scherbo-sp1

«–», то – сжат. Так, например, для определения нормальной силы в сечении т-п стержня, изображенного на рис. 2.2, а, рассмотрим равновесие левой отсеченной части (рис. 2.2, б): составляя уравнение, получим

N − P = 0; N = +P.

Знак «+» показывает, что стержень растянут.

В сложных случаях целесообразно строить эпюру внутренних сил. Эпюрой продольной силы N называется график, каждая ордината которого равна значению продольной силы в данном сечении. Эпюра обычно строится на базисной линии, проведенной параллельно оси стержня.

Рис. 2.2

Для построения эпюры N приходится устанавливать закон изменения продольной силы по длине стержня и определять величины N в нескольких поперечных сечениях. Так, для стержня, изображенного на рис. 2.3, а, нормальные силы на участках l1, l2 и l3 различны, что устанавливается из рассмотрения равновесия отсеченных частей, изображенных на рис. 2.3, б, в, г. Применяя для каждой из этих частей уравнение статики ∑Z = 0, находим:

N1= 30 тс, N2 = 40 тс, N3 =-20 тс.

Рис. 2.3

21

По длине каждого участка нормальная сила не меняется, поэтому условие равновесия отсеченной части, а следовательно, и значение нормальной силы N1 не изменится, например, если сечение I-I перемещать в пределах участка l1. Для рассматриваемого примера эпюра нормальных сил показана на рис. 2.3, д.

Построение эпюры N усложняется, если внешняя нагрузка интенсивностью р распределена вдоль оси стержня по некоторому закону (рис. 2.4, а, б). Для решения этой задачи рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента, вырезанного двумя сечениями, расположенными друг от друга на расстоянии dz (рис. 2.4, в).

К нижнему сечению вырезанного элемента приложим внутреннюю силу N, а к верхнему – силу N + dN. Из условия равновесия вырезанного элемента стержня ∑Z = 0, находим

т. е. величина нормальной силы в произвольном сечении равна сумме проекций на ось стержня всех внешних сил (интегралу), приложенных к отсеченной части.

Легко заметить, что это положение справедливо и в случае действия сосредоточенных сил. Поэтому в дальнейшем при построении эпюры N не будем изображать отсеченные части стержня, а будем сразу записывать значение нормальной силы исходя из указанного правила.

Дифференциальная зависимость (2.1) дает возможность проверять правильность построения эпюры N. Так, например, на участках стержня, где отсутствует внешняя нагрузка, эпюра должна идти по прямой, параллельной оси.

22

2.2. Напряжения и деформации при растяжении и сжатии. Закон Гука

Рассмотрим сначала простейший случай растяжения призматического стержня внешней продольной нагрузкой, равномерно распределенной по концам (рис. 2.5, а). Площадь поперечного сечения равна F. Равнодействующая внешней нагрузки на каждом конце стержня равна Р и приложена в центре тяжести торцового сечения. Нормальная сила, приложенная в центре тяжести произвольного сечения m-n (рис. 2.5, б) равна N = P.

Сила N является равнодействующей внутренних сил σdF, действующих на бесконечно малые площадки поперечного сечения стержня,

Однако из формулы (2.3) нельзя найти закон распределения нормальных напряжений σ по площади поперечного сечения, т. е. для нахождения σ одних уравнений равновесия недостаточно.

Опыты показывают, что если нанести на поверхность рассматриваемого бруса систему взаимно перпендикулярных линий (рис. 2.5, а), то после нагружения стержня поперечные линии

а-а, b-b, с-с, d-d переместятся параллельно самим себе.

Значит, если мысленно представить себе стержень состоящим из тонких продольных призматических элементов, то все поверхностные продольные элементы будут удлиняться одинаково. Естественно предположить, что и внутренние продольные элементы тоже удлиняются одинаково, т. е. поперечные сечения смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений, впервые высказанной голландским ученым Д. Бернулли. Согласно этой гипотезе се-

чения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации. Гипотеза Бернулли широко применяется в задачах сопротивления материалов.

