Учебники / Физика конденсированных сред

§ 14. Отрицательное дифференциальное сопротивление 261

Из формулы (4.196) следует, что химический потенциал неравновесных электронов не зависит от дрейфовой скоростиvd в рассматриваемом приближении. В действительности такая зависимость, конечно, имеется, и она может быть легко получена, если удержать в разложении (4.154) члены второго порядка малости по параметру kαvdα/kБT , но это было бы явным превышением точности.

Таким образом, мы рассмотрели задачу о разогреве электронной системы внешним электрическим полем и нашли выражения для кинетической температуры (4.194), химического потенциала (4.196) и дрейфовой скорости (4.156), входящих в неравновесную функцию распределения (4.146).

Особо необходимо отметить, что величина отклонения температуры электронов Tk от равновесной температуры T не обязательно должна быть малой (фактически при выводе уравнений баланса импульса, энергии и числа частиц малость величины δTk /T не предполагалась).

Совершенно аналогично можно было рассмотреть и случай вырожденного электронного газа (эта задача предлагается читателю для самостоятельного решения).

Перейдем теперь к обсуждению возможных применений развитой здесь теории для решения различных задач физической кинетики.

§ 14. Отрицательное дифференциальное сопротивление

С прикладной точки зрения, важно найти такие условия, при которых разогрев носителей заряда приводил бы к появлению на вольт-амперной характеристике участка с отрицательным значением dJ/dE , где J – плотность электрического тока, E –напряженность электрического поля, приложенная к образцу. Такая ситуация может возникнуть, если вектор плотности

262 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

электрического тока в образце уменьшается с ростом электрического поля. В первом случае принято говорить об о т р и - ц а т е л ь н о м с о п р о т и в л е н и и, а во втором – об о т р и ц а т е л ь н о м д и ф ф е р е н ц и а л ь н о м сопротивлении (ОДС).

Отрицательное дифференциальное сопротивление может наблюдаться экспериментально в условиях контроля как тока через образец (рис. 30 a), когда большое дополнительное сопротивления R включено в цепь последовательно с образцом, так и в условиях контроля напряжения на образце, когда он включен параллельно большому дополнительному сопротивлению нагрузки RН (рис 30 б)).

Рис. 30. S-образные (а) и N-образные (б ) нелинейные вольт-амперные характеристики и схемы их измерения при контроле тока и напряжения. Образцом является сопротивление r

В первом случае нелинейные вольт-амперные характеристики имеют вид S-образной кривой, а во втором случае – N-образной. Для того чтобы обеспечить контроль тока J , протекающего через образец с сопротивлением r , должно выполняться условие R r . Аналогично в случае б должно выполняться условие RH r .

§ 14. Отрицательное дифференциальное сопротивление 263

Наиболее просто условия возникновения ОДС можно реализовать в том случае, когда контролируется ток через образец (рис. 30 a). Значение напряженности электрического поля в об-

разце E и кинетической температуры Tk в этом случае будет однозначной функцией тока. Мощность P , передаваемая системой электронов в решетку, совпадает с мощностью джоулевых потерь

С другой стороны, эта же самая мощность может быть выражена через плотность тока

В условиях разогрева электронного газа, как следует из формулы (4.172), для случая статистики Максвелла – Больцмана σ τ Tkm , где m – некоторый показатель степени, а мощность, переданная электронами в решетку, согласно (4.187), имеет следующую температурную зависимость:

Подставляя предполагаемую температурную зависимость σ и P в уравнения для напряженности поля E (4.197) и величины тока J (4.198), получаем

Из формулы (4.200) следует, что если выполняются условия n − m > 0 и n + m > 0 , то E и J растут с возрастанием Tk и, следовательно, dJ/dE остается положительной величиной. Если, однако, n − m < 0 , а n + m > 0 , то при возрастании тока, а следовательно, Tk напряженность электрического поля будет уменьшаться, что соответствует участку с отрицательным дифференциальным сопротивлением на вольт-амперной

264 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

характеристике. Возникающая при этом вольт-амперная характеристика имеет S-образный вид. В частности, легко видеть, что условия возникновения участка с ОДС выполняются, если релаксация импульса происходит за счет взаимодействия электронов с примесями (m = 3/2 ), а релаксация энергии определяется пьезоэлектрическим рассеянием на акустических фононах ( n = −1/2 ).

