scherbo-sp1

Прямоугольное сечение. Возьмем произвольную точку К, отстоящую от нейтральной оси Ох на расстоянии у (рис. 7.19). Проведем через эту точку сечение параллельно оси Ох; ширина этого сечения bу = b. Статический момент отсеченной (заштрихованной) части равен

Формула (7.13) показывает, что касательные напряжения по высоте сечения изменяются по закону квадратной параболы. При y = ±h2 полу-

чим τ = 0, а при у = 0 имеем

Рассмотрим произвольную точку К. (рис. 7.20). Проведем через эту точку линию, параллельную оси Ох. Статический момент площади верхней отсеченной части (заштрихована на рис. 7.20) может быть найден как сумма статических моментов площадей F1 и F2:

Эта формула справедлива, когда точка К находится в пределах вертикальной стенки, т. е. пока величина у лежит в пределах вертикальной стенки, т. е. в пределах

0 ≤ y ≤ h21 .

Эпюра касательных напряжений для вертикальной стенки имеет вид, показанный на рис. 7.20.

При определении касательных напряжений в полке двутавра необходимо иметь в виду, что в каждой ее точке возникают два касательных напряжения: τy и τx (рис. 7.20). Если для определения τy применить формулу (7.12), то на эпюре τ вследствие резкого изменения ширины сечения будет скачок, и она пойдет, как показано на чертеже, пунктиром. Однако для определения τy нельзя пользоваться формулой (7.12), так как предположение о равномерности распределения касательных напряжений по ширине полки здесь оказывается неправильным.

Таким образом, вопрос о величине и законе распределения касательных напряжений в горизонтальных площадках полки остается неразрешенным. Однако ввиду того, что в этих сечениях касательные напряжения τу невелики и практически не влияют на прочность балки, то ими обычно не интересуются и потому их не вычисляют.

Значительно больший интерес представляют касательные напряжения τх. Если предположить, что по толщине полки они распределены равномерно, то можно для их определения также воспользоваться общей формулой (7.12); при этом статический момент отсеченной части определяется выражением

Sxотс = Fотс y1,

где Fотс и У1 берутся так, как показано на рис. 7.21. На этом рисунке показан также вид эпюры касательных напряжений для двутаврового сечения как в

112

вертикальной стенке, так и в горизонтальных полках. Там же указано направление этих напряжений.

Круглое сечение. Для сечений, у

которых контур очерчен кривыми линиями, задача определения касательных напряжений усложняется.

Так, например, для круглого сечения в точках а и b произвольной полоски, отстоящей на расстоянии у от нейтральной оси (рис. 7.22, б), касательные напряжения не могут быть направлены вертикально, как это предполагалось при выводе формулы (7.12). В самом деле, рассмотрим эле-

ментарную призму, расположенную у поверхности вала (рис. 7.22, а).

Рис. 7.22

Пусть грань bb1d1d этой призмы выходит на поверхность, тогда касательные напряжения τ2 на ней отсутствуют. По закону парности касательные напряжения τ2 на площадке, лежащей в плоскости поперечного сечения, также равны нулю. Следовательно, на этой площадке действуют только напряжения τ1. Таким образом, в точках а и b касательные напряжения должны быть направлены по касательной к контуру сечения (рис. 7.22, б). Сделаем предположение, что на полоске ab для круглого сечения касательные напряжения направлены так, что все они пересекаются в точке О. Дополнительно предположим, что вертикальные проекции этих напряжений равномерно распределены по линии ab. На основании таких предположений общую формулу касательных напряжений можно использовать

113

для определения вертикальных проекций τ. Вычисление всех остальных величин, входящих в общую формулу для круглого сечения, производится так же, как для прямоугольного сечения. Эпюра вертикальных проекций касательных напряжений τ показана на рис. 7.22, в.

Все, что было сказано о круглом сечении, относится и к некоторым другим типам поперечных сечений. Так, например, в сечении треугольного типа также приходится определять проекции касательных напряжений на вертикальную ось.

7.7. Анализ напряженного состояния при изгибе

Ранее было установлено, что в поперечных сечениях, работающих на изгиб, возникают нормальные напряжения

σ = M x y (a)

J x

и касательные напряжения

Таким образом, в произвольной точке балки (рис. 7.23) при изгибе имеет место плоское напряженное состояние. Найдем главные напряжения, действующие по главным площадкам.

Вп. 3.4 были получены формулы главных напряжений:

σmax = σx +2 σy ± 12 (σx − σy )2 + 4τ2yx .

min

Внашем случае

σx = σ; τyx = τ.

Величиной нормальных напряжений в горизонтальных площадках пренебрегаем, поэтому для рассматриваемого случая формулы главных

Для определения угла наклона главных площадок воспользуемся формулой (3.12), полученной в п. 3.4. В нашем случае будем иметь следующую формулу:

tg2α0 = − 2στ.

114

Исследуем напряженное состояние в трех точках, лежащих в одном и том же поперечном сечении, но взятых на разной высоте (рис. 7.24), а именно: в верхнем сжатом волокне (точка 1), в нейтральном слое (точка 2) и в нижнем растянутом волокне (точка 3).

Рис. 7.23 Рис. 7.24

В точке 2: τ = τmax ; σ = 0;

следовательно,

α′0 = 45o и α′0′ =135o.

В точке 3: τ = 0;

115

σ2 = 0; α′0 = 90o; α′0′ = 0.

