунова для данного отображения =ln2=0,693...

Описание эволюции динамической системы типа сдвига Бернулли в терминах траектории неадекватно, так как для адекватности траектория должна оставаться почти одной и той же при незначительном изменении начальных условий. Поэтому используют статистическое описание, вводя плотность вероятности пребывания системы в каждой точке х интервала (0, 1). Важно, что при многократном применении оператора отображения к произвольному распределению плотности вероятности оно стремится к

Для отображения пилы

C(m) = 2-m/12. (22)

Таким образом перемешивание ведёт к экспоненциальному затуханию корреляций с ростом m.