3.3. Задачи с подвижными граничными на плоскости

В п.2.5.2. при исследовании функционала

Предполагалось, что граничные точки и заданы. Предположим теперь, что одна или обе граничные точки могут перемещаться. Тогда класс допустимых кривых расширяется. Кроме кривых сравнения, имеющих общие граничные точки с исследуемой кривой, можно уже брать и кривые со смещёнными граничными точками.

Поэтому если на какой-нибудь кривой y=y(x) достигается экстремум в задаче с подвижными границами, то экстремум тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых, имеющих общие граничные точки с кривой y=y(x). Следовательно, должно быть выполнено основное, необходимое для достижения экстремума в задаче с подвижными границами условие- функция y=y(x) должна быть решением уравнения Эйлера

Таким образом, кривые y=y(x), на которых реализуется экстремум в задаче с подвижными границами, должны быть экстремалями.

Общее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, для определения которых необходимо иметь два условия. В задаче с неподвижными граничными точками такими условиями были

,

В задаче с подвижными границами одно или оба из этих условия отсутствуют, и недостающие условия для определения произвольных постоянных общего решения уравнения Эйлера должны быть получены на основе необходимого условия экстремума.

Рассмотрим теперь естественную вариационную задачу, в которой граничные условия полностью сняты, т.е. значения исследуемого функционала сравниваются для всех функций . Тогда, прежде всего, рассуждая как выше, получим, что функция , реализующийся в этом случае экстремум, удовлетворяет уравнению Эйлера. Запишем вариацию функционала для нее

Как это делалось в n.2.5.2, проинтегрируем второе слагаемое по частям

Но выражение в скобках при этом тождественно равно нулю (т.к. -решение уравнения Эйлера), поэтому

Учитывая произвольность и , получаем, что искомая функция должна удовлетворять граничным условиям

которые называются естественными граничными условиями. Конечно, если рассматривается задача с одним подвижным концом отрезка , то и естественное условие ставится только на этом конце.

3.3.1. Условия трансверсальности

Рассмотрим теперь более общую естественную вариацион-ную задачу для функционала того же вида, что и в п.3.3. Пусть теперь значения a и b не зафиксированы заранее, но требуется, чтобы концевые точки (a,y(a)) и (b,y(b)) лежали на заданных линиях с уравнением соответственно (рис.12).

и (24)

Формулы для вариации теперь изменятся, так как надо учитывать возможность изменения пределов интегрирования; т.е. рассуждая, как и в предыдущем пункте, можно показать, что функция y(x), реализующая экстремум функционала, удовлетворяет уравнению Эйлера. Поэтому, пользуясь необходимым условием экстремума и интегрируя по частям второе слагаемое, получаем

.

( )

С другой стороны уравнения (24) дают

(25)

Надо иметь в виду, что и не одно и тоже. Из рис.13 видно, что после отбрасывания бесконечно малых высшего порядка следует, что

(26)

и аналогично для . Подставляя эти выражения в (25), находя после этого и и подставляя в ( ), а затем, пользуясь произвольностью и

, приходим к соотношениям

(27)

которые и служат естественными граничными условиями в рассматриваемой задаче. Если известно направление линии 1 (или 2) в некоторой точке М (рис.12), то известно и соответствующие значение и потому условия (27) определяя нет направления, которые в этой точке может иметь экстремальная линия, эти последние направления называются трансверсальными первому, а условия (27) называются условием трансверсальности.

Таким образом, в каждой точке (x,y) плоскости каждому направлению с угловым коэффициентом k отвечает некоторая совокупность трансверсальных направлений, угловой коэффициент l которых определяется из условия

(28)

Пример 13. Найти условие трансверсальности для функционалов вида I[y]= .

Решение. Условие трансверсальности (28) в данном случае имеет вид или,

Учитывая что l есть угловой коэффициент искомой кривой y(x), т.е. получим

Предположив, что A(x,y) 0 в граничной точке, получим . Это значит, что в данном случае условие трансверсальности свелось к условию ортогональности.

Пример14. Исследовать на экстремум функционал

, причем y(0)=0; y(b)=x-5 (рис.14)

Решение. Здесь . Составляем уравнение Эйлера . Для этого находим

;

Составляем уравнение и упрощаем его

Понижаем порядок уравнения. Обозначим . Тогда и Разделяем нерешенные: и Замена p на и разделяя переменные получаем . Таким образом, . Окончательно получим . Подставим первое граничное условие y(0)=0. Отсюда следует, что . Так как условие трансверсальности для данного функционала сводится к условию ортогональности (см. пример 13), то прямая y=x-5 должна быть диаметром окружности. Следовательно, центр искомой окружности находится в точке (5,0) пересечения прямой y=x-5 с осью абсцисс. Поэтому c=5 и , или , т.е. . Таким образом, экстремум может достигаться только на дугах окружности и .