В действительности явление возникновения ОДС сопровождается развитием неустойчивостей в однородном полупроводниковом кристалле. В частности, в условиях контроля тока через образец возникновение участка с ОДС на вольт-амперной характеристике сопровождается «шнурованием» электрического тока. В плоскости продольного сечения образца возникают один или несколько каналов с более низким значением электрического сопротивления, которые по существу шунтируют образец.

При контроле напряжения на образце возникает неустойчивость другой природы. В образце появляются участки (домены) с высоким и низким значением электрического сопротивления. Все падение напряжения будет приходиться на домен с высоким сопротивлением. Под действием электрического поля эти домены движутся по образцу, благодаря чему возникают периодические электрические колебания. Это явление нашло свое практическое применение для создания генераторов СВЧ-колебаний (диодов Ганна).

Диод Ганна – полупроводниковый прибор, состоящий из однородного полупроводника, генерирующий СВЧ-колебания при приложении постоянного электрического поля. Физической основой, позволяющей реализовать такие свойства в диоде, является эффект Ганна, который заключается в генерации высокочастотных колебаний электрического тока в однородном полупроводнике с N-образной вольт-амперной характеристикой. Эффект Ганна обнаружен американским физиком Дж. Ганном в 1963 г. в кристалле арсенида галлия с электронной проводимостью. При приложении электрического поля E > 2 – 3 кВ/см к однородным образцам из арсенида галлия n -типа в образце возникают спонтанные колебания тока. В образце, обычно у катода, возникает небольшой участок сильного поля – «домен», дрейфующий от катода к аноду со скоростью vd 107 см/с и

§ 14. Отрицательное дифференциальное сопротивление 265

исчезающий на аноде. Затем у катода формируется новый домен, и процесс периодически повторяется, моменту возникновения домена соответствует падение тока, текущего через образец. Моменту исчезновения домена у анода – восстановление прежней величины тока. Период колебаний тока приблизительно равен пролетному времени, т. е. времени, за которое домен дрейфует от катода к аноду.

С позиций сильнонеравновесной термодинамики, возникновение шнуров электрического тока, или доменов, в однородном полупроводниковом материале является типичным примером самоорганизации и возникновения неравновесных структур.

Можно показать, что если в полупроводнике с S-образной вольт-амперной характеристикой на участке с ОДС возникает локальная флуктуация плотности тока, то эта флуктуация не будет рассасываться, как в обычном материале, а будет только нарастать, что и приведет к возникновению шнура тока. Совершенно аналогично, если в полупроводнике с N-образной вольтамперной характеристикой в результате флуктуаций возникнет локальная область с большим значением электрического поля, нежели в соседних областях, то эта область не исчезнет, а будет только увеличиваться. В итоге возникнет домен сильного поля. В этом смысле полупроводник, в котором реализованы условия возникновения ОДС, является активной средой.

Дальнейшее обсуждение явлений, возникающих в полупроводниках в результате разогрева электронов проводимости внешним электрическим полем, выходит за рамки нашего курса. Обзор экспериментальных и теоретических работ по горячим электронам можно найти в монографии Конуэлл [27]. Исследованию процессов неустойчивости, возникающей в электронной плазме проводников, посвящены работы [33, 34].

Развитый в этой главе метод эффективных параметров позволяет решать довольно широкий круг задач физической кинетики, связанных с передачей энергии между подсистемами кристалла. Примерами таких задач являются эффект Феера (явление динамической поляризации ядер электрическим током); эффект изменения сопротивления в полупроводниках при насыщении парамагнитного резонанса на примесных центрах,

266 Глава 4. Кинетическое уравнение для электронов

позволяющий использовать простые электрические схемы детектирования резонанса; эффект Оверхаузера (явление динамической поляризации ядер при насыщении парамагнитного резонанса на свободных электронах в металлах или полупроводниках). Анализ этих задач в полном объеме также далеко выходит за рамки учебного курса. Тем не менее в главе 6, посвященной методу неравновесного статистического оператора, мы применим метод составления уравнений баланса импульса, энергии и числа частиц для интерпретации эффекта Оверхаузера.