Так как все продольные элементы, на которые мысленно разделен стержень, находятся в одинаковых условиях, то нормальные напря-

23

жения во всех точках поперечного сечения должны быть одинаковы: σ = const , поэтому из формулы (2.3) получим

Все изложенные соображения и формула (2.4) могут быть применены также и к коротким сжатым стержням, которые формально отличаются от растянутых только знаком продольной силы.

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении и сжатии призматических стержней. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокращаются. При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются.

На рис. 2.6 пунктиром показан деформированный вид растянутого стержня.

Рис. 2.6

Изменение первоначальной длины стержня ∆l называется абсолютным удлинением, которое измеряется в единицах длины.

Вырежем мысленно бесконечно малый элемент стержня длиной dz. После приложения нагрузки он получит удлинение ∆dz. Продольная ли-

l l

∆l = ∫εdz = ε∫dz = εl.

0 0

Таким образом, продольная деформация при простом растяжении

равна

Аналогично найдутся поперечные деформации (рис. 2.6): в направлении размера а

в направлении b

ε′b = − ∆bb .

Здесь знак «-» поставлен потому, что при растяжении поперечные размеры уменьшаются. Для изотропных материалов поперечные деформации одинаковы:

ε′a = ε′b = ε′.

Деформации ε и ε' – безразмерные величины.

Отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине при простом растяжении или сжатии, называют

коэффициентом Пуассона

Коэффициент Пуассона (безразмерная величина) назван по имени французского ученого, впервые в начале XIX в. обратившего внимание на постоянство этого отношения. Пуассон принимал этот коэффициент равным 0,25 и одинаковым для всех материалов. Дальнейшие эксперименты показали, что коэффициент Пуассона есть величина постоянная только для данного материала в пределах упругих деформаций. Для различных материалов коэффициент Пуассона лежит в пределах 0 ≤ µ ≤ 0,5.

Между напряжениями и деформациями существует зависимость, известная под названием закона Гука. Для центрального растяжения (сжатия) она имеет вид

Коэффициент пропорциональности Е между напряжениями и деформациями называется модулем упругости при растяжении (иначе, модулем упругости 1-го рода). Размерность Е такая же, как и у напряжения. В табл. 2.1 даны значения модуля упругости и коэффициента Пуассона для некоторых материалов.

Подставив в формулу (2.5) значение ε из закона Гука и значение σ из

Величина EF называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии.

25

2.3. Влияние способа приложения внешней нагрузки и формы стержней на напряжения и деформации

Формулы (2.4) и (2.9) выведены в предположении, что стержень растянут равномерной нагрузкой, приложенной на торцах.

Исследуем распределение напряжений и деформаций при других способах приложения внешних сил.

Возьмем резиновый брусок квадратного поперечного сечения и нанесем на его поверхность сетку взаимно перпендикулярных линий. Рассмот-

Поэтому все продольные элементы, на которые мысленно разделен стержень, деформируются одинаково и нормальные напряжения во всех поперечных сечениях распределяются равномерно и могут быть определены по формуле (2.4).

Для других случаев гипотеза плоских сечений около места приложения внешних сил становится недействительной. Сечения после деформаций искривляются; при этом возникают большие местные деформации и напряжения.

По мере удаления поперечных сечений от места приложения сил деформации и эпюры нормальных напряжений выравниваются. В сечениях с-с, находящихся от мест приложения сил на расстоянии а, примерно равном наибольшему размеру поперечного сечения, нормальные напряжения можно определять по формуле (2.4).

Быстрое затухание местных деформаций и напряжений по мере удаления от места приложения внешних сил соответствует принципу Сен-Венана (названному по имени французского ученого). Согласно этому принципу на некотором расстоянии от места приложения внешних нагрузок распределение напряжений практически не зависит от способа приложения этих нагрузок, а зависит только от их равнодействующей. Местные напряжения возникают также в местах резкого изменения поперечных размеров, как, например, в ступенчатом брусе или в брусе с отверстием (рис. 2.8).

