- •Введение
- •1. Теория множеств
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Операции над множествами
- •1.3. Алгебраические свойства операций над множествами
- •1.4. Нечёткие множества
- •2. Элементы комбинаторики
- •2.1. Основные правила комбинаторики
- •2.2. Выборки элементов без повторений
- •2.3. Выборки элементов с повторениями
- •2.4. Объединение комбинаторных конфигураций
- •2.5. Бином Ньютона
- •3. Отношения на множествах
- •3.1. Декартово произведение множеств
- •3.2. Булев куб и его свойства
- •3.3. Понятие отношения
- •3.4. Операции над отношениями
- •3.5. Свойства отношений на множестве
- •3.6. Отношения эквивалентности, толерантности и порядка
- •3.7. Нечеткие отношения
- •3.8. Понятие отображения
- •3.9. Алгебраическая операция
- •3.10. Общие сведения об алгебраических системах
- •4 Булевы функции
- •4.1. Основные определения и операции над высказываниями
- •4.2. Типы пф.
- •4.3. Равносильность формул
- •4.4. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
- •4.5 Алгоритм приведения пф к нормальным формам
- •4.6 Аналитический способ приведения к сднф
- •4.7. Табличный способ приведения к сднф
- •4.8. Табличный способ приведения к скнф
- •4.9. Логическое следствие
- •4.10. Алгоритм проверки правильности рассуждений
- •4.11. Алгоритм определения всех логических следствий из данных посылок
- •4.12. Алгоритм определения всех посылок, логическим следствием которых является данная формула
- •4.13. Полнота систем булевых функций
- •4.14. Полином Жегалкина
- •4.15. Замкнутость
- •4.16. Теорема Поста
- •4.17. Нечеткая логика
- •5. Многозначные функции
- •5.1. Функции и формулы k-значной логики
- •5.2. Полнота и замкнутость функций k-значной логики
- •5.3. Особенности k – значной логики
- •6.. Основные понятия теории графов.
- •6.1. Задачи теории графов.
- •6.2. Основные определения.
- •6.3. Степени вершин графа.
- •6.4. Изоморфизм графов.
- •6.5. Матричные способы задания графов.
- •6.6. Основные операции над графами.
- •6.7. Маршруты в графах
- •6.8. Связность в графах.
- •Связность и матрица смежности графа.
- •6.9. Матрица взаимодостижимости.
- •6.10. Деревья Свободные деревья.
- •Ориентированные, упорядоченные и бинарные деревья.
- •6.11. Эйлеровы графы.
- •6.12 Гамильтоновы графы.
- •6.13. Планарные графы.
- •6.14. Потоки в сетях. Основные определения.
- •Теорема Форда и Фалкерсона.
- •Алгоритм построения максимального потока в сети.
- •7. Конечные автоматы
- •7.1. Понятие конечного автомата Общие сведения о конечных автоматах
- •7.2. Абстрактное определение конечного автомата
- •7.3. Автоматная функция и её моделирование Понятие ограниченно детерминированной функции
- •Моделирование автоматной функции с помощью схемы из функциональных элементов и задержки
- •7.4. Эксперименты с автоматами
- •8. Рекуррентные уравнения
- •8.1. Определение рекуррентного уравнения/ Решение линейного однородного рекуррентного уравнения
- •8.2. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения
- •8.3. Решение рекуррентного уравнения для чисел Фибоначчи
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1.Теория множеств 5
- •2 Элементы комбинаторики 14
- •3 Отношения на множествах 22
- •4. Булевы функции 42
- •5. Многозначные функции 64
- •6. Основные понятия теории графов 70
- •7. Конечные автоматы 106
- •8. Рекуррентные уравнения 120
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
6.8. Связность в графах.
Неорграф называется связным, если любые две его несовпадающие вершины соединены маршрутом. Граф называется связным, если соответствующий ему неорграф является связным. В данном случае соответствующий неориентированный граф получается из исходного графа путём замены всех его дуг рёбрами. Граф называется сильно связным, если для каждой пары различных вершин u и v существуют маршруты (u,v) и (v,u). Из этого определения следует, что любой связный неорграф является также сильно связным. Понятия связности и сильной связности распространяются также и на мультиграфы.
