Конспект лекцій Паляниця

змінюються зі зміною місця проведення спостережень світила. Ця особливість горизонтних координат обумовлена тим, що прямовисні лінії в різних точках земної поверхні мають різне спрямування.

Горизонтна система координат застосовується при орієнтуванні геодезичних інструментів та проведені спостережень світил з метою визначення координат пункту і азимутів вибраних напрямів на земній поверхні.

Перша екваторіальна система координат

На рис. 13 представлені основні елементи першої екваторіальної системи координат. Основне коло першої екваторіальної системи координат – небесний екватор QWQ`E. Початкове

відраховується від екватора до північного полюсу від 0° до +90° та від 0° до -90° – до південного полюсу. Іноді використовується величина – полярна відстань (на рис. 13 це дуга PNσ), яка обчислюється за формулою

Рис. 13. Перша екваторіальна система координат

Другою координатою першої екваторіальної системи є годинний кут t світила – двогранний кут між площинами небесного меридіана і кола схилення світила або сферичний кут при північному полюсі світу:

t сф.кут QPN QK QOK .

Годинний кут відраховується від верхньої точки екватора Q у напрямку добового обертання

небесної сфери від 0° до 360°. Годинний кут часто виражають у годинній мірі, тоді його величина

змінюється від 0h до 24h. Градуси та години зв'язані відомими співвідношеннями: 360° = 24h, 15° =

1h, 15ʹ = 1m, 15ʺ = 1s.

цього кола буде виконуватися умова: δ = const. Це коло називається добовою паралеллю світила. Внаслідок видимого добового руху небесної сфери годинні кути світил безперервно

змінюються. Годинний кут t відраховується від небесного меридіана, положення якого визначається прямовисною лінією ZZ у даному пункті і, отже, залежить від географічних координат пункту спостереження на земній поверхні.

Друга екваторіальна система координат

Основні елементи другої екваторіальної системи координат зображені на рис. 14. Основне коло другої екваторіальної системи – небесний екватор Q Q . Початкове коло системи – коло схилень точки весняного рівнодення PN PS , що називається колюром рівнодень. Початкова точка системи – точка весняного рівнодення . Визначальне коло системи – коло схилень PN PS .

Перша координата цієї системи – схилення (описана у першій екваторіальній системі координат). Друга координата – пряме сходження , що дорівнює двогранному куту між площинами колюру рівнодень і кола схилення світила або сферичному куту PN або дузі

екватора K :

Пряме сходження виражається в годинній мірі і відраховується від точки весняного рівнодення проти годинникової стрілки в напрямку, протилежному добовому руху світил, і знаходиться в межах від 0h до 24h.

Вони використовуються при опрацюванні результатів спостережень, а також для обчислення таблиць координат A і z, що називаються ефемеридами, за допомогою яких можна відшукати астрономічним теодолітом світило в будь-який заданий момент часу. Екваторіальні координати

публікуються в зоряних каталогах.

Екліптична система координат

На рис. 15 показані основні елементи екліптичної системи координат. В цій системі координат основне коло – екліптика E E . Початкове коло – коло широти точок рівнодень

коло RN RS , площина якого перпендикулярна площині екліптики. Це коло називається колом

широти світила.

Першою координатою є дуга D кола широти від екліптики до світила. Ця дуга називається екліптичною широтою світила і позначається буквою b . Відраховується вона від 0° до +90° за напрямком до північного полюса екліптики і від 0° до -90° – до південного.

Другою координатою є дуга D екліптики від точки весняного рівнодення до основи кола широти світила. Ця координата називається екліптичною довготою світила і позначається буквою l . Вона також може бути виміряна двогранним кутом між площинами кола широти точок рівнодень і кола широти заданого світила або сферичним кутом R при північному полюсі екліптики. Екліптична довгота, як і пряме сходження, відраховується від точки весняного

рівнодення проти ходу годинникової стрілки, тобто в напрямку, протилежному добовому обертанню небесної сфери, від 0° до 360°.

Рис. 15. Екліптична система координат.

В екліптичній системі координати b і l не залежать від добового руху небесної сфери. Екліптична система координат застосовується при вивченні рухів небесних тіл сонячної системи, а також при вивченні видимого річного руху Сонця.

