Добавил:

Tamaki_Syo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Физика конденсированных сред

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.03.2022

Размер:

3.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 5023 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

(t) , b+q λ

§ 6. Интеграл столкновений

221

квантово-статистическое усреднение по состояниям фононной

системы, ε – энергия электрона с волновым вектором k .

Подставляя явный вид гамильтониана Hep (4.76) в формулу (4.84) и учитывая, что временная зависимость бозеоператоров bq λ (t) определяется соотношениями (4.72), а квантово-статистические средние по фононным переменным для произведений операторов рождения уничтожения имеют вид

< b+

bq λ

>= Nq λδq q δλ λ , < bq λ b+

>= (Nq λ + 1)δq q δλ λ ,

q λ

< bq λ bq λ >=< b+

>= 0,

q λ

Nq λ = exp

Ωq λ

− 1 −

(4.85)

kБT

Ωq λ – энергия фонона с волновым вектором q и поляризацией

λ , получаем

πt

Wk k =

|Cq λ|2

< k |eiq r|k >

2Nq λδ(εk − εk − Ωq λ) +

q λ

(Nq λ + 1)δ(εk − εk + Ωq λ) .

(4.86)

+ < k |e−iq r|k >

При записи последнего выражения мы учли, что

−

4 sin2[(ε

k −

ei/ (εk −εk

+ Ωq λ)t

+ Ωq λ)t/2 ]

−

− k

ε + Ωq λ)

1/ 2(ε

i/ (ε

ε + Ωq λ)2

= 2π t δ(εk − εk + Ωq λ)

и воспользовались определением δ -функции

δ(x) = lim

sin2(x t)

t→∞ π x2 t

Выражение (4.86) естественным образом разбивается на два

слагаемых, одно из которых описывает переходы из состояния k

всостояние k с рождением фонона и пропорционально Nq λ + 1 ,

222 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

другое пропорционально Nq λ и описывает процессы с поглощением фонона. Из закона сохранения энергии и импульса сле-

дует, что из состояния с волновым вектором k и энергией ε

возможны переходы в состояние с волновым вектором k = k q

и энергией εk = εk ± Ωq λ . Эти два процесса приводят к умень-


шению числа электронов в состоянии k . Кроме того, возможны
		в со-
переходы из состояния с волновым вектором k + q	и k −q	в со-

стояние k . Эти переходы будут увеличивать число электронов


в состоянии k . Перечисленные возможные переходы схемати-
чески изображены на рис. 28.
			k+q
	2 Wk k+q		Wk+q k 1
			k
Wk k q		4	3 Wk q k
			k q
Рис. 28. Схема переходов между состояниями электронов
с энергией ε	, ε	, ε	, дающих вклад в изменение
k	k+q	k−q

числа электронов в состоянии с волновым вектором k

Пользуясь формулой (4.86), запишем выражения для вероятностей этих переходов:

2πt

iq r

1. Wk+q k =

|Cq λ|

< k + q |e

|k >

Nq λδ(εk+q − εk − Ωq λ),

q λ

2πt

−iq r

2. Wk k+q =

|Cq λ|

+ 1)

< k |e

|k + q > (Nq λ

q λ

2πt

×δ(εk − εk+q + Ωq λ),

2 (N + 1)

3. W

C 2

< k q e−iq r k >

k−q k

| q λ|

− |

q λ

2πt

×δ(εk−q − εk + Ωq λ),

iq r

4. Wk k−q =

|Cq λ|

< k |e |k − q > Nq λδ(εk − εk−q − Ωq λ).

q λ

(4.87)

∂f

∂t ст

§ 6. Интеграл столкновений

223

Формулы (4.87) дают квантово-механическую вероятность перехода за время t между состояниями электронов с волно-

вым вектором k k q , усредненную по состояниям фононной системы. Для нахождения скорости изменения функции распределения

входящей в правую часть кинетического уравнения (4.6), необходимо найти скорости изменения числа электронов с волно-

вым вектором k , принимая во внимание заполнение начальных состояний и наличие пустых мест в конечных состояниях. Учитывая, что переходы 1 и 3 приводят к уменьшению числа

электронов в состоянии k , а переходы 2 и 4 – к увеличению числа электронов в этом состоянии, получаем

	∂f				π
	∂tk	ст = 2				q λ \|Cq λ\|2
						+ Ωq λ) +
×			−	εk+q
	δ(εk			εk+q

(Nq λ + 1)f + (1 − f ) − Nq λf (1 − f + ) ×

k q k k k q

Nq λfk−q (1 − fk ) − (Nq λ + 1)fk (1 − fk−q ) ×
× k	− k−q	−	!	(4.88)
δ(ε	ε		Ωq λ) .

