матанал / Chast_3

Докажем, что

Сначала преобразуем криволинейный интеграл второго рода по контуру L в левой части (23). Пусть контур L задан параметрическими уравне-

ниями

u = u(t); v = v(t); t 2 T = [t1; t2]:

Тогда параметрические уравнения, задающие контур L; имеют вид

В соответствии с формулами для вычисления криволинейного интеграла второго рода имеем

Lt1

К интегралу в правой части этого равенства применим формулу Грина:

21

Аналогично доказываются равенства

Скадывая доказанные равенства, получим равенство (22).

Формула Стокса справедлива в случае, когда контур L является ку-

сочно гладким.

Отметим, что если поверхность является плоской областью и лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости xOy; то формула

Стокса переходит в формулу Грина. Доказательство формулы Стокса для поверхностей, ограниченных несколькими контурами, аналогично доказательству формулы Грина для многосвязных областей.

2.7Формула Остроградского - Гаусса

Формула Остроградского - Гаусса устанавливает связь между поверх-

ностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом. Предварительно напомним понятие области в прстранстве R3; ïðà-

вильной в направлении оси, и простой области.

Область является правильной в направлении оси Oz; если она ограничена двумя поверхностями 1 è 2 âèäà z = '1(x; y) è z = '2(x; y); где функции '1(x; y) è '2(x; y) определены в замкнутой области Dxy è удовлетворяют неравенству '1(x; y) '2(x; y); (x; y) 2 Dxy; а также цилиндрической поверхностью 3 с образующей, параллельной оси Oz: Положительная ориентация границы такой области будет означать выбор внешней стороны поверхности (т. е. соответствующей внешней нормали).

Аналогично определяются области, правильные относительно осей

Ox è Oy:

Область будем называть простой, если ее можно разбить на конеч- ное число частичных областей, правильных относительно оси Ox и не

имеющих общих внутренних точек. И то же самое можно сделать относительно двух других осей координат. Положительная ориентация границы простой области будет означать выбор внешней стороны поверхности.

22

Пусть V - простая замкнутая область, граница которой положительно ориентирована. Если функции P (x; y; z); Q(x; y; z); R(x; y; z) непрерывно дифференцируемы в области G; содержащей V; то справедлива

формула Остроградского - Гаусса

ZZ

P (x; y; z)dydz + Q(x; y; z)dzdx + R(x; y; z)dxdy =

Формула Остроградского - Гаусса распадается на три самостоятельных равенства, соответствующие трем подынтегральным функциям P; Q

и R: Эти равенства доказываются схожим образом. Докажем одно из них, например, равенство

Докажем это равенство сначала для замкнутой области V; являющейся правильной в направлении оси Oz: По правилу вычисления тройного интеграла имеем

Мы учли, что для поверхности 2 нужно брать верхнюю сторону, а для поверхности 1 - нижнюю. К этим интегралам добавили равный нулю поверхностный интеграл по внешней стороне боковой цилиндрической поверхности 3 с образующей, параллельной оси Oz:

23

Далее, простую область V разобьем на частичные, правильные в направлении оси Oz области Vk; k = 1; : : : ; m; ограниченные кусочно гладкими поверхностями k: В силу доказанного имеем

Сумма в левой части равенства равна интегралу по поверхности ; так как по частям границ k частичных областей Vk; не входящим в поверхность ; интегрирование проводится дважды с выбором противополож-

ных сторон поверхности, а такие интегралы взаимно уничтожаются. Таким образом формула Остроградского - Гаусса полностью доказа-

íà.

Формулу Остроградского - Гаусса можно также записать в виде

где cos ; cos ; cos - направляющие косинусы единичного вектора нормали к поверхности :

3Ряды Фурье

3.1Тригонометрический ряд и ряд Фурье.

Определение 3.1. Функциональный ряд

n=1

ãäå a0; a1; b1; : : : ; an; bn; : : : - вещественные числа, называется тригонометрическим рядом, а эти числа - его коэффициентами.