Задача 4.6

Получить выражение для обратного времени релаксации горячих электронов, полагая, что рассеяние носителей тока происходит на заряженных центрах с экранированным кулоновским потенциалом.

Решение

Пользуясь схемой переходов электронов между состояниями , k

, изображенной на рис. 28, запишем скорость изменения функции k+q

распределения в состоянии за счет взаимодействия с рассеивателя- k

ми. Если в качестве гамильтониана взаимодействия с рассеивателями взять гамильтониан (4.81), то для квантово-механической вероятности переходов (по аналогии с выражением (4.87)) получаем:

q

Если учесть определение < ρq > (4.81), легко заметить, что среднее по состояниям рассеивателей

< ρq ρ−q >пр= Ni,

где Ni – число примесных центров в единице объема.

Для нахождения скорости изменения числа частиц в состоянии

под действием столкновений квантово-механические вероятности k

переходов необходимо умножить на вероятность заполнения начального состояния и вероятность того, что конечное состояние является

Глава 5

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОГО ОТКЛИКА НА ВНЕШНЕЕ МЕХАНИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ

5.1.Электропроводность электронного газа. Метод Кубо

§ 1. Уравнение Лиувилля и его решение

Квантовая система может находиться в чистом или смешанном состоянии. Если система находится в чистом состоянии, то она может быть описана волновой функцией ψ , которая подчиняется уравнению Шредингера:

где H−гамильтониан системы, −постоянная Планка. Кванто- во-механическое среднее оператора некоторой физической величины A в состоянии, описываемом волновой функцией ψ , определяется выражением A = ψ|A|ψ . Физические величины, получающиеся в результате усреднения, должны быть действительными. Это приводит к тому, что операторы физических величин являются эрмитовыми и удовлетворяют усло-

+ + ˜

вию A = A, A = A , где знак тильды означает транспонирование, а звездочка, как обычно, − комплексное сопряжение элементов матрицы. Описание системы на языке волновых функций является наиболее полным с точки зрения квантовой механики и в каком-то смысле соответствует описанию частиц на языке траекторий в классической механике.

Определим теперь понятие смешанного состояния в квантовой теории. Рассмотрим систему, которая является частью некоторой большой системы, находящейся в чистом состоянии.

270 Глава 5. Теория линейного отклика

Величина ρmn , введенная выше, носит название матрицы плотности. Физический смысл введенной матрицы плотности проще понять, если рассмотреть диагональные матричные элементы

ρnn = W (j) an(j)an(j), (5.7)

j

которые можно легко интерпретировать. Действительно, будем считать, что состояние малой системы является смесью чистых состояний, которые нумеруются индексом j . Величина W (j) тогда имеет смысл вероятности реализации состояния j , а произведение an(j) an(j) – вероятности реализации n -го собственного значения для j -го чистого состояния. Величина

ρnn = W (j) an(j)an(j)

j

имеет смысл вероятности для системы находиться в n -м стационарном состоянии, которое может реализоваться в любом из

n,m

Пусть теперь оператор A , входящий в определение среднего, равен единичному оператору. Среднее значение такого оператора, очевидно, равно единице. Поэтому вместо (5.8) получаем

n

Последний результат является очевидным, поскольку диагональный матричный элемент матрицы плотности имеет смысл, как это отмечено выше, вероятности нахождения системы в n -м стационарном состоянии. Вероятность находиться в одном из возможных состояний полного набора состояний равна единице.

Уместно, забегая вперед, сразу привести пример системы, находящейся в контакте с термостатом. Будем считать, что волновые функции ϕn(x) являются собственными функциями оператора Гамильтона: Hϕn = Enϕn , где En – собственные значения энергии системы. В этом случае вероятность для системы,