При выводе выражения (4.88) мы воспользовались четностью дельта-функции δ(x) = δ(−x) и учли, что, в силу условия

нормировки,	\|k + q > 2		< k + q \|eiq r	\|k > 2
< k \|e−iq r	\|k + q > 2	=	< k + q \|eiq r	\|k > 2	= 1.

Пользуясь выражением (4.88), можно показать, что для упругого рассеяния электронов на фононах удается ввести время релаксации импульса электронов τp(εp) и обосновать представление интеграла столкновений в приближении времени релаксации (4.7). Действительно, рассеяние можно считать упругим, если энергия фононов Ωq λ много меньше средней тепловой энергии электронов ε kБT . Раскладывая в этом случае экспоненту, входящую в знаменатель функции Планка Nq λ по малому параметру Ωq λ/kБT , и ограничиваясь линейным приближением, получаем

Nq λ =	kБT	1, Nq λ + 1 Nq λ.	(4.89)
	Ωq λ

224 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Если учесть результат (4.89), то можно существенно упростить выражение для интеграла столкновений (4.88) за счет со-

кращения членов, в которые функция fk распределения входит квадратичным образом:

∂f		π
∂tk				V (k,
	ст = 2
			k	q

V (k, k, ) =
				\|Cq

− −

k, )(f f )δ(ε ε ),

k k k k

λ|2 Nq λ(δk k+q + δk k−q).

(4.90)

Далее, если записать неравновесную функцию распределения в виде

= f0(ε ) + f1(k)

	∂f0	(ε )
		k
= f0(εk) −	∂ε		(χ(εk) k),	(4.91)
		k

где χ(εk) – неизвестная векторная функция, зависящая только от энергии электронов, то разность функций распределений в формуле (4.90) можно выразить через поправку к функции

распределения f1(k)

	fk − fk =	∂f0(ε )	(χ(εk) k) 1 −		kχ	,
		k
		∂εk			kχ
где k	и kχ – проекции векторов k и			k на вектор χ(ε ) ;
χ						k

τ (ε )

k k


		∂f			f1(k)
		∂f			f1(k)
	2π	∂tk		= τk (εk) ,
		∂tk	ст	= τk (εk) ,
		k				−

=		V (k, k, ) 1

kχ	δ(εk − εk).	(4.92)
kχ

Хотя результат (4.92) не очень удобен для практических вычислений, он оправдывает сделанное предположение о возможности введения времени релаксации для описания кинетических явлений в проводящих кристаллах и указывает пределы применимости этого приближения.

§ 6. Интеграл столкновений

225

Совершенно аналогично можно получить структуру интеграла столкновений при рассеянии на экранированном кулоновском потенциале, магнитных примесях.

Задача 4.4

Выразить среднее значение < c+ν cν > произведения операторов рождения c+ν и уничтожения cν бозонов (фермионов) в состоянии |ν > через бозонную (фермионную) функцию распределения.

Решение

Покажем, что < c+ν cν >≡ Sp{ρ0c+ν cν } = fν δν ν , где ρ0 – равновесное статистическое распределение

	1	ln Sp{e−βH0 }, H0
ρ0 = exp{−β(Φ + H0)}, Φ =	β	ln Sp{e−βH0 }, H0	= εν cν+cν , (4.93)
			ν

β = 1/kБT – обратная температура, fν – равновесная функция распределения бозонов или фермионов.

Если, кроме энергии, в системе имеются и другие интегралы дви-

жения, то ρ0 следует записать в виде
ρ0 = exp{−β(Φ + H0 + Pk Fk )},	(4.94)

где Pk – операторы, представляющие собой сохраняющиеся величины (термодинамические координаты), Fk – соответствующие этим координатам термодинамические силы. Например, в случае Фермичастиц очень часто сохраняющейся величиной является число частиц. В этом случае оператор статистического распределения в представлении вторичного квантования следует записать в виде

ρ		= exp		+	&		, Φ =	1 ln Sp e−β Pν (εν −ζ)nbν		.
ρ		= exp	β[Φ + (ε		ζ)n ]		, Φ =	1 ln Sp e−β Pν (εν −ζ)nbν		.	(4.95)
	0		{−	ν −		ν }		β	{	}	(4.95)
			ν

мическим

В формуле (4.95) nν = cν cν , величина Φ представляет собой термодинамический потенциал системы частиц. Величина ζ является хипотенциалом для фермионной системы. Для бозонов ζ = 0 .

