1.3. Уравнение Шрёдингера

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шрёдингер в 1926 году предложил своё знаменитое уравнение. Шрёдингер сопоставил движущейся микрочастице комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой «пси» . Её принято называть пси-функцией.

Состояние микрочастицы характеризует пси-функция, которая является решением уравнения Шрёдингера:

. (1.5)

Здесь m – масса частицы, i – мнимая единица, , – оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных по координатам:

.

Символом U в уравнении (1.5) обозначена функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу. В случае, когда U не зависит явно от времени, она имеет смысл потенциальной энергии частицы.

В этом случае уравнение (1.5) преобразуется к виду

. (1.6)

Здесь , Е – полная энергия частицы.

Уравнение (1.6) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний.

В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (1.6) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, налагаемым на -функцию, при дискретных значениях энергии Е. Таким образом, квантование энергии получается из основных положений квантовой механики без каких-либо дополнительных предположений.

1.4. Смысл пси-функции

Впервые правильная интерпретация пси-функции была дана Борном в 1926 году. Согласно Борну квадрат модуля пси-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объёма :

,

где А – постоянная нормирования, – квадрат модуля – функции, – функция, комплексно сопряжённая с .

Для нормированной – функции постоянная А = 1. В этом случае

. (1.7)

Из (1.7) следует, что квадрат модуля пси–функции имеет смысл плотности вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства.

5. Туннельный эффект

Туннельным эффектом называется прохождение частицы сквозь потенциальный барьер – ограниченную область пространства, где полная энергия Е частицы меньше уровня потенциальной энергии. Туннельный эффект имеет квантовую природу и связан с наличием у частиц волновых свойств.

На рисунке представлена некоторая произвольная зависимость потенциальной энергии U от координаты х частицы в области одномерного потенциального барьера.

Коэффициентом прозрачности D потенциального барьера называется величина

,

где – интенсивность волны де Бройля, прошедшей сквозь потенциальный барьер, – интенсивность волны, падающей на барьер.

Для прямоугольного потенциального барьера

, (1.8)

где m – масса частицы, Е – ее энергия, L – ширина барьера.

Для потенциального барьера произвольной формы (рисунок).

. (1.9)

Согласно условию неопределенности координаты х частицы будет соответствовать неопределенность импульса частицы , что не позволяет говорить об определенном значении кинетической энергии частицы. Это значит, что неопределенность кинетической энергии частицы , вызванная фиксированием её координаты, превышает разность между высотой потенциального барьера и энергией Е частицы:

.

Неопределенность кинетической энергии частицы устраняет парадокс отрицательности кинетической энергии частицы в области потенциального барьера.