5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.

Изложенная теория нелинейных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными непосредственно распространяется на уравнение с n неизвестными переменными

F(x_1, ..., х_n, u, р_1, ..., p_n)= 0 ( )

Поэтому мы ограничимся лишь указанием результатов. Характеристическая система, соответствующая уравнению , имеет вид:

где X_k=F_xk, U=F_u, P_k=F_pk, a s — некоторый вещественный параметр. система имеет первый интеграл

F(x₁, ..., х_n, u, р_1, ..., р_n) = С. Все решения системы , одновременно удовлетворяющие соотношению

F(x₁, ..., х_n, u, p₁,…,p_n)=0, называются характеристическими полосами. Эти полосы образуют (2n-1) — параметрическое семейство. Положим, что мы проинтегрировали систему :

где x⁽⁰⁾_k, u⁰, p⁽⁰⁾_k—начальные значения функций при s = 0. Будем считать, что эти начальные значения являются функциями (n—1) параметров:

x⁽⁰⁾_k(t₁,…, t_n-1), u⁽⁰⁾(t₁,…,t_n-1), p⁽⁰⁾_k(t₁,…,t_n-1).

Далее получим:

x_k=x_k(s,t₁,…, t_n-1), u_k=u_k(s,t₁,…,t_n-1), p_k=p_k(s,t₁,…,t_n-1).

Если функциональный определитель который, в силу первых из уравнений системы, может быть записан в виде

не обращается в нуль на начальном многообразии и, следовательно, в силу непрерывности производных, не обращается в нуль в некоторой окрестности этого многообразия, то величины s, t_1, ... , t_n-1 в этой окрестности могут быть выражены через x_1, ... ,x_n, подставляя эти выражения в u = u(s, t_1, ..., t_n-1) получим определенную поверхность u = u(x₁, ... , x_n), содержащую начальное многообразие. Эта поверхность будет интегральной поверхностью уравнения , если функции удовлетворяют n соотношениям

тождественно по t_j. Задача Коши состоит в отыскании интегральной поверхности уравнения , содержащей заданное (n-1)-мерное многообразие x⁽⁰⁾ _k(t₁,…,t_n-1), u⁽⁰⁾ t₁,…_,t_n-1). Это многообразие дополним до многообразия , определив p⁽⁰⁾_k(t₁,…,t_n-1) из уравнений . Если при этом определитель отличен от нуля вдоль такого многообразия, то указанный выше метод приводит к решению задачи Коши, и это решение единственно.

Пример. Найти интегральную поверхность уравнения

x₁p₁+x₂p₂+x₃p₃-(1/2)(p²₁+p²₂-p²₃)-u=0, содержащую 2-мерное многообразие x =t₁, x =t₂, x =0, u⁽⁰⁾=(t²₂-t²₁)/2. Дополним это многообразие, определив р. Отсюда p⁽⁰⁾₁=t₁, p⁰⁾₂=t_2, p⁽⁰⁾₃= .

Характеристическая система имеет вид

и ее решение, выраженное через начальные данные, будет:

.

Тогда получим:

Исключив s, t₁, t₂ из первых четырех уравнений, получим

интегральную поверхность

6. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ МЕТОДОМ СЕТОК

6.1. Методы приближенного решения

дифференциальных уравнений

Один из методов приближенного решения дифференциальных уравнений заключается в том, что входящие в уравнения производные заменяются конечно-разностными отношениями. В результате такой замены дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений относительно значений неизвестной функции в узловых точках. Как известно, по определению

,

где может быть как положительной, так и отрицательной величиной. При малых можно считать, что

Полагая , получим

Если за взять среднее арифметическое значение, то

формулы

Точно так же заменяются конечно-разностными отношениями производные высших порядков . Для производной второго порядка эти формулы имеют вид

Аналогичные формулы применяются для замены частных производных. В дальнейшем используются обозначения