Отметим, что граф в примере 1 является сильно связным, а в приме2 – не сильно связный граф.
Пример 3. На следующем рисунке показан несвязный граф.
Р ис. 24
Всякий максимальный по включению сильно связный подграф данного графа называется его сильно связной компонентой, или сильной компонентой связности.
В примере 3 граф имеет две сильно связных компоненты.
Связность и матрица смежности графа.
Теорема 1. Любой граф представляется в виде объединения непересекающихся (сильно) связных компонент. Разложение графа на (сильно) связные компоненты определяется однозначно.
Таким образом, множество вершин связных компонент, а также сильных компонент образуют разбиение множества вершин графа, причем число с(G) связных компонент графа G определяется однозначно.
Теорема 2. Если A матрица смежности графа G, то (i, j) элемент матрицы Ak=A·A·A··…·A (k раз), есть число (vi, vj) маршрутов длины k.
Следствие 1. В графе G мощности n тогда и только тогда существует маршрут (vi, vj) , причем vi ≠vj , когда (i, j) – элемент матрицы A+A2+ A3+ A4+…+ An-1 не равен нулю.
Следствие 2. В графе G мощности n тогда и только тогда существует цикл, содержащий вершину vi когда (i, i) – элемент матрицы A+A2+ A3+ A4+…+ An-1+An не равен нулю.
П ример. При помощи матрицы смежности определим существование всевозможных (1, 3) - маршрутов в графе, изображенном на рисунке.
Рис. 25
По графу находим матрицу смежности A:
A= .
Её элемент (1,3)=0, следовательно. (1, 3) маршрутов длины 1 в графе нет. Затем находим:
A2= . = .
В этой матрице элемент (1,3)=0, т.е. (1, 3) маршрута длины 2 в графе нет. Далее
A3= A2·A = · =
Eё элемент (1, 3)=1, т.е. существует ровно один (1, 3) - маршрут длины 3. Этот маршрут определяется набором вершин (1, 4, 2, 3)
Эту последовательность вершин можно найти на основе перемножения матрицы смежности: Элемент (1, 3) матрицы A3 получается при перемножении элемента (1, 2) матрицы A2 на элемент (2, 3) матрицы A. В свою очередь элемент (1, 2) матрицы A2 образуется при перемножении элемента (1, 4) матрицы A на элемент (4, 2) матрицы A, т.е. следовательно, двигаясь от 1 к 3 за 3 шага, получаем маршрут (1,4, 2, 3).
В матрице A3 элемент (4, 2) равен 3, это значит, что существуют три (4,2) маршрута длины 3 : (4, 1, 4, 2), (4, 2, 4, 2), (4, 2, 3, 2).
6.9. Матрица взаимодостижимости.
Образуем из матрицы E+ A+A2+…+ An=(bi, j) матрицу С порядка n по правилу:
сi, j= .
Полученная матрица С называется матрицей связности, если G – неорграф и матрицей достижимости, если G – орграф.
Элемент этой матрицы сi, j =1 тогда и только тогда, когда в графе есть (vi, vj) – маршрут (i≠j).
Матрицей контрдостижимости называется матрица Q=(qi, j), элементы которой:
qi, j =
Отметим, что Q=CT. Матрицы достижимости и контрдостижимости используются для нахождения сильных компонент графа. Для этого используется матрица взаимодостижимости (сильных компонент) , где символ означает поэлементное произведение матриц С и Q, т.е. sij=cij∙qij.
Элемент sij=1 тогда и только тогда, когда вершины vi и vj взаимодостижимы. Это означает, что они находятся в одной сильной компоненте. Следовательно, сильная компонента, содержащая вершину vi, состоит из тех элементов vij, для которых sij=1.
П ример. Для графа, изображённого ниже, определим матрицы достижимости, контрдостижимости и взаимодостижимости
Рис. 26
Матрица достижимости C= .
Матрица контрдостижимости Q=CT=
Матрица взаимодостижимости =
По второй строке матрицы S находим, что сильная компонента, содержащая вершину 2 состоит из вершин (1, 2, 3).