Учебники / Физика конденсированных сред

§ 7. Тензор электропроводности в квантующем поле 311

Запишем компоненты тока Jμ и Jν , используя определение координат центра ларморовской орбиты и координат относительного движения, которые далее будут пониматься как суммарные величины для всей системы электронов

˙ ˙ ˙

Jx = e(ξ + X), Jy = e(η˙ + Y ).

Для упрощения обозначений и сокращения объема формул вве-

тующем магнитном поле является четной функцией времени, если операторы A и B совпадают (доказательство этого замечательного факта в § 9 настоящей главы):

Покажем, что все члены, кроме последнего, равны нулю. Для доказательства рассмотрим корреляционную функцию

0

рование по частям. Пользуясь принципом ослабления корреляций, согласно которому корреляция между двумя физическими

Для преобразования последнего выражения в формуле (5.132) воспользуемся теоремой Абеля, согласно которой в термодинамическом пределе справедливо равенство

Обратимся, наконец, к преобразованию первого слагаемого во второй строчке формулы (5.132). Сделав замену переменной интегрирования τ = λ/β в формуле скалярного произведения (5.130), получим

При получении результата (5.135) мы сделали замену переменных τ = 1 − τ и воспользовались формулой Кубо (5.60).

Совершенно аналогично можно доказать, что

§ 8. Электропроводность при рассеянии на фононах 313

Равенство нулю корреляционных функций в формуле (5.137) следует из того факта, что коммутаторы [X, ξ] и [Y, η] равны нулю.

Теперь можно вернуться к формуле (5.131) и записать результат для σxy (0) и других компонент электропроводности в квантующем магнитном поле. Учитывая результаты (5.134) – (5.137), получаем

Анализируя полученные результаты, нетрудно заметить, что в квантующем магнитном поле диагональные компоненты σxx и σyy отличны от нуля только благодаря процессам рассеяния, поскольку, как следует из уравнений движения для этих величин (5.127), σxx и σyy пропорциональны по меньшей мере квадрату константы взаимодействия электронов с рассеивателями. Недиагональная компонента σxy содержит не зависящий от процессов рассеяния бесстолкновительный вклад enc/H и квадратичную по константе взаимодействия электронов с рассеивателями поправку. Важно отметить, что компоненты тензора электропроводности в квантующем магнитном поле выражаются через корреляционные функции координат центров ларморовских орбит, которые в борновском приближении теории рассеяния могут быть непосредственно вычислены.

§8. Вычисление электропроводности в случае квазиупругого рассеяния на фононах

Рассмотрим вычисление σxx и σyy в случае квазиупругого

ˆ

рассеяния на фононах, полагая, что оператором U в формулах

(5.127) является гамильтониан электрон-фононного взаимодействия (4.76).

Чтобы лучше понимать полученные выше результаты для компонент тензора электропроводности в квантующем магнитном поле, полезно сравнить их с результатами, которые дает метод кинетического уравнения в пределе сильного ω0τp 1 (но неквантующего) магнитного поля. На основании формул (4.118), (4.121) и (4.128) получаем

Таким образом, в пределе сильного магнитного поля, если при разложении знаменателя в формуле (5.141) по малому параметру 1/(ω0τp)2 оставить только нулевой член разложения, кинетическое уравнение для недиагональной компоненты электропроводности дает тот же самый бесстолкновительный вклад, что и формула (5.138).

Выражение для диагональной компоненты (5.142) позволяет, по крайней мере формально, определить время релаксации импульса в квантующем магнитном поле. Действительно, сравнивая два выражения (5.142) и (5.139), получаем определение для времени релаксации импульса в квантующем магнитном поле:

Проблема вычисления компонент σxx и σxy тензора электропроводности в борновском приближении теории рассеяния по существу сводится к квадратурам, поскольку в этом приближении взаимодействием в статистическом операторе и операторе эволюции можно пренебречь и тогда эти операторы имеют только диагональные матричные элементы на классе собствен-

| ˆ

ных функций ν > оператора H0 . Поскольку корреляционная

Для упрощения дальнейших вычислений рассмотрим только случай сильновырожденного электронного газа. Тогда интеграл по энергии вычисляется элементарно, если воспользоваться аппроксимацией

−∂E∂f δ(E − ζ).

Интеграл по q , очевидно, сводится к гамма-функции. Поэтому дальнейшее интегрирование не представляет проблем, и мы сразу получаем

Характерной особенностью полученного результата является наличие расходимости в том случае, когда уровень Ферми пересекает подуровень Ландау. Эта особенность возникает изза того, что в квантующем магнитном поле плотность состояний электронов в пространстве энергий имеет корневую особенность на дне каждой подзоны Ландау. Особенно интересные эффекты в квантующем магнитном поле возникают в двумерном металле, который легко реализуется в полевом транзисторе. Нобелевская премия по физике дважды присуждалась за исследование квантового эффекта Холла: в 1985 г. за открытие этого явления и в 1998 г. за открытие и интерпретацию дробного квантового эффекта Холла. Не имея возможности подробнее остановиться на этой интересной теме, отсылаем читателя к специальной литературе [41].

Задача 5.1

Получить выражение для плотности состояний в пространстве энергий для электронов проводимости в квантующем магнитном поле.

Решение

Ввести понятие плотности состояний в пространстве энергий проще всего, используя соотношение