матанал / Chast_3

и есть искомое.

Докажем единственность отображения. Пусть дробно-линейное отоб-

ражение f переводит точки z1; z2; z3 в точки w1; w2; w3: Тогда дробнолинейное отображение F (z) = f2 f f1 1 оставляет точки 0; 1; 1 неподвижными. Из F (1) = 1 следует, что F (z) = Az + B: Условие F (1) = 1

влечет B = 0: Условие F (1) = 1 влечет A = 1: Таким образом, F (z) = z и, следовательно, f = f2 1 f1; ò.å.f = L:

Если среди точек z1; z2; z3; w1; w2; w3 встречается 1; то числитель и знаменатель дроби в (159), где появляется этà точка, нужно заменить единицей. Таким образом, теорема верна для C:

16.2 Степенная функция.

где n - натуральное число, голоморфна во всей плоскости C: Ее производ-

íàÿ dwdz = nzn 1 при n > 1 отлична от нуля всюду при z 6= 0; следовательно, отображение (160) при n > 1 конформно в каждой точке z 2 C n f0g:

Записывая функцию (160) в полярных координатах z = rei'; w = ei :

мы видим, что осуществляемое степенной функцией отображение увели- чивает в n раз углы с вершиной в точке z = 0 и поэтому при n > 1 не

конформно в этой точке.

Из (161) водно, что любые две точки z1 è z2 с одинаковыми модулями и с аргументами, отличающимися на целое кратное 2 =n :

(и только такие точки) при отображении (160) переходят в одну точку w: Следовательно, при n > 1 это отображение неоднолистно в C: Для

141

однолистности его в некоторой области D C необходимо и достаточно,

чтобы D не содержала никаких двух различных точек z1 è z2; связанных соотношениями (162).

Примером такой области может служить сектор

D = 0 < arg z < 2n :

Этот сектор отображается на область

D = 0 < arg w < 2 ;

т.е. плоскость w с выброшенной положительной полуосью.

16.3Функция Жуковского.

Функцией Жуковского называют рациональную функцию

голоморфную в области C n f0g: Ее производная

dwdz = 12 1 z12

отлична от нуля всюду в этой области, кроме точек z = 1: Следовательно, отображение (163) конформно в каждой конечной точке z 6= 0; 1:

Точке z = 0 соответствует точка w = 1; и конформность в этой точке следует из того, что производная

точке

Выясним условие однолистности функции. Пусть z1 è z2 она перево- дит в одну точку, тогда

1 1 1

z1 + z1 z2 + z2 = (z1 z2) 1 z1z2 = 0;

142

è ïðè z1 6= z2 мы получим z1z2 = 1: Таким образом, для однолистности функции Жуковского в какой-либо области D необходимо и достаточно, чтобы она не содержала никакой пары точек z1 è z2; для которых

Примерами таких областей, удовлетворяющих условию однолистности, являются единичный круг D = fjzj < 1g; внешность единичного

круга D = fz 2 C : jzj > 1g; верхняя полуплоскость, нижняя полуплос-

кость.

Сделаем важное замечание. Пусть D2 - область, в которую переходит область D1 при отображении = 1=z: Функция Жуковского отображает

Чтобы наглядно представить отображение (163), положим z = rei'; w = u + iv и запишем (163) в виде

окружности против часовой стрелки соответствует обход эллипса тоже против часовой стрелки. При r0 ! 1 имеем b0 ! 0 и эллипсы стягиваются к отрезку [ 1; 1] R: Образом внешности единичного круга ( а также

самого единичного круга) будет вся плоскость с разрезом по отрезку [ 1; 1] вещественной оси.

Отметим, что окружности радиуса r0 > 1 и радиуса 1=r0 отображают- ся на один и тот же эллипс. Только во втором случае обходу окружности против часовой стрелки соответствует обход эллипса по часовой стрелке.

Ëó÷è f' = '0; 1 < r < 1g преобразуются к части гипербол

В точках z = 1 отображение (163) не конформно. Поскольку для функции Жуковского справедливо равенство

143

то отображение (163) представляет собой композицию отображений

Первое и третье из отображений (166) дробно-линейны и конформны всюду в C; отображение ! = 2 удваивает углы в точках = 0 и = 1;

которым соответствуют точки z = 1: Поэтому отображение Жуковского удваивает углы в этих точках.

16.4Показательная функция

Рассмотрим отображение, осуществляемое показательной функцией

Как нам уже известно, показательная функция явяется голоморфной во всей комплексной плоскости:

Поскольку

dwdz = ez 6= 0; z 2 C;

то данное отображение конформно во всей плоскости.

Оно не является однолистным во всей комплексной плоскости, так как показательная функция периодична с пероидом 2 i: Функция не бу-

дет однолистной в любой области, содержащей вместе с точкой z1 точку âèäà z2 = z1 + 2 i: Примером области однолистности является полоса

D = fz 2 C : y0 < Im z < y0 + 2 g; y0 2 R:

Полагая w = ei ; согласно (167) запишем отображение w = ez â âèäå

Отсюда видно, что это отображение преобразует прямые fy = y0g â ëó÷è f = y0g; а отрезки fx = x0; 0 < y < 2 g - в окружности с выколотой точкой f = ex0 ; 0 < < 2 g: Полоса f0 < y < 2 g преобразуется,

следовательно, в плоскость w с выброшенной положительной полуосью, а полоса f0 < y < g преобразуется в верхнюю полуплоскость.

144

16.5Тригонометрические и гиперболические функции

Гиперболический косинус ch z = (ez + e z)=2 можно рассмотреть как композицию двух функций

ch z = 12 + 1 ; = ez:

Функцию

cos z = ch( iz)

можно представить как композицию отображений = iz (поворот вокруг точки z = 0 на угол =2) и w = ch : Фунция

sin z = cos(z =2)

является композицией отображения = z =2 (сдвиг) и w = cos :

16.6Однозначные ветви многозначных обратных функций

В этом пункте мы ограничимся пояснениями к построению ветвей многозначных обратных функций, порожденных некоторыми элементар-

ными функциями.

Рассмотрим функцию w = z2: Обратная к ней функция задается

уравнением

z2 = w

относительно переменного z: Как нам известно, это уравнение при w 6= 0

имеет два решения.

Таким образом, функция обратная к функции w = z2 является дву- значной. Заметим, что функция w = z2 определена во все комплексной

плоскости и множество ее значений есть вся комплексная плоскость. Возникает вопрос о том, как построить ветвь обратной двузначной функции.

Пусть D - плоскость с разрезом вдоль отрицательной части вещественной оси. Эту область можно описать следующим образом:

D = fz = rei' : r > 0; < ' < g:

145

Тогда имеем (см. пункт (4.2))

w = prei('+2k )=2; k = 0; 1:

При k = 0 получим функцию

f0(z) = prei'=2; < ' < ;

которая отображает область D на правую полуплоскость Re w > 0: Эта функция непрерывна на D и является обратной функции z = w2; òàê êàê f02(z) = z:

При k = 1 получим функцию

f1(z) = prei'=2ei = prei'=2; < ' < ;

которая отображает область D на левую полуплоскость Re w < 0 и

также является непрерывной обратной функцией.

В силу теоремы о дифференцируемости обратной функции рассматриваемые функции f0(z) è f1(z) голоморфны в D; причем

обе эти ветви обозначают одним и тем же символом pz: Чтобы указать,

какую из двух ветвей в конкретном случае имеют в виду, задают значе- ние функции в какой-либо точке области D:

Если, например, в точке z = 1 задано значение w = 1; то речь идет о ветви w = f0(z): Если же в точке z = 1 задано значение w = 1; то речь

идет о ветви w = f1(z): p Нетрудно убедится, что однозначные ветви функции

делить и в том случае, когда областью является плоскость с разрезом по произвольному лучу Arg z = :

146