матанал / Chast_3
.pdf14 Вычеты в изолированных особых точках
14.1Вычет в конечной точке.
Определение 14.1. Пусть функция f голоморфна в проколотой окрестности V = f0 < jz aj < g точки a 2 C:
Вычетом функции f в точке a называют число
resaf = 2 i |
Z |
f(z)dz; |
(135) |
1 |
|
|
|
jz aj=r
где 0 < r < и окружность ориентирована против часовой стрелки.
Заметим, что в силу теоремы Коши интеграл не зависит от радиуса r: Кроме того, вместо окружности можно взять любой контур, охваты-
вающий точку a и лежащий в V:
Замечание.Если функция f голоморфна в точке a (то же самое, что точка a является устранимой особой точкой), то resaf(z) = 0:
Теорема 14.1.1. (Коши о вычетах). Пусть простой контур L вместе со своей внутренностью D лежит в области G и функция f голоморфна в области G всюду, за исключением конечного числа особых точек a1; a2; : : : ; an 2 D: Тогда
Z |
n |
|
f(z)dz = 2 i k=1 resak f(z): |
(136) |
|
L |
X |
|
Доказательство. Построим окружности Lk; k = 1; : : : ; n; с центрами в точках ak таких радиусов, чтобы эти окружности не пересекались друг с другом и все лежали в области D: По теореме Коши для составного контура и определению (14.1) имеем
Z |
n Z |
|
n |
|
X |
|
X |
|
f(z)dz = |
f(z)dz = 2 i |
resak f(z): |
L |
k=1Lk |
|
k=1 |
Таким образом, вычисление интеграла по контуру сводится к вычислению вычетов подинтегральной функции в изолированных особых точ- ках, охватываемых этим контуром. Оказывается, что вычет функции в
121
особой точке легко вычислить, если известно лорановское разложение функции в окрестности этой особой точки.
Теорема 14.1.2. Вычет функции f(z) в изолированной особой точке z = a равен коэффициенту c 1 лорановского разложения f(z) в окрестности точки a:
Доказательство. Разложим функцию f(z) в ряд Лорана в проколотой окрестности f0 < jz aj < rg точки a: Тогда
c 1 |
= 2 i ZL |
f(z)dz; |
|
|
1 |
|
|
где в качестве контура L можно взять любую окружность fjz aj = g радиуса < r: Но правая часть равенства есть resaf(z):
14.2Вычисление вычета в полюсе.
Рассмотрим сначала случай простого полюса (полюса первого порядка) функции f(z) в точке a: Тогда лорановское разложение функции f(z)
в проколотой окрестности точки a имеет вид
|
c 1 |
|
1 |
|||
|
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
X |
f(z) = z |
|
a |
+ |
|||
|
cn(z a) : |
|||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
Отсюда имеем c |
1 |
lim f(z)(z |
|
a); òî åñòü |
|
|
|
||||||
|
= z a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res |
f |
( |
z |
|
|
lim f(z)(z |
|
a): |
(137) |
||
|
|
a |
|
|
) = z a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
При вычислениях особенно удобна следующая модификация форму- |
|||||||||||||
лы (137). Пусть функцию f(z) можно представить в виде |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
f(z) = |
'(z) |
; |
|
|
(138) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z) |
|
|
|
где '(z) и (z) - функции, голоморфные в окрестности точки a и удовлетворяющие условиям
'(a) 6= 0; (a) = 0; 0(a) 6= 0: |
(139) |
122
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'(z)(z a) |
|
|
res |
f(z) = lim f(z)(z |
|
a) = lim |
= |
||||||||||
a |
z a |
|
|
|
|
|
z |
! |
a |
(z) |
|
|||
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
'(z) |
= |
|
'(a) |
: |
|
||||||
|
|
(z) (a) |
|
|
|
0(a) |
|
|||||||
|
z!a |
|
|
|
|
|
|
|
z a
Итак, если функция f(z) имеет представление (138), удовлетворяющее условиям (139), то
resaf(z) = |
'(a) |
: |
(140) |
0(a) |
Пусть теперь точка a является полюсом функции f(z) порядка m: Тогда в проколотой окрестности точки a
|
|
c m |
|
|
c m+1 |
|
c 1 |
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
f(z) = (z |
|
a)m |
+ (z |
|
a)m 1 |
+ : : : + z |
|
a |
+ |
|||||
|
|
|
cn(z a) ; |
n=0
причем c m 6= 0: Умножив это равенство на (z a)m; получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
f(z)(z a)m = c m + c m+1(z a) + : : : + c 1(z a)m 1 + |
X |
|
|
||||||||||||||
|
cn(z a)n+m: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
dm 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
res |
f z |
c |
|
|
1 |
lim |
|
f z |
|
z |
|
a |
m |
: |
(141) |
||
1 |
= |
|
|
|
|
)( |
|
|
|||||||||
a |
( ) = |
|
(m 1)! z!a dzm 1 |
( |
|
) |
|
|
Для вычисления вычета в существенно особой точке аналогичных формул нет. В этом случае нужно непосредственно найти коэффициент c 1 лорановского разложения функции в окрестности этой точки.