Наибольшие касательные напряжения равны

Вычисляя главные напряжения для целого ряда точек какого-либо поперечного сечения, можно построить эпюры главных растягивающих, главных сжимающих, а также наибольших касательных напряжений, которые развиваютсявплощадках, наклоненныхкглавнымплощадкамподуглом45°.

На рис. 7.25 показан общий вид эпюр нормальных, касательных и главных напряжений для случая, когда балка имеет прямоугольное поперечное сечение. Интересно отметить, что на нейтральной оси численное значение ординат всех эпюр, кроме первой, одно и то же.

Рис. 7.25

Для балки с двутавровым сечением те же самые эпюры напряжений показаны на рис. 7.26. Скачки в эпюрах σmах, σmin и τmах, τmin объясняются наличием скачка в эпюре τ, в месте перехода стенки в полку.

Рис. 7.26

116

Заметим, что наибольшее по абсолютному значению главное напряжение часто возникает в месте примыкания стенки к полке. Это обстоятельство обязательно должно быть учтено при проверке прочности двутавровых балок.

Исследование напряженного состояния в балках при изгибе может быть проведено также графическим методом с помощью кругов напряжений.

С этой целью в каждой точке балки за исходные напряжения принимаются напряжения в поперечных сечениях σ и τ, которые находятся по формулам (7.10) и (7.12). По этим данным в осях σ и ε строятся круги напряжений и по ним устанавливаются величины главных напряжений и их направления.

Если провести линии под углом 45° к главным площадкам, то получим направление площадок с наибольшими касательными напряжениями.

Ранее было введено понятие о траекториях главных напряжений, которые можно построить для балок, работающих на изгиб.

На рис. 7.27 для случая загружения двухопорной балки равномерной нагрузкой жирными линиями показаны траектории главных растягивающих σ1 а пунктирными – главных сжимающих напряжений σ2.

Рис. 7.27

По траекториям σ1 можно судить о том, где и в каком направлении могут появиться трещины, если материал балки плохо работает на растяжение. При армировании железобетонных балок арматуру целесообразно располагать в зонах и по возможности по направлению растягивающих напряжений. Эту задачу помогают решать траектории главных напряжений. Из рис. 7.27, а видно, что траектории главных напряжений σl и σ2 пересекаются между собой под углом 90°, а нейтральную ось все они пересекают под углом 45°.

Траектории главных напряжений зависят от типа нагрузки и способов закрепления балки. На рис. 7.27, б показаны траектории главных напряжений для балки, заделанной одним концом и загруженной силой Р.

117

На рис. 7.28 приведена фотография трещин в хрупком лаковом покрытии балки, изгибаемой сосредоточенной силой. Трещины образовались в направлении, перпендикулярном главным растягивающим напряжениям σ1 поэтому они совпадают с траекториями главных сжимающих напряжений σ2.

Рис. 7.28

7.8.Проверка прочности балок при изгибе

Вп. 7.5 была получена формула для определения нормальных напряжений при изгибе

Момент сопротивления сечения характеризует собой сопротивляемость бруса изгибу. Он измеряется в кубических сантиметрах (см2) и зависит от формы и размеров поперечного сечения.

118

По формуле (7.15) при заданных размерах сечения и заданном изгибающем моменте можно проверить прочность бруса по нормальным напряжениям. Так, если вести расчет по методу предельных состояний, то условие прочности примет вид

Зависимость (б) позволяет определить требуемые размеры бруса при заданном изгибающем моменте (произвести подбор сечения). Для этого необходимо определить требуемый момент сопротивления:

(Wx )треб = MRx

и затем назначить размеры сечения так, чтобы его момент сопротивления был близок к требуемому.

Внекоторых случаях, например, для двутавровой балки, необходимо произвести проверку прочности в ряде характерных точек поперечного сечения.

Вточке 1 (рис. 7.29) касательные напряжения равны нулю, поэтому проверка производится по нормальным напряжениям согласно формуле (7.15). В точке 3, наоборот, нормальные напряжения равны нулю, а касательные имеют наибольшее значение, поэтому проверку необходимо производить по формуле

В точке 2 возникают и нормальные, и касательные напряжения, при этом и те и другие довольно значительны по величине. В этом случае проверку прочности можно произвести по главным напряжениям:

Проверка прочности в некоторых точках предусматривает уточнение размеров отдельных элементов сечения, например, толщину вертикальной стенки балки.

Если сечение симметрично относительно оси Ох, то по формуле

растягивающие, так и наибольшие сжимающие напряжения.

Для несимметричных сечений формулой (7.15) можно пользоваться только для определения самых больших по модулю напряжений. Так, для

119

сечения, показанного на рис. 7.30 можно определить напряжение только в точке А.

В тех случаях, когда материал, из которого изготовлен стержень, имеет различные допускаемые напряжения при растяжении и сжатии, например, чугун, проверку прочности необходимо производить по формуле (а), определяя как максимальное растягивающее, так и наибольшее сжимающее напряжения:

Здесь Rс и Rp – расчетные сопротивления сжатия и растяжения. Большое значение имеет выбор рациональной формы поперечного

сечения балки.

При заданной площади сечения можно подобрать несколько различных типов сечения. Каждый из них будет иметь требуемый момент сопротивления.

Наиболее выгодным окажется то сечение, у которого при заданной площади момент сопротивления будет наибольшим.

Рассмотрим случай, когда сечение симметрично относительно горизонтальной оси.

Так как

то при одинаковых высотах необходимо стремиться так расположить материал по высоте, чтобы момент инерции сечения был максимальным: