- •Введение
- •1. Теория множеств
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Алгебраические свойства операций над множествами
- •1.4. Нечёткие множества
- •2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Основные правила комбинаторики
- •2.2. Выборки элементов без повторений
- •2.3. Выборки элементов с повторениями
- •2.4. Объединение комбинаторных конфигураций
- •2.5. Бином Ньютона
- •3. Отношения на множествах
- •3.1. Декартово произведение множеств
- •3.2. Булев куб и его свойства
- •3.3. Понятие отношения
- •3.4. Операции над отношениями
- •3.5. Свойства отношений на множестве
- •3.6. Отношения эквивалентности, толерантности и порядка
- •3.7. Нечеткие отношения
- •3.8. Понятие отображения
- •3.9. Алгебраическая операция
- •3.10. Общие сведения об алгебраических системах
- •4 Булевы функции
- •4.1. Основные определения и операции над высказываниями
- •4.2. Типы пф.
- •4.3. Равносильность формул
- •4.4. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •4.5 Алгоритм приведения пф к нормальным формам
- •4.6 Аналитический способ приведения к сднф
- •4.7. Табличный способ приведения к сднф
- •4.8. Табличный способ приведения к скнф
- •4.9. Логическое следствие
- •4.10. Алгоритм проверки правильности рассуждений
- •4.11. Алгоритм определения всех логических следствий из данных посылок
- •4.12. Алгоритм определения всех посылок, логическим следствием которых является данная формула
- •4.13. Полнота систем булевых функций
- •4.14. Полином Жегалкина
- •4.15. Замкнутость
- •4.16. Теорема Поста
- •4.17. Нечеткая логика
- •5. Многозначные функции
- •5.1. Функции и формулы k-значной логики
- •5.2. Полнота и замкнутость функций k-значной логики
- •5.3. Особенности k – значной логики
- •6.. Основные понятия теории графов.
- •6.1. Задачи теории графов.
- •6.2. Основные определения.
- •6.3. Степени вершин графа.
- •6.4. Изоморфизм графов.
- •6.5. Матричные способы задания графов.
- •6.6. Основные операции над графами.
- •6.7. Маршруты в графах
- •6.8. Связность в графах.
- •Связность и матрица смежности графа.
- •6.9. Матрица взаимодостижимости.
- •6.10. Деревья Свободные деревья.
- •Ориентированные, упорядоченные и бинарные деревья.
- •6.11. Эйлеровы графы.
- •6.12 Гамильтоновы графы.
- •6.13. Планарные графы.
- •6.14. Потоки в сетях. Основные определения.
- •Теорема Форда и Фалкерсона.
- •Алгоритм построения максимального потока в сети.
- •7. Конечные автоматы
- •7.1. Понятие конечного автомата Общие сведения о конечных автоматах
- •7.2. Абстрактное определение конечного автомата
- •7.3. Автоматная функция и её моделирование Понятие ограниченно детерминированной функции
- •Моделирование автоматной функции с помощью схемы из функциональных элементов и задержки
- •7.4. Эксперименты с автоматами
- •8. Рекуррентные уравнения
- •8.1. Определение рекуррентного уравнения/ Решение линейного однородного рекуррентного уравнения
- •8.2. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения
- •8.3. Решение рекуррентного уравнения для чисел Фибоначчи
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1.Теория множеств 5
- •2 Элементы комбинаторики 14
- •3 Отношения на множествах 22
- •4. Булевы функции 42
- •5. Многозначные функции 64
- •6. Основные понятия теории графов 70
- •7. Конечные автоматы 106
- •8. Рекуррентные уравнения 120
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5.3. Особенности k – значной логики
Во многом k – значная логика подобна двухзначной. В ней сохраняются многие результаты, имеющие место в двузначной логике. Однако ряд результатов, верных для функций алгебры логики, т.е. при k=2, уже не переносятся на случай, когда k ³3.
Например, как показал Пост, каждый замкнутый класс в P2 имеет конечный базис и поэтому, число замкнутых классов в P2 счетно. С другой стороны для k ³ 3 в :
а) существует замкнутый класс не имеющий базиса;
б) существует замкнутый класс имеющий счетный базис;
в) имеется бесчисленные множества различных замкнутых классов.