14.3Вычет в бесконечно удаленной точке.
Определение 14.2. Пусть функция f(z) голоморфна в области fjzj > Rg и имеет точку z = 1 своей изолированной особой точкой.
Вычетом функции f в бесконечности называется число
res1f(z) = 2 i Z |
f(z)dz; |
(142) |
|
1 |
|
|
|
Lr
где окружность L = fjzj = rg радиуса r > R проходится по часовой стрелке.
123
Нетрудно видеть, что вычет в бесконечности функции f; имеющей в области fjzj > Rg лорановское разложение
1
X
f(z) = cnzn;
n= 1
равен
res1f(z) = c 1:
Отметим, что в случае, когда z = 1 - устранимая особая точка функции f(z); вычет в ней может быть отличен от нуля. Этим бесконечно
удаленная точка отличается от конечных особых точек.
Если точка 1 является устранимой особой точкой, то нетрудно доказать формулу
res1f(z) = lim z f(1)
z!1
f(z) : (143)
14.4Теорема о полной сумме вычетов.
Теорема 14.4.1. (о полной сумме вычетов). Пусть функция f голоморфна во все плоскости C; за исключением конечного числа точек a1; a2; : : : ; an: Тогда справедливо равенство
n |
|
Xk |
|
res1f(z) + resak f(z) = 0: |
(144) |
=1 |
|
Доказательство. Пусть окружность L = fjzj = Rg достаточно большего
радиуса содержит внутри себя все особые точки a1; a2; : : : ; an: Применяя теорему Коши о вычетах, получаем, что
|
n |
2 i Z f(z)dz = Xresak f(z): |
|
1 |
|
Lk=1
Осталось заметить, что
1 Z
2 i
f(z)dz = res1f(z):
L
124
15Основы геометрической теории функций комплексного переменного
15.1Принцип аргумента.
Пусть функция f(z) является голоморфной в проколотой окрестности V = f0 < jz aj < rg точки a и не имеет нулей в V: Сама точка a может
быть как точкой голоморфности этой функции, так и ее изолированной особой точкой.
Определение 15.1. Логарифмическим вычетом функции f в точ- ке a называется вычет функции f0(z)=f(z) в этой точке, т.е. значение
resa f0((z)) |
= 2 i ZL |
f0((z))dz; |
||
|
f z |
1 |
|
f z |
где в качестве контура L можно взять любую окружность с центром в точке z = a; целиком лежащую в указанной проколотой окрестности этой точки.
Ясно, что логарифмический вычет функции f(z) может быть отличен
от нуля в ее изолированных особых точках, а также в ее нулях, поскольку точка z = a будет особой точкой функции f0(z) лишь в указанных
случаях.