Рис. 2.8

В обычных практических расчетах местные напряжения не принимаются во внимание, а расчет ведется по осредненным напряжениям, определяемым по формуле

σ = N ,

Fnetto

где Fnetto – площадь поперечного сечения, работающая на растяжение

(Fnetto = Fbrutto - Fосл).

Например, для сечения а-а бруса, изображенного на рис. 2.8,

Fnetto = (b − d)δ,

где δ – размер бруса в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа.

27

Для ступенчатого стержня и стержня, нагруженного несколькими силами, удлинения подсчитываются на участках с постоянными N и F и результаты суммируются алгебраически:

Здесь Nz и Fz – выражения нормальной силы и площади в произвольном сечении.

Пример.

Определить изменение длины стального ступенчатого стержня, пока-

занного на рис. 2.9, а; Е= 2 106 кгс/см2; F1 = 10 cм2; F2 = 20 см2.

Из условия равновесия нижней отсеченной части находим внутрен-

ние силы в сечениях I-I, II-II и III-III:

N1 = Pl = 200 кгс;

N2 = Рх - Р2 = 200 - 500 = - 300 кгс;

N3 = P1 - P2 + Р3,= 200 - 500 + 700 = 400 кгс.

На рис. 2.9, б показана эпюра продольных сил N. Определим полное удлинение как сумму удлинений отдельных участков:

Иногда требуется определить перемещение какого-либо поперечного сечения стержня.

Смещение сечения зависит от деформации не всего бруса, а лишь некоторой его части между сечением и неподвижной заделкой. Так, например, для стержня, изображенного на рис. 2.10, а, смещение сечения а-а равно удлинению заштрихованной части стержня.

Если требуется определить изменение расстояния между двумя сечениями: b-b и с-с (рис. 2.10, б), то для этого необходимо определить удлинение заштрихованных участков, лежащих между указанными сечениями.

28

2.4. Диаграмма растяжения

Для подробного изучения «поведения» различных материалов под нагрузкой производятся лабораторные испытания образцов, изготовленных из этих материалов, на специальных испытательных машинах. Эти испытания проводятся для определения числовых характеристик, позволяющих оценить прочность и пластичность материала. Такие характеристики обычно называют механическими.

Для того чтобы результаты испытаний, проведенных различными лабораториями, можно было сравнивать между собой, установлены типы и размеры образцов.

На рис. 2.11, а, б изображены круглый (нормальный) и плоский образцы, применяемые при испытании металлов на растяжение.

а)

б)

Рис. 2.11

Расчетная длина нормального образца равна расстоянию между рисками, нанесенными на цилиндрической части: l0 = 10d = 200 мм. По кон-

29

цам образец имеет конические участки и далее утолщения для захватов испытательной машины.

Особенно важное значение имеют испытания материалов на растяжение, при которых наиболее полно выявляются свойства материалов и их характеристики.

График зависимости между растягивающей силой Р и удлинением образца ∆l называется диаграммой растяжения. Диаграмма растяжения вычерчивается автоматически самопишущей машиной или может быть построена по точкам путем измерения удлинений образца и соответствующих растягивающих сил.

Для изучения свойств материалов удобнее пользоваться диаграммой растяжения, устанавливающей зависимость между нормальным напряжением σ и деформацией ε.

Обычно в образце вычисляются условные нормальные напряжения путем деления нагрузки Р на первоначальную площадь поперечного сечения образца F0:

σ = P ,

F0

а деформация ε вычисляется путем деления абсолютного удлинения ∆l на первоначальную длину образца l0:

ε = ∆l . l0

Поэтому два указанных вида диаграммы растяжения будут отличаться между собой только масштабом.

Рассмотрим подробнее диаграмму растяжения наиболее употребляемой в строительстве малоуглеродистой (пластичной) стали Ст. 3 (рис. 2.12). На этойдиаграмме необходимоотметитьрядхарактерныхточек: А, В, С, D иМ.

Рис. 2.12

Вначале на участке ОА диаграмма представляет собой наклонную прямую. В этих пределах напряжения σ растут пропорционально дефор-

30