Географічна система координат

У географічній системі координат положення пунктів спостережень задається на поверхні Землі двома координатами – широтою і довготою. Географічні координати можуть бути астрономічними, геодезичними та геоцентричними. Якщо поверхню Землі представити сферою, центр якої співпадає з центром мас Землі, то центр цієї сфери стане точкою перетину прямовисних ліній. Практично всі геодезичні і астрономічні вимірювальні роботи пов'язані з прямовисними лініями – вертикальна вісь обертання вимірювального приладу співпадає з напрямком прямовисної лінії в точці спостережень. З проведених астрономічних спостережень можна отримати астрономічну широту φ – кут між напрямком прямовисної лінії Mb в пункті спостережень M і площиною земного екватора (рис. 16), і астрономічну довготу λ – кут між астрономічними меридіанами: початковим (Гринвіцьким) і пункту спостережень. Площина астрономічного меридіану співпадає з прямовисною лінією.

В дійсності поверхня Землі не є сферичною, а має форму близьку до еліпсоїда. Важливе значення має і нерівномірність розподілу мас всередині Землі. Тому за математично строго описану поверхню відносності Землі приймають поверхню еліпсоїда (рис. 16). У цьому випадку використовують геодезичну широту В – кут між нормаллю Ма до поверхні еліпсоїда в даній точці і площиною земного екватора (рис. 16), і геодезичну довготу L – кут між геодезичними меридіанами: початковим (Гринвіцьким) і пункту спостережень. Геодезичний меридіан у своїй площині вміщує нормаль до поверхні еліпсоїда.

Геоцентричні широта φ`, як кут між радіус-вектором МО і площиною земного екватора (рис. 16), і довгота, що дорівнює геодезичній довготі пункту М, використовуються у випадку виконання на цьому пункті спостережень близьких до Землі небесних світил і об'єктів. Такі спостереження потребують приведення до центру Землі, тобто застосування геоцентричної системи координат.

p

s

Рис. 16. Широти пункту земної поверхні

же центральним кутом та однією і тією ж дугою великого кола. Це означає, що у цих системах величина одна і та ж. Розглянемо зв'язок між годинним кутом t і прямим сходженням . Для цього визначимо годинний кут t точки весняного рівнодення , який в першій екваторіальній

системі координат буде: t QO Q .

З рис. 18 видно, що для будь-якого світила Q QK K , або справедлива рівність t t . У наступному розділі буде доведене, що годинний кут точки весняного рівнодення є мірою зоряного часу s , тобто t s t . Це рівняння називається формулою зоряного часу:

сума годинного кута і прямого сходження світила дорівнює зоряному часу.

Теорема 1. Географічна широта місця спостереження чисельно дорівнює схиленню зеніту в точці спостереження і дорівнює висоті полюса світу над горизонтом Z hP .

перпендикулярними сторонами. Отже, теорема 1 встановлює зв'язок координат між географічною, горизонтною та екваторіальною системами. Вона покладена в основу визначення географічних широт пунктів спостереження.

P

S

Рис. 18. Зв'язок між першою і другою екваторіальними системами координат.

Теорема 2. Різниця годинних кутів одного і того ж світила, виміряна в один і той же фізичний момент часу в двох різних точках земної поверхні чисельно дорівнює різниці географічних довгот цих точок на земній поверхні t2 t1 2 1 .

Доказ випливає з рис. 19, на якому показані Земля і описана навколо неї небесна сфера. Дві

(Гринвіч) спроектуємо за напрямом прямовисних ліній на небесну сферу. В результаті отримаємо точки А, В і G.

Рис. 19. Зв'язок між географічними і екваторіальними координатами

Дуги pnaps, pnbps і pngps є меридіанами точок a, b і g. Відповідно дуги PNAPS, PNAPS і PNGPS є проекціями названих меридіанів на небесну сферу. Точка а має довготу λА, точка b – λB. Різниця довгот цих точок є двогранний кут між меридіанами цих точок і буде дорівнювати дузі a`b` земного екватора та дузі A`B` небесного екватора. Годинний кут є кутом між початковим колом та колом схилень світила. Тому годинний кут tA буде дорівнювати дузі CA`, а годинний кут tВ – дузі CB`. Різниця годинних кутів світила буде двогранним кутом між небесними меридіанами точок a і b та дорівнювати дузі A`B`. Звідси, різниця довгот точок земної поверхні дорівнює різниці годинних кутів небесного світила. Друга теорема сферичної астрономії покладена в основу визначення довгот пунктів.

(рис. 20). Цей трикутник утворений перетином трьох великих кіл: небесного меридіана (на рис. 20

90o- q

задачі виконується за формулами сферичної тригонометрії. Формули косинусів, синусів і п'яти елементів стосовно паралактичного трикутника записуються таким чином:

де

t s .

Розділивши формулу (2.6 ) на (2.7), отримаємо формулу котангенсів:

Формули (2.5) і (2.8) є рівняннями зв'язку в зенітальних та азимутальних способах астрономічних визначень, відповідно.

