1.9.4. Импульс и энергия в релятивистской механике

Закон сохранения импульса – один из основных законов природы, отражающий однородность пространства. Однако, чтобы он был инвариантен к преобразованиям Лоренца, выражение для импульса тела требует корректировки.

Соответствующее выражение импульса в релятиви- стской механике было получено Эйнштейном

. (1.100)

Опыт показывает, что определенный таким образом импульс обладает основными свойствами, присущими импульсу в классической механике. Он сохраняется в замкнутых системах тел, а скорость его изменения равна силе, действующей на тело. Следовательно, релятивистское выражение второго закона Ньютона имеет вид

. (1.101)

Получим теперь выражение для кинетической энергии в релятивистской механике. Элементарное приращение кинетической энергии равно работе силы, действующей на тело за время , т.е.

,

где определяется по формуле (1.101).

Проведя соответствующие преобразования, после интегрирования получим

. (1.102)

Нетрудно показать, что при формула (1.102) преобразуется в классическую формулу для кинетической энергии.

Закон сохранения энергии в релятивистской механике оказывается инвариантным только в том случае, если свободной частице, кроме кинетической энергии приписать дополнительную энергию, равную

. (1.103)

Эта энергия представляет собой внутреннею энергию тела и называется энергией покоя. Под полной энергией в релятивистской механике подразумевается сумма кинети- ческой энергии и энергии покоя тела. В соответствии с (1.102) полная энергия равна

. (1.104)

Решая систему двух уравнений (1.100) и (1.104), получим выражение для полной энергии через импульс тела

. (1.105)

Из этого равенства следует, что

. (1.106)

Следовательно, при переходе от одной системы отсчета к другой полная энергия и импульс изменяются, но неизмен- ным остается выражение (1.106).

Остановимся теперь на двух важных следствиях, вытекающих из полученных соотношений.

Взаимосвязь массы и энергии. Согласно (1.103) всякое изменение массы тела сопровождается изменением энергии покоя, т.е.

. (1.107)

Это утверждение носит название закона взаимосвязи массы и энергии.

Взаимосвязь массы и энергии приводит к тому, что суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется. Рассмотрим следующий пример. Пусть две частицы массы , движущиеся навстречу друг другу с равными скоростями, претерпевают неупругое соударение. Из закона сохранения энергии следует, что

, (1.108)

откуда

,

где - масса, образовавшейся частицы.

Таким образом, масса образовавшейся частицы больше суммы масс исходных частиц. Увеличение массы обусловлено тем, что кинетическая энергия превратилась в эквивалентное количество энергии покоя, приведшее к возрастанию массы. При распаде неподвижной частицы на несколько частиц, наблюдается обратное явление.

Частицы с нулевой массой. Ньютоновская механика не допускает существование частиц с нулевой массой. Законы релятивистской механики не противоречат существованию таких частиц.

Из формул (1.100) и (1.104) следует, что частица с массой покоя может иметь энергию и импульс только в том случае, если она движется со скоростью света. При этом обе формулы принимают вид 0/0, что не означает, тем не менее, неопределенности энергии и импульса такой частицы. Согласно (1.103) связь между ними выражается соотноше- нием

. (1.109)

К числу таких частиц принадлежит фотон. Движение со скоростью света, это единственное состояние в котором эти частицы могут существовать. Остановка такой частицы равносильна ее исчезновению.