Теорема 15.1.1. Логарифмический вычет функции f в нуле порядка n равен n:
Доказательство. Пусть точка a является нулем порядка n функции f: Тогда в некоторой окрестности этой точки имеет место равенство
f(z) = (z a)n'(z);
где '(z) голоморфна в точке a и не имеет нулей в некоторой окрестности этой точки. Следовательно,
f0(z) |
= |
n(z a)n 1'(z) + (z a)n'0(z) |
= |
|||
f(z) |
|
|
||||
|
|
|
(z a)n'(z) |
|
|
|
|
= |
1 |
|
n'(z) + (z a)'0(z) |
: |
|
|
z a |
'(z) |
|
|||
|
|
|
|
125
Функция
(z) =
n'(z) + (z a)'0(z)
'(z)
голоморфна в точке a и (a) = n: Поэтому
resa f0(z) = n: f(z)
Следствие. Логарифмический вычет функции f в полюсе порядка p равен p:
Доказательство. Пусть точка a является полюсом порядка p функции f: Тогда эта точка является нулем прядка p функции g(z) = 1=f(z): Поскольку f0=f = g0=g; то в силу предыдущей теоремы логарифмический вычет функции f равен p:
Теорема 15.1.2. Пусть D - область с простой границей и функция f мероморфна в области G D и не имеет нулей и полюсов на L = @D: Обозначим через N и P соответственно полное число нулей и полюсов в области D ( с учетом их кратностей). Тогда
2 i ZL |
f0((z))dz = N P: |
(145) |
|
1 |
|
f z |
|
Доказательство. Поскольку функция f имеет в области D лишь конечное число нулей a1; : : : ; ak и полюсов b1; : : : ; bl; то функция f0(z)=f(z) голоморфна всюду в окрестности D; за исключением точек
a1; : : : ; ak; b1; : : : ; bl: Применяя теорему Коши о вычетах, а также теорему (15.1.1) и ее следствие, будем иметь
2 i Z |
f0((z))dz = |
k |
|
l |
|
= N P: |
||
i=1 resai f0 |
+ j=1 resbj f0 |
|||||||
1 |
|
f z |
X |
f |
X |
f |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
126
Теореме (15.1.2) можно дать геометрическую интерпретацию. Так как по условию теоремы функция f(z) голоморфна на контуре @D; то на
этом контуре имеем
Z |
f0((z))dz = Z |
dLn f(z); |
(146) |
|
f z |
|
|
LL
где под Ln f(z) понимается ветвь многозначной логарифмической функции Ln f(z) = ln jf(z)j+ i Arg f(z); заданная своим значением в некото-
рой точке z0 контура. Так как функция ln jf(z)j однозначна и непрерывна, то для выделения такой ветви достаточно выделить ветвь функции Arg f(z); задав значение аргумента в точке z0: При этом для произвольной точки z1 2 L будем иметь
Arg f(z1) = Arg f(z0) + Arg f(z); |
(147) |
где Arg f(z) - приращение функции Arg f(z) при движении точки z 2 L из положения z0 в положение z1 вдоль дуги контура L в положительном направлении.
Если контур L можно задать в виде z = z(t); t 2 [ ; ]; то, используя (146) и (147), находим
Zf0(z)dz = Z dLn f(z(t)) = Ln f(z( )) Ln f(z( )) = f(z)
=ln jf(z( ))j + i Arg f(z( )) ln jf(z( ))j i Arg f(z( )) =
= i LArg f(z);
поскольку в силу замкнутости контура и однозначности функции ln jf(z)j имеем = ln jf(z( ))j = ln jf(z( ))j: Величина LArg f(z) есть приращение аргумента Arg w вдоль кривой в плоскости переменной w; которую проходит точка w = f(z); когда точка z проходит в положительном направлении контур L: Тогда приходим к равенству
N P = |
1 |
LArg f(z); |
|
(148) |
|
|
|||
2 |
|
|||
называемое принципом аргумента. При этом величина |
1 |
LArg f(z) |
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
равна числу поворотов радиус-вектора точки w = f(z) вокруг точки w = 0; когда точка z проходит в положительном направлении контур L:
127
Следующая терема позволяет вычислять число нулей голоморфной функции в области, отбрасывая "малые"слагаемые.
Теорема 15.1.3. (Руше). Пусть функции f(z) и g(z) голоморфны в области G; содержащей замыкание области D; ограниченной простым контуром L; и во всех точках этого контура удовлетворяют неравен-
ñòâó
jg(z)j > jf(z)j; z 2 L:
Тогда их сумма g(z) + f(z) и функция g(z) имеют в D одинаковое число нулей (с учетом их кратности).
Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что jg(z)j > 0 на контуре L; и тогда jg(z) + f(z)j jg(z)j jf(z)j > 0: Итак функции g(z) и g(z) + f(z) отличны от нуля на L: Запишем
g(z) + f(z) = g(z) 1 + g(z) ; |
|
|
|
|||
|
|
f(z) |
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
1 + g(z) : |
||
LArg g(z) + f(z) |
= LArg g(z) + LArg |
|||||
|
|
|
f(z) |
|||
|
|
|
Поскольку jf(z)=g(z)j < 1 на L; то при движении точки z по контуру L радиус-вектор точки w = 1+f(z)=g(z) не может повернуться в плоскости w вокруг точки w = 0: Следовательно,
LArg |
1 + g(z) |
= 0 |
|
|
|
f(z) |
|
è
LArg g(z) + f(z) = LArg g(z):
В силу принципа аргумента отсюда вытекает утверждение теоремы.
Теорема Руше позволяет получить простое доказательство основной теоремы алгебры.
Теорема 15.1.4. (основная теорема алгебры). Любой многочлен Pn ñòå- пени n 1 имеет в C ровно n нулей.
128
Доказательство. Так как Pn имеет полюс в бесконечности, то все его
корни лежат в некотором круге fjzj < Rg: Пусть Pn = f + g; ãäå f(z) = a0zn (a0 6= 0) è g(z) = a1zn 1 + : : : + an: Увеличивая в случае надобности
R; можно добиться того, что на окружности fjzj = Rg будет выполняться
неравенство jf(z)j > jg(z)j: По теореме Руше Pn имеет в круге fjzj < Rg столько же нулей, сколько функция f(z) = a0zn; т. е. ровно n:
15.2Принцип сохранения области и обращение голоморфных функций.
Теорема 15.2.1. (принцип сохранения области). Если функция f голоморфна в области D C и не равна тождественно константе, то и образ D = f(D) является областью.
Доказательство. Докажем, что множество D
w1; w2 - произвольные точки D и z1; z2 2 D - их прообразы при отображении f; т. е. f(z1) = w1; f(z2) = w2: В силу связности D существует
непрерывный путь : I ! D с началом в точке z1 и концом в точке z2: Тогда f есть непрерывный путь в D ; соединяющий точки w1 è w2:
Докажем, что множество D открыто. Пусть w0 - произвольная точка из D : Укажем круг U с центром в этой точке, целиком лежащий в D :
Пусть z0 2 D - один из прообразов w0 при отображении f: Выберем r > 0 так, что круг U = fjz z0j < rg вместе со своим замыканием принадлежит D и не содержит других прообразов точки w0; кроме точки z0 (это возможно, так как нули голоморфной функции f(z) w0 изолиро- ваны в силу условия теоремы). Положим
r = min jf(z) w0j:
z2@U
Заметим, что r > 0; так как f(z) 6= w0 на @U: Покажем, что круг U = fjw w0j < r g содержится в D : Это означает, что каждая точка w 2 U
имеет прообраз в U: Представим функцию f(z) w в виде f(z) w = (f(z) w0) + (w0 w):
Тогда при z 2 @U будем иметь
jf(z) w0j r > jw0 wj;
129
и к функциям f(z) w0 è w0 w в круге U применима теорема Руше. Согласно этой теореме f(z) w имеет в U столько же нулей, сколько и
f(z) w0; т. е. по крайней мере один. Следовательно, U f(U) и, тем более, U D :
Теорема 15.2.2. (теорема об обратной функции). Пусть функция f голоморфна в точке z0; w0 = f(z0) è f0(z0) 6= 0: Тогда
1)существует круг K0 = fw 2 C : jw w0j < g; в котором определена функция (w); обратная к функции f(z);
2) |
функция |
голоморфна в круге K0; |
|
|
|
|
|
3) |
â êðóå K0 |
справедлива формула |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0(w) = |
|
: |
|
|
(149) |
|
|
f0( (w)) |
|
|
|||
Доказательство. Так как функция f голоморфна в точке z |
0 |
è f0(z |
) = 0; |
||||
|
|
|
|
|
0 |
6 |
то существует окрестность точки z0; в которой функция f(z) = w0 íå имеет нулей, кроме точки z0 (см. теорему (11.6.1) и ее следствие). В указанной окрестности выберем замкнутый круг K = fz 2 C : jz z0j
r |
g |
; настолько малого радиуса, что f0(z) = 0 â |
K: |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||
|
|
Функция jf(z) w0j в силу своей непрерывности достигает на окруж- |
|||||||||
ности = fz 2 C : jz z0j = rg наименьшего значения |
|
||||||||||
|
|
|
= z2 j |
f(z) |
|
w |
0j |
> 0: |
|
|
|
|
|
inf |
|
|
|
(150) |
Рассмотрим круг K0 = fw 2 C : jw w0j < g и выберем в нем произвольную точку w1: Функция g(z) = f(z) w1 может быть представлена â âèäå
g(z) = f(z) w1 = f(z) w0 + (w0 w1);
где функции f(z) w0 и постоянная функция h(z) = w0 w1 голоморфны в замкнутом круге K и на его границе удовлетворяют неравенству
jf(z) w0j > jw0 w1j = jh(z)j:
В силу теоремы Руше функции f(z) w0 è g(z) = f(z) w0 + h(z) вкруге K = fz 2 C : jz z0j < rg имеют одинаковое число нулей с учетом их кратности, т.е. один нуль, так как функция f(z) w0 имеет в этом круге
130