6.. Основные понятия теории графов.
6.1. Задачи теории графов.
Теория графов - это раздел математики, изучающий системы связей между различными объектами, точно так же как это делается с помощью понятия отношения. Однако независимое определение графа упрощает изложение теории и делает её более понятной и наглядной.
Первые задачи теории графов были связаны с решением развлекательных задач и головоломок.
П ервая задача. Задача о Кенигсбергских мостах была поставлена и решена Эйлером в 1786 году. Город располагался на берегах и двух островах реки Преголи. Острова между собой и берегами были связаны семью мостами, как показано на рисунке.
Рис. 15
Возникал вопрос: можно ли выйдя из дома, вернуться обратно, проходя по каждому мосту ровно один раз?
В торая задача. Задача о трех домах и трех колодцах. Имеется три дома и три колодца.
Рис. 16
Требуется провести от каждого дома к каждому колодцу тропинку так, чтобы тропинки не пересекались. Задача была решена Понтрягиным и независимо от него Куратовским в 1930 году.
Т ретья задача. О четырех красках. Любую карту на плоскости раскрасить четырьмя красками так, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом.
Рис. 17
Многие результаты теории графов используются для решения практических задач науки и техники. Так, в середине 19 века Кирхгоф применил теорию графов для расчета сложных электрических цепей. Однако, как математическая дисциплина, теория графов сформировалась только в 30-ых годах 20-го века. При этом графы рассматриваются как некоторые абстрактные математические объекты. Они применяются при анализе и синтезе цепей и систем, в сетевом планировании и управлении, исследовании операций, программировании, моделировании жизнедеятельности организма и других областях.
6.2. Основные определения.
Графом G=(V,E) называется совокупность двух множеств - непустого множества вершин V и множества неупорядоченных и упорядоченных пар вершин E. В дальнейшем будут рассматриваться конечные графы, т.е. графы с конечным множеством вершин и конечным семейством пар. Неупорядоченная пара вершин называется ребром, а упорядоченная - дугой.
Обычно граф изображается диаграммой: вершины - точками (или кружками), ребра – линиями произвольной конфигурации. На дуге дополнительно стрелкой указывается её направление. Отметим, что при изображении графа несущественны геометрические свойства ребер (длина, кривизна), а также взаимное расположение вершин на плоскости.
Вершины, которые не принадлежат ни одному ребру (дуге) называются изолированными. Вершины, соединенные ребром или дугой называются смежными. Ребро (дуга) и любая из его двух вершин называются инцидентными.
Говорят, что ребро (u,v) соединяет вершины u и v, а дуга (u,v) начинается в вершине u и заканчивается в вершине v, при этом u называется началом, а v – концом этой дуги.
Граф, содержащий только ребра, называется неориентированным (неорграф, н-граф). Граф, содержащий только дуги, называется ориентированным (орграфом). Граф называется смешанным, если в нём одновременно присутствуют и ребра и дуги.
Пара вершин может соединяться двумя или более ребрами (дугами одного направления). Такие ребра (дуги) называются кратными. Дуга (или ребро) может начинаться или кончаться в одной и той же вершине. Такая дуга (ребро) называется петлёй. Граф, содержащий петли, называется псевдо графом. Граф, имеющий кратные ребра (дуги), называется мультиграфом.
Граф, без петель и кратных ребер, называется простым. Простой граф называется полным, если для любой пары его вершин существует ребро (дуга) их соединяющая. Полный граф, имеющий n вершин обозначается через Kn. Например, это графы
Рис. 18
Граф, состоящий из одной изолированной вершины (K1), называется тривиальным.
Дополнением графа G называется граф , имеющий те же вершины, что и граф G и содержащий те ребра, которые нужно добавить к графу G чтобы получить полный граф.
Каждому неорграфу канонически соответствует ориентированный граф с тем же множеством вершин, в котором каждое ребро заменено двумя дугами, инцидентными тем же вершинам и имеющих противоположные направления.