Примеры

Пример 1. Моделирование объема спроса на автомашины.

Наблюдения за объемом продаж автомобилей в салоне «ЛОГОВАЗ» в течение 200 дней показали, что величина спроса изменяется от 0 до 5 автомобилей в день. Частота реализации значений стохастической переменной приведена во втором столбце таблицы:

Постройте модель, позволяющую имитировать значение величины спроса.

Решение. Построим функцию распределения величины спроса и интервалы случайных чисел для значений стохастической переменной. Соответствующие значения указаны в четвертом и пятом столбцах вышеприведенной таблицы.

Сымитируем спрос на автомашины в салоне «ЛОГОВАЗ» в течение 10 последующих дней (случайные числа из таблицы случайных чисел (Приложение 2) выбираем, начиная из верхнего левого угла и двигаясь вниз в первом столбце):

В результате получаем: 39 — спрос за 10 дней; 39/10 = 3,9 — средний ежедневный спрос.

Оценка 3,9 средней величины спроса, полученная в результате имитационного эксперимента, существенно отличается от значения 2,95 — математического ожидания этой случайной величины. Однако эта разница уменьшается с ростом числа испытаний.

Вопросы

Вопрос 1. Для моделирования случайной величины Х в имитационной модели используется метод Монте-Карло. Случайная величина X может принимать значения 2, 3 и 4. При 200 наблюдениях эти значения реализуются с частотами 42, 88 и 70 соответственно. Определите интервал случайных чисел для значения Х = 3.

Варианты ответов:

1) от 1 до 42;

2) от 43 до 88;

3) от 22 до 65;

4) от 43 до 65;

5) от 66 до 100.

Вопрос 2. Метод имитации называется методом Монте-Карло, если:

1) для проведения вычислений используется компьютер;

2) метод позволяет сэкономить деньги;

3) метод использует значения вероятностей;

4) все вышеуказанное является верным;

5) ничто из вышеуказанного не является верным.

Вопрос 3. Длина интервала случайных чисел:

1) зависит от значения моделируемой переменной;

2) зависит от частоты наступления событий;

3) зависит от интегральной вероятности;

4) устанавливается произвольно;

5) равна единице.

Вопрос 4. Для моделирования случайной величины Х в имитационной модели используется метод Монте-Карло. Случайная величина X может принимать значения 6, 7 и 8. При 200 наблюдениях эти значения реализуются с частотами 28, 72 и 100 соответственно. Определите интервал случайных чисел для значения X = 7.

Варианты ответов:

1) от 1 до 28;

2) от 29 до 72;

3) от 15 до 50;

4) от 51 до 100;

5) от 1 до 72.

Вопрос 5. Параметрами управления в имитационной системе управления запасами являются:

1) темп обслуживания и время выполнения заказа;

2) размер запаса и темп производства;

3) величина спроса и время выполнения заказа;

4) размер запаса и время выполнения заказа;

5) издержки хранения и время выполнения заказа.

Задачи

Задача 1. Количество машин, прибывающих на автомойку Марка Беззаботного каждый час, за последние 200 часов ее работы приведено в следующей таблице:

Постройте распределение вероятностей и интегральное распределение вероятностей для количества прибывающих машин. Определите для этой переменной интервалы случайных чисел. Сымитируйте прибытие машин в течение 15 часов работы мойки.

Выберите необходимые для имитации случайные числа из четвертой строки таблицы случайных чисел, начиная со значения 69 (см. Приложение 2).

Вопросы:

1. Сколько машин прибудет в первый час?

2. Сколько машин в среднем прибывает в час?

Задача 2. Фирма «Веста» — производитель промышленных моечных машин. Одной из комплектующих деталей в производственном процессе является стальной лист размером 8 х 10 дм. Сталь поставляется на контрактной основе компанией «Уралсталь», причем еженедельный объем поставок может составлять 8 или 11 тыс. дм² (45% шансов на то, что объем поставок составит 8 тыс. дм², и 55% шансов на то, что 11).

Распределение величины потребности в стали показано в следующей таблице:

Фирма «Веста» может хранить на складе не более 25 тыс. дм² стали одновременно.

Сымитируйте заказы на сталь и ее использование в течение 20 недель. Начните первую неделю с нулевого запаса на складе. Если запас на конец недели окажется отрицательным, то восполните необходимую разницу из следующего заказа. Используйте для имитации третью строку таблицы случайных чисел (см. Приложение 2).

Вопросы:

1. Требуются ли фирме «Веста» дополнительные складские помещения?

2. Какое количество стали будет на складе фирмы в конце 20-й недели?

ЗАДАНИЕ 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Цели

Человеку постоянно приходится принимать решения. Так, прежде чем выйти из дому, вы задумываетесь над тем, взять ли зонт. Конечно, не хотелось бы носить его с собой в хорошую погоду. Но в дождливый день зонт будет весьма кстати. Так брать или не брать зонт?

Ответить на этот вопрос несложно, если точно знать, какая будет погода. Если с утра идет дождь, большинство людей возьмет зонты. Хотя, возможно, не все. Некоторые закаленные люди скорее предпочтут промокнуть, лишь бы не носить весь день с собой зонт. Последствия отсутствия зонта в плохую погоду оцениваются каждым человеком по-разному. Эти оценки влияют на решение.

Сложнее принять решение, если отсутствует достоверная информация о том, какая ожидается погода. Нельзя полностью доверять прогнозу. Он никогда не бывает абсолютно точным. Еще сложнее принять решение, если вы прогноза не знаете.

Методы принятия решений в условиях отсутствия достоверной информации о возможных последствиях изучаются теорией риска. Эта теория имеет широкую сферу приложений в экономике. Одно из наиболее важных — выбор инвестиционных проектов.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа следующие понятия:

• альтернатива;

• состояние среды;

• таблица решений;

• дерево решений;

• критерий безразличия;

• критерий оптимизма;

• критерий пессимизма;

• ожидаемая стоимостная оценка альтернативы;

• ожидаемая ценность достоверной информации.

Кроме того, вы научитесь принимать решения в условиях неопределенности, определенности и в условиях риска.

Модели

Теория принятия решений — это аналитический подход к выбору наилучшей альтернативы или последовательности действий. В теории принятия решений существуют три основных уровня классификации. Они зависят от степени определенности возможных исходов или последствий, с которыми сталкивается лицо, принимающее решения (ЛПР).

Соответственно существуют три типа моделей:

1. Принятие решений в условиях определенности — ЛПР точно знает последствия и исходы любой альтернативы или выбора решения. Например, ЛПР с полной определенностью знает, что вклад 100 тыс. руб. на текущий счет приведет к увеличению баланса этого счета на 100 тыс. руб.

2. Принятие решений в условиях риска — ЛПР знает вероятности наступления исходов или последствий для каждого решения. Мы можем не знать того, что завтра будет дождь, но мы можем знать, что вероятность дождя 0,3.

3. Принятие решений в условиях неопределенности — ЛПР не знает вероятностей наступления исходов для каждого решения. Например, вероятность того, что весь тираж этой книги будет реализован за год, авторам неизвестна.

Если имеет место полная неопределенность в отношении возможности реализации состояний среды (т.е. мы не можем даже приблизительно указать вероятности наступления каждого возможного исхода), то обстоятельства, с которыми мы имеем дело при выборе решения, можно представить как вид стратегической игры, в которой один игрок — ЛПР, а другой — некая объективная действительность, называемая природой. Условия такой игры обычно представляются следующей таблицей решений, в которой строки А₁, А₂, ..., А_m, соответствуют стратегиям ЛПР, а столбцы N₁, N₂,..., N_n — стратегиям природы (a_ij — выигрыш ЛПР, соответствующий каждой паре A_i, N_j):

В рассматриваемой ситуации при выборе из множества {А₁, А₂, ..., А_m} наилучшего решения обычно используют следующие критерии:

1. Максимаксный критерий, или критерий крайнего оптимизма — определяет альтернативу, которая максимизирует максимальный результат для каждой альтернативы, т.е. ЛПР выбирает стратегию sq, которой соответствует

2. Максиминный критерий Вальда, или критерий крайнего пессимизма — определяет альтернативу, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы, т.е. ЛПР выбирает стратегию i₀, которой соответствует

3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Согласно этому критерию выбирается стратегия, при которой величина риска r_ij в наихудших условиях минимальна, т.е. равна

4. Критерий оптимизма-пессимизма Гурвица — рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия выбирается из условия

Значение коэффициента пессимизма k выбирается между нулем и единицей. При k = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда, при k > 0 — в критерий крайнего оптимизма.

5. Критерий безразличия. В условиях полной неопределенности предполагается, что все возможные состояния среды (природы) равновероятны. Этот критерий выявляет альтернативу с максимальным средним результатом, т.е.

Если известна таблица решений с оценками условий и вероятностями реализации для всех состояний среды, можно определить ожидаемую стоимостную оценку ЕМV для каждой альтернативы. Один из наиболее распространенных критериев выбора альтернативы — максимальная ЕМV.

Для каждой альтернативы ожидаемая стоимостная оценка ЕМV есть сумма всевозможных оценок условий (выигрышей) для этой альтернативы, умноженных на вероятности реализации этих выигрышей:

где a_ij — выигрыш ЛПР при выборе альтернативы i и реализации состояния среды j, j =1,..., n;

р_j — вероятность наступления состояния среды j.

Ожидаемой ценностью достоверной информации EVPI назовем разность между выигрышем в условиях определенности и выигрышем в условиях риска.

Для того чтобы определить EVPI, вначале необходимо рассчитать математическое ожидание в условиях определенности, которое равно ожидаемому (или среднему) доходу в случае, когда мы имеем достоверную информацию перед тем, как принять решение.

Ожидаемый выигрыш в условиях достоверной информации определяется как

Тогда

Таблицу решений удобно использовать при анализе задач, имеющих одно множество альтернативных решений и одно множество состояний среды. Многие задачи, однако, содержат последовательности решений и состояний среды. Если имеют место два (или более) последовательных решения и последующее решение основывается на исходе предыдущего, более предпочтителен подход, основанный на построении дерева решений.

Дерево решений — это графическое изображение процесса решений, в котором отражены альтернативные решения, состояния среды, а также соответствующие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.

Анализ задач с помощью дерева решений включает пять этапов:

1) формулировка задачи;

2) построение дерева решений;

3) оценка вероятностей состояний среды;

4) установление выигрышей для каждой возможной комбинации альтернатив и состояний среды;

5) решение задачи путем расчета ожидаемой стоимостной оценки ЕМУ для каждой вершины состояния среды.