Добовий рух світил.

Видимий добовий рух небесної сфери відбувається зі сходу на захід, що обумовлено добовим обертанням Землі навколо осі. При цьому, як було вказано раніше, світила переміщаються по добових паралелях, що паралельні небесному екватору. По відношенню до горизонту даного пункту вид добового руху світила залежить від схилення цього світила. Для спрощення подальших пояснень небесну сферу представимо як її ортогональну проекцію на

світил представлений на рис. 23 добовими паралелями AA`, SN (QQ`) і BB`. Раніше було доведено, що висота полюса hP дорівнює широті пункту спостережень, тому північний полюс світу PN буде суміщений з точкою зеніту Z, а південний полюс PS – з точкою надиру Z`. Вісь світу PNPS буде співпадати з прямовисною лінією ZZ`, небесний екватор – з небесним горизонтом.

Добові паралелі всіх зірок будуть паралельні площині небесного горизонту, тому всі зірки північної півкулі небосхилу будуть зірками, що не заходять, а зірки південної півкулі такими, що не сходять.

Сферичні координати світил в меридіані. Кульмінації світил

Кожне небесне світило при добовому русі двічі перетинає меридіан. Момент проходження небесного світила через меридіан називають кульмінацією. Для спостерігача, який знаходиться в широтній зоні 90°> >-90°, всі небесні світила мають дві кульмінації – верхню і нижню. У момент

верхньої кульмінації небесне світило займає саме високе положення відносно горизонту, у момент нижньої кульмінації воно знаходиться у самому нижньому положенні відносно горизонту. На рис. 24 показані добові паралелі трьох небесних світил. Верхні кульмінації світил позначені ВК, нижні

– НК.

ВК Z

НК

Q`

3 ВК

PS

НК

Z`

Рис. 24. Кульмінації світил

Верхні кульмінації всіх небесних світил відбуваються на дузі меридіана PNZQSPS, нижні – на дузі PNNQ`Z`PS. Тому для верхньої кульмінації світил їх годинний кут t = 0h, а для нижньої – 12h.

Проходження світил через перший вертикал.

Як було зазначено раніше для спостерігача, що знаходиться в пункті земної поверхні з широтою від 0º до ±90º, небесні світила, схилення δ яких більше 0º але менше φ, проходять перший вертикал над горизонтом. Такі світила мають верхню кульмінацію на дузі меридіана між верхньою точкою Q небесного екватора та зенітом Z. У випадку коли схилення δ світила менше 0º але більше –φ, його добова паралель перетинає перший вертикал під горизонтом. Для такого світила його нижня кульмінація відбувається на дузі меридіана між нижньою точкою Q` небесного екватора та надиром Z`. Небесні світила, схилення δ яких дорівнює 0º, перетинають перший вертикал в точках сходу і заходу.

Для світила, яке перетинає перший вертикал, паралактичний трикутник стає прямокутним, оскільки площина першого вертикала перпендикулярна площині небесного меридіана (рис. 25). Тому азимут такого світила дорівнює 90º при проходженні західної частини першого вертикала або 270º – східної його частини.

Рис. 26. Проходження світил через перший вертикал Як відомо прямокутний паралактичний трикутник розв’язується з використанням правила

Непера-Модюі, яке у даному випадку має вигляд:

отже, годинні кути світила в моменти проходження західної і східної частин вертикала будуть

Відповідно до формули зоряного часу моменти проходження світилом першого вертикала будуть

При від'ємному схиленні світила cos z < 0, тому z > 90º, а це означає що світило проходить перший вертикал під горизонтом.

У геодезичній астрономії є ряд способів астрономічних визначень географічних координат, що ґрунтуються на спостережені світил у першому вертикалі. Формули зв'язку між горизонтними і екваторіальними координатами світила у першому вертикалі використовуються при складанні робочих ефемерид і для обробки спостережень.

Елонгації світил.

Небесні світила північної півкулі небесної сфери, схилення δ яких більше широти φ пункту спостережень, називають такими, що мають елонгацію. Для південної півкулі такими світилами є світила, схилення яких менше –φ. При розгляді питання про кульмінацію світил було доведено, що верхня кульмінація таких світил відбувається на дузі меридіана між північним полюсом і зенітом для північної півкулі або між південним полюсом і надиром для південної півкулі. На рис. 26 добова паралель світила, що має елонгацію, представлена у вигляді малого кола з точками: ВК – верхня кульмінація, σW – положення світила у західній елонгації, σЕ – у східній елонгації.