- η – дополняет систему координат до левой.
Применив к сферическим треугольникам xΩζ , yΩζ , zΩζ теорему косинусов получаем первые три постоянные:
c1 |
= |
|
µp |
|
|
sin i sin Ω |
c2 |
= |
|
|
|
sin i cosΩ |
|
|
µp |
|||||
c3 |
= |
|
|
cosi |
||
|
µp |
|||||
Из треугольников xΩξ, yΩξ, zΩξ следует:
f1 |
= µ e (cosω cosΩ −sinω sin Ω cosi) |
f2 |
= µ e (cosω sin Ω +sinω cosΩ cosi) |
f3 |
= µ e sinω sin i |
3.3 Положение спутника в пространстве
Если вычислен радиус-вектор спутника r в заданный момент времени t, которому соответствует значение истинной аномалии v, прямоугольные координаты ИСЗ будут:
x = r αx , y = r αy , z = r αz
где αх, αy, αz – направляющие косинусы радиус-вектора r относительно осей x, y и z соответственно.
Используя величину:
u = ω + v ,
называемую аргументом широты, можно получить значения направляющих косинусов.
αx = cosu cos Ω −sin u sin Ω cosi
αy = cosu sin Ω +sin u cosΩ cosi
αz = sin u sin i
Учитывая это, значения прямоугольных координат ИСЗ будут:
x = r (cosu cosΩ −sin u sin Ω cosi) y = r (cosu sin Ω +sin u cosΩ cosi)
z = r sin u sin i
Здесь радиус-вектор по известной формуле:
r = 1+ e2pcosv
Формулы вычисления компонентов скорости:
38
|
|
|
|
|
x = |
µ |
[e sin v (cosu cos Ω−sin u sin Ω cosi) + |
||
|
|
|
p |
|
|
+(1+e cos v)(−sin u cos Ω−cosu sin Ω cosi)] |
|||
|
|
|
|
|
y = |
µ |
[e sin v (cosu sin Ω+sin u cos Ω cosi) + |
||
|
|
|
p |
|
|
+(1+e cos v)(−sin u sin Ω+cosu cos Ω cosi)] |
|||
|
|
|
|
|
z = |
µ |
[e sin v sin u sin i +(1+e cos v) cosu sin i] |
||
|
|
|
p |
|
С определением пространственного положения связана прямая задача. Прямая задача невозмущённого движения ИСЗ заключается в вычисление координат спутника и компонентов скорости, если заданы все шесть элементов орбиты а, е, Ω, i, ω, τ на некоторый момент времени t.
Алгоритм вычисления координат ИСЗ и компонентов скорости заключается в следующем.
1. Вычисление средней аномалии М по формуле:
M = M 0 + n(t −t0 )
Здесь начальное значение аномалии М0 в начальный момент времени t0:
M 0 |
= (t0 −τ); n = |
2π |
; |
T = |
2π |
|
a3 / 2 |
||
T |
|
|
|
||||||
µ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
2.Нахождение эксцентричной аномалии Е из решения уравнения Кеплера способом итераций:
EK +1 = M + e sin EK
до достижения точности EK − EK +1 ≤ ε . Точность вычисления Е
зависит от точности вычисления координат. Можно принять значение ε = 10 -9. В качестве начального значения Е0 можно принять значение М.
3. Определение радиуса-вектора r:
r = a(1−e cos E)
39
4. Вычисление значения истинной аномалии по одной из трёх формул:
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|||
|
|
1+ e |
|
|
||||||||
v = 2 arctan |
|
|
|
tan |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1−e |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
cos E −e |
|
|
|
|
||||||
v = arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1−e cos E |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
sin E |
|
|||||||
1 |
−e2 |
|
||||||||||
v = arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−e cos E |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Промежуточный контроль вычисления осуществить по формулам:
p = a(1−e2 ); |
r = |
p |
|
1+ e cos v |
|||
|
|
5. Вычисление аргументов широты:
u= v +ω
6.Вычисляются инерциальные прямоугольные координаты по известной формуле:
x = r (cosu cosΩ −sin u sin Ω cosi)
y = r (cosu sin Ω +sin u cosΩ cosi) z = r sin u sin i
40