- •Введение
- •Определители, матрицы. Системы линейных уравнений
- •2. Линейные пространства.
- •Решение систем линейных уравнений
- •3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос
- •4. Линейные преобразования и действия Над ними
- •5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
- •6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •7. Векторы и действия над ними
- •8. Плоскость и прямая в пространстве
- •9. Кривые второго порядка на плоскости
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •11. Исследование общего уравнения кривой. Поверхности второго порядка.
- •12. Комплексные числа. Теорема
- •И ее предел.
- •13. Функция. Предел функции
- •14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
- •15. Производная функции и ее вычисление
- •16. Дифференциал функции. Применение дифференциала
- •17. Неопределенный интеграл
- •18. Определенный интеграл
- •19. Несобственные интегралы
- •20. Приложения определённого интеграла
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •21. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •22. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •23. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •2) Случай нескольких независимых переменных.
- •24. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •25. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •26. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •27. Дифференциальные уравнения
- •28. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •29. ЧиСлоВые ряды
- •30. Функциональные ряды
- •31. Тригонометрические ряды Фурье
- •32. Интеграл Фурье
- •33. Двойной интеграл
- •34. Тройные интегралы
- •35. Криволинейные интегралы
- •36. Поверхностные интегралы
- •Поверхностные интегралы второго рода
- •Так же получены формулы:
- •37. Теория поля
- •Скалярные поля
- •Формула Остроградского на плоскости
- •Циркуляция вектора вдоль контура не зависит от выбора координатной системы.
- •38. Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •39. Функция комплексного переменного
- •40. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия коши — римана
- •41. Интегрирование функций комплексного переменного
- •42. Ряд лорана
- •43. Преобразование Лапласа
- •44. Задача коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
- •Заключение
- •Библиографический список
- •35. Криволинейные интегралы ……………………………….302
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
9. Кривые второго порядка на плоскости
1.Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Если R – радиус окружности, точки M0 (x0,y0) - ее центр, то каноническое уравнение окружности имеет вид : (x-x0)2+(y-y0)2=R2 .
2. Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, причем эта постоянная больше расстояния между фокусами (рис.9.1).
Пусть – любая точка эллипса, – фокусы. Тогда по определению имеем , где называются фокальными радиусами, и, следовательно, .
Рис. 9.1
Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом , (так как с < а, то < 1 для эллипса). Каноническое уравнение эллипса : , причем . Здесь a – большая, – малая полуоси эллипса. Если а = (с = 0, = 0, фокусы сливаются в одной точке – центре), то эллипс превращается в окружность . Фокальные радиусы эллипса: (правый фокальный радиус) и (левый фокальный радиус).
3 .Гипербола – это множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами (рис.9.2). Пусть – любая точка гиперболы, – фокусы. Тогда по определению имеем
Рис. 9.2
где называются фокальными радиусами, причем для правой ветви гиперболы, – правый фокальный радиус; – левый фокальный радиус, где число называется эксцентриситетом гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где
а2 + в2 = с2. Здесь а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы; из уравнения видно, что гипербола не пересекает ось OY, т.е. . Для построения гиперболы строят прямоугольник со сторонами 2а и 2b, с центром в начале координат. Проводят диагонали в прямоугольнике, которые являются асимптотами . Вершины гиперболы находятся в точках .
Замечание. Если уравнение гиперболы имеет вид : , то вершины гиперболы находятся на оси OY в точках . Гиперболы называются сопряженными (у них действительная ось одной гиперболы служит мнимой осью другой, и наоборот; они имеют общие асимптоты). Если а= b, то уравнение принимает вид х2 – у2 = а2. Такая гипербола называется равнобочной. Ее асимптоты перпендикулярны друг к другу. Поэтому, если за координатные оси принять асимптоты равнобочной гиперболы, то ее уравнение примет вид: (рис. 9.3,а и рис. 9.3,б), или .
Рис. 9.3
4. Парабола – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой (рис.9.4). Пусть прямая l: x=-p/2 является директрисой параболы, точка F(p/2,0) – фокус. Тогда каноническое уравнение параболы имеет вид: ,
где – фокальный параметр.
Рис. 9.4
Эта парабола расположена симметрично относительно оси ОХ ( ), – фокальный радиус параболы, который определяется по формуле , так как . Уравнение является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат ОУ. При р > 0 ветви параболы направлены в положительную сторону соответствующей координатной оси, а при р < 0 – в отрицательную сторону.