24

В отличие от степенного ряда, в тригонометрическом ряде вместо простейших функций 1; x; x2; : : : ; xn; : : : взяты тригонометрические функ-

öèè

Система функций (27) называется тригонометрической системой. Обратим внимание, что наименьший общий период все функций си-

стемы равен 2 : Поэтому любая частная сумма ряда (26) является периодической функцией с периодом 2 : Отсюда следует, что если ряд (26) сходится на отрезке [ ; ]; то он сходится на всей числовой прямой и его сумма является 2 -периодической функцией. Поэтому тригономет-

рические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы в природе и технике.

Определение 3.2. Две функции f и g; интегрируемые на отрезке [a; b]; называют взаимно ортогональными, если

b

Z

f(x)g(x)dx = 0:

a

Теорема 3.1.1. (об ортогональности тригонометрической системы). Любые две функции тригонометрической системы (27) взаимно ортогональны на отрезке [ ; ]:

Доказательство. Действительно,

25

ïðè k 6= n:

Аналогично,

Z

sin kx sin nxdx = 0

ïðè k 6= n; è

Z

sin kx cos nxdx = 0:

Отметим также, что

Z

12 2dx = 2 :

Определение 3.3. Обозначим через R2 класс функций, которые зада- ны на всей числовой прямой, интегрируемы на каждом конечном отрезке числовой прямой и имеют период 2 :

Теорема 3.1.2. Пусть функция f 2 R2 : Тогда при любом a 2 R

a+2 2

ZZ

f(x)dx = f(x)dx:

a0

Доказательство. Имеем

26

Сделаем в последнем интеграле замену, положив x = t + 2 ;

Тогда

a+2 2

ZZ

f(x)dx = f(x)dx:

a0

Теорема 3.1.3. Если 2 -периодическая функция f разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд

Доказательство. Для доказательства первого равенства нужно почленно проинтегрировать ряд (28). Умножив обе части равенства (28) на cos nx ( от этого равномерная сходимость ряда не нарушится) и почленно

проинтегрировав, используя теорему об ортогональности тригонометри- ческой системы, получим равенство для коэффициентов an: Аналогично получаем равенство для коэффициентов bn:

Определение 3.4. Пусть функция f определена и интегрируема на

отрезке [ ; ]: Тогда числа a0; a1; b1; : : : ; an; bn; : : : ; найденные по формулам (29) и (30), называются коэффициентами Фурье, а ряд

1

a20 + X an cos nx + bn sin nx

n=1

с этими коэффициентами называется рядом Фурье функции f:

27

Таким образом, любой интегрируемой на отрезке [ ; ] функции f можно поставить в соответствие ряд Фурье. Однако, это не означает, что

всякая такая функция является суммой этого ряда.

1

Åñëè ðÿä a20 + P an cos nx + bn sin nx есть ряд Фурье функции f; то

n=1

будем писать

1

f(x) a20 + X an cos nx + bn sin nx :

n=1

3.2 Интеграл Дирихле.

Лемма 3.2.1. Справедливо равенство

Доказательство. Положим S = 12 +cos +cos 2 +: : :+cos n и умножим обе части этого равенства на 2 sin 2 : Тогда

S 2 sin 2 = sin 2 + 2 sin 2 cos + 2 sin 2 cos 2 + : : : + 2 sin 2 cos n :

Равенство, утверждаемое в лемме, верно и при = 2 k (k 2 Z); если понимать его в предельном смысле. Действительно,

28

Пусть теперь функция f 2 R2 : Рассмотрим частную сумму ее ряда Фурье в фиксированной точке x

n

Sn(x) = a20 + X ak cos kx + bk sin kx :

k=1

Подставив вместо коэффициентов их выражения

29

(сделаем замену переменных во втором интеграле u = y; затем переобозначим переменное y вновь на u)

Таким образом, мы доказали так называемую теорему Дирихле.

(Дирихле). Пусть функция f 2 R2 : Тогда частная сумма ряда Фурье функции f может быть представлена в следующем

Интеграл в равенстве (34) называют интегралом Дирихле.

3.3Теорема Римана-Лебега и принцип локализации Римана.

Приведем без доказательства следующую теорему.

30