Интересующая нас величина fμ – функция распределения квазичастиц по энергиям – представляет собой среднее значение оператора числа частиц в некотором состоянии μ . Проще всего найти эту вели-

чину, используя термодинамический потенциал Φ :

dΦ

Sp{exp[−β

ν (εν − ζ)nν ]nμ}

= Sp ρ0nμ

= fμ. (4.96)

−dεμ

Sp exp[

β sum (ε

ζ)n ]

{

}

{

−

& &

}

226 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Таким образом, для вычисления < c+ν cν > необходимо найти термодинамический потенциал Φ , который, в свою очередь, выражается через статистическую сумму Z . Статистическую сумму идеального газа бозонов или фермионов проще всего вычислить в представлении

вторичного квантования
Z =			exp{−β (εν − ζ)nν }.	(4.97)
...n		...	ν
n1,n2	ν

В этой формуле nν – это собственные значения оператора числа частиц, которые для бозонной системы принимают значения 0, 1, 2 . . . , а для фермионной системы – только значения 0 и 1. Правую часть выражения (4.97) можно перестроить, записав ее в виде

	−ζ)n1 e−β(ε2	−ζ)n2. . . e−β(εN −ζ)nN =	'
. . . e−β(ε1	−ζ)n1 e−β(ε2	−ζ)n2. . . e−β(εN −ζ)nN =	e−β(εν −ζ)nν .
n1 n2 nN			ν nν

(4.98) Таким образом, выполняя суммирования по возможным значениям чисел заполнения nν , получаем (для статистики Бозе суммиро-

вание сводится к нахождению суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

Z =		ν	1	+ e−β(εν −ζ)			статистика Ферми,	(4.99)
Z =	(ν		1	−	e−βεν	−1	статистика Бозе.	(4.99)
	(			−

Поскольку на основании формулы (4.95) Φ = ln Z/β , логарифмируя (4.99), для термодинамического потенциала Φ получаем простое выражение

−

статистика Ферми,

+ e−β(εν −ζ)

Φ =

e−βεν −1

статистика Бозе.

Используя результат (4.96), получаем

< c+ c

dΦ

exp{−β(εν − ζ)}

1 + exp{−β(εν − ζ)}

exp{β(εν − ζ)} + 1

−dεμ

в случае статистики Ферми и

< c+ c

dΦ

exp{−βεν }

1 − exp{−βεν }

exp{βεν } − 1

−dεμ

в случае статистики Бозе.

(4.100)

(4.101)

(4.102)

§ 7.	Явление фононного увлечения	227
§ 7.	Явление фононного увлечения

Рассмотрим теперь явление фононного увлечения. Если считать, что фононная подсистема кристалла образует газ квазичастиц (фононов), то при наличии градиента температуры этот газ также будет отклоняться от состояния термодинамического равновесия и возникнет поток фононов, который и обеспечивает решеточный теплоперенос. Таким образом, функция распределения фононов перестанет быть равновесной функцией Планка (4.85). Поскольку поток фононов будет направлен от более горячей грани полупроводника к более холодной, то электронам при рассеянии будет передаваться дрейфовый импульс фононной системы, что вызовет дополнительный вклад в поток электронов в сторону холодной грани проводника и, следовательно, увеличение электронной составляющей термоэдс. Увеличение электронной составляющей термоэдс, связанное с учетом неравновесности фононной системы, принято называть я в л е н и - е м ф о н о н н о г о у в л е ч е н и я.

Для нахождения поправки к термоэдс, связанной с увлечением электронов фононами, необходимо найти поправку к функции распределения фононов δNqλ , вызванную приложенным градиентом температуры. Найдем эту поправку исходя из кинетического уравнения для фононов, записанного в приближении времени релаксации. В рамках концепции локального

равновесия получаем

∂N

поле +

∂Nqλ

ст

= 0,

∂N

ст =

δNqλ

(4.103)

∂tqλ

∂t

∂tqλ

τqλ

где τqλ

– время

релаксации

длинноволновых

фононов, взаимо-

действующих с электронами, на тепловых фононах или границах образца.

	∂N				∂Nqλ Ωqλ
	∂tqλ	поле= (vqλ )Nqλ		T (r ) = −(vqλ T ) ∂Ωqλ T .		(4.104)
В
В	формуле		(4.104) величина vqλ является групповой скоростью

фононов.

228 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Результаты (4.103), (4.104) сразу позволяют найти поправку к функции распределения фононов

δNqλ = τqλ	∂Nqλ		Ωqλ	(vqλ T ) −	kБτqλ		q		T .	(4.105)
	∂Ωqλ		T		q		q

При записи последнего равенства мы учли, что Nqλ kБT / Ωqλ , Ωqλ = sq , где s – скорость звука в кристалле, и учли, что

vqλ = sq/q .

