- •Введение
- •Определители, матрицы. Системы линейных уравнений
- •2. Линейные пространства.
- •Решение систем линейных уравнений
- •3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос
- •4. Линейные преобразования и действия Над ними
- •5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
- •6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •7. Векторы и действия над ними
- •8. Плоскость и прямая в пространстве
- •9. Кривые второго порядка на плоскости
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •11. Исследование общего уравнения кривой. Поверхности второго порядка.
- •12. Комплексные числа. Теорема
- •И ее предел.
- •13. Функция. Предел функции
- •14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
- •15. Производная функции и ее вычисление
- •16. Дифференциал функции. Применение дифференциала
- •17. Неопределенный интеграл
- •18. Определенный интеграл
- •19. Несобственные интегралы
- •20. Приложения определённого интеграла
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •21. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •22. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •23. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •2) Случай нескольких независимых переменных.
- •24. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •25. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •26. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •27. Дифференциальные уравнения
- •28. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •29. ЧиСлоВые ряды
- •30. Функциональные ряды
- •31. Тригонометрические ряды Фурье
- •32. Интеграл Фурье
- •33. Двойной интеграл
- •34. Тройные интегралы
- •35. Криволинейные интегралы
- •36. Поверхностные интегралы
- •Поверхностные интегралы второго рода
- •Так же получены формулы:
- •37. Теория поля
- •Скалярные поля
- •Формула Остроградского на плоскости
- •Циркуляция вектора вдоль контура не зависит от выбора координатной системы.
- •38. Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •39. Функция комплексного переменного
- •40. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия коши — римана
- •41. Интегрирование функций комплексного переменного
- •42. Ряд лорана
- •43. Преобразование Лапласа
- •44. Задача коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
- •Заключение
- •Библиографический список
- •35. Криволинейные интегралы ……………………………….302
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
4. Линейные преобразования и действия Над ними
Говорят, в линейном векторном пространстве R задано преобразование А, если каждому элементу (вектору) по некоторому закону (или правилу) ставится в соответствие вектор . Преобразование А называют линейным , если для любых векторов и любого действительного числа выполняется равенства и .
Для простоты возьмём линейное пространство R3 (n=3) .
Пусть в этом пространстве R3 имеются два базиса:
(старый) и (новый), связанные равенствами
(**)
где матрица перехода от старого базиса к новому, столбцы, которой являются координатами в формулах перехода (**). Если вектор задан в базисе , то его координаты в новом базисе можно найти по формуле , где матрица линейного преобразования является обратной для матрицы A; т.к. detA ,то - невырожденная матрица. Заметим, что в конечномерном пространстве R линейное преобразование (оператор) называется невырожденным , если определитель матрицы этого линейного преобразования отличен от нуля. Матрицу линейного оператора (преобразования ) при переходе от одного ортонормированного базиса к другому находится по формуле , где A-матрица перехода от старого базиса к новому , B матрица оператора в старом базисе
Пример. Найти координаты вектора в базисе
( ), если он задан в базисе ( ).
Дано: , , ,
Решение. Имеем по условию разложение вектора старом базисе . Требуется разложить вектор в новом базисе , т.е. надо найти новые координаты вектора Учитывая условие задачи, запишем
+ +
или в координатной форме
Векторное уравнение равносильно трем скалярным уравнениям
Это линейная неоднородная система(ЛНС), у которой
det A=-1. Решаем ЛНС уравнений по правилу Крамера:
, ,
Находим:
,
. Таким образом, =(5,6,7).
5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
Пусть Rn - заданное n-мерное линейное пространство.
Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора (преобразования) ,заданного матрицей А , если найдется такое число , что выполняется равенство . Само число называют собственным (или характеристическим) числом оператора А, соответствующим собственному вектору . Собственные (значения) матрицы А являются корнями характеристического уравнения det (A- E)=0, являющегося алгебраическим уравнением n-ой степени. Если
, , то характеристическое уравнение в координатной форме имеет вид:
=0 (***)
Для нахождения ненулевого собственного вектора
= , отвечающему собственному числу ,
m=1,2,…n надо решить линейную однородную систему (ЛОС) уравнений:
Эта ЛОС уравнений имеет бесконечно много решений. Поэтому, собственному значению соответствует семейство собственных векторов. Выбирают любой из них.
Если характеристическое уравнение (***) имеет n различных корней, то соответствующие им собственные векторы … - линейно независимые и образуют базис. Если среди корней характеристического уравнения (*) имеются кратные, т.е. равные корни, например, - корень кратности к, то хорошо найти к линейно независимых собственных векторов … , отвечающих собственному значению, кратности к; их число m=n-r , где n-порядок матрицы (A- E), r=Rang (A- E); .
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А. Дано: .
Решение. Решаем характеристическое уравнение
или , .
Откуда -собственные значения матрицы А.
Для простого корня находим собственный вектор = , решая ЛОС уравнений
коэффициенты этой системы равны элементам определителя det (A- E)=0, при : .
Решим методом Гаусса: , получим или , где -свободная переменная , полагая , получаем, = -семейство собственных векторов, отвечающих собственному значению . Например, = . Для кратного корня сначала определим число линейно независимых собственных векторов. Подставляя в левую часть характеристического уравнения, получаем матрицу . Ее порядок n=3, ранг r=1 (наивысший порядок миноров, не равных нулю). Число линейно независимых собственных векторов равно m=n-r=2 совпадает с кратностью корня к=2. Найдем их. Имеем или .Полагая где -любые константы, одновременно не обращающееся в ноль, получим = - семейство собственных векторов для . Пусть . Тогда = . Пусть . Тогда = . Два линейно независимых собственных вектора и , соответствующих собственному числу .
Ответ: , – собственные значения матрицы A, , ,