Вернемся теперь к кинетическому уравнению для электронов. Учет неравновесности фононной системы приведет к появлению дополнительного слагаемого в интеграле столкновений. Действительно, для неравновесных фононов величины Nqλ в интеграле столкновений (4.88) следует заменить на величины Nqλ + δNqλ . Тогда в линейном приближении по термодинамическим силам интеграл столкновений I распадается на два слагаемых

I = I f1(k), Nqλ + I f0(ε ), δNqλ

Первое слагаемое в этом выражении описывает рассеяние неравновесных электронов на фононах, находящихся в условиях термодинамического равновесия, а второе учитывает поправки, связанные с неравновесностью фононной системы. Во втором слагаемом электронные функции распределения можно считать равновесными, поскольку уже набран первый порядок по термодинамическим силам. Очевидно, что нас интересует второе слагаемое. После несложных преобразований, учитывая,

что Nqλ = N−qλ , а δNqλ = −δN−qλ , получаем выражение для той части интеграла столкновений, которая описывает поправ-

ку, связанную с рассеянием электронов на неравновесных фононах:

	∂f
	k	ув =	π
	k		2		\|Cq λ\|2 δNqλ		[f0(εk+q) − f0(εk)] ×
	∂t			q λ	\|Cq λ\|2 δNqλ		[f0(εk+q) − f0(εk)] ×
						) − δ(εk	− εk+q −		)].	(4.106)
×[δ(εk − εk+q +					Ωqλ	) − δ(εk	− εk+q −	Ωqλ	)].	(4.106)

Следует обратить внимание на то, что эффект увлечения возникает только для неупругого рассеяния. Если отбросить

§ 7. Явление фононного увлечения

229

Ωqλ в δ -функциях, то правая часть выражения (4.106) немедленно обращается в нуль.

Изменение энергии электронов при поглощении или испускании фононов мало: Ωqλ kБT , поэтому разность функций распределения в первой квадратной скобке (4.105), используя

разложение f0(εk+q) по малому параметру Ωqλ/kБT , запишем в виде

f0(ε + ) − f0(ε ) =

k q k

∂f0(ε )

∂ε

(ε + − ε ).

k q k

Подставляя этот результат в формулу (4.106), получаем простое выражение, пригодное для численных оценок:

∂f		4π			∂f0(ε	)
∂f	ув =	4π	q λ	\|Cq λ\|2 δNqλ	∂f0(ε	)	Ωqλ δ(εk	− εk+q ). (4.107)
∂tk	ув =		q λ	\|Cq λ\|2 δNqλ	∂εkk		Ωqλ δ(εk	− εk+q ). (4.107)

Для дальнейших вычислений произведем замену суммирования интегрированием в формуле (4.107) и подставим в нее выражение для |Cq λ|2 , полученное ранее (с. 216), и δNqλ (4.105). В результате, переходя к сферической системе координат, получаем

					2k
∂fk	=		E02 kБ m3 ( k T )	∂f0	τqλq3 dq.	(4.108)


		−8πρ ( k)		∂εk 0
∂t ув

На выводе этой формулы следует остановиться подробнее. Интегрирование в сферической системе координат в формуле (4.107) приводит нас к интегралу

q max		π
	dqq3τqλ	sin θdθ δ					2kq cos θ		+	2q2	×
	dqq3τqλ	sin θdθ δ							+
q min		0						m		2m
		2π	k
			k	T		cos α		dϕ.			(4.109)
	×		k	T	cos β			dϕ.			(4.109)
	×	0	k		cos β

В этой формуле α – угол между вектором q и вектором гради-

ента температуры, β – угол между вектором k и градиентом температуры. Выбор углов α , β , θ и ϕ показан на рис. 29.

230 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

Можно показать [31], что между углами α , β , θ и ϕ существует простая взаимосвязь

cos α = cos θ cos β + sin θ sin β cos ϕ.

Поскольку, как следует из рис. 29, от угла ϕ зависит только угол α , то интегрирование по углу ϕ дает

2π	k	T	cos α

0	k		cos β

		T cos θ.
dϕ = 2π	k		(4.110)
dϕ = 2π	k		(4.110)

	T	и углы между ними
Рис. 29. Векторы k, q,	T	и углы между ними

В формуле (4.109) после замены переменной x = − 2kq cos θ/m вычисляем интеграл по углу θ :

2kq/m

2q2

− 2kq/m

−

2 k

xdx δ

2 =

; q < 2k.

(4.111)

Из выражения (4.111) следует, что в силу необходимости выполнения закона сохранения энергии и импульса электронов, в каждом элементарном акте рассеяния электроны могут взаимодействовать только с так называемыми длинноволновыми фононами с волновыми векторами q < 2k (8m / )1/2 . Поэтому в выражении (4.111) интеграл по волновому вектору фононов должен вычисляться в пределах от 0 до 2k .

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 5023 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
30.03.20221.94 Mб46[Ageev_E.P.]_Neravnovesnaya_termodinamika_v_vopros(BookSee.org).pdf
#
30.03.20224.11 Mб55Лекции по термодинамике неравновесных систем. Пармон.pdf
#
30.03.202228.89 Mб620НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА СЛОЖНЫХ.pdf
#
30.03.20221.21 Mб34Равновес и неравновес термодинамика.pdf
#
30.03.20223.97 Mб49Физика конденсированных сред.pdf