5. Задание:

Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно четырем. Найти вероятность того, что за две минуты поступит:

А) шесть вызовов.

Б) менее шести вызовов.

Решение:

1. вероятность того, что за две минуты поступит 6 вызовов

математическое ожидание числа вызовов за 2 минуты равно L = 2*4 = 8

P(k) = l^k*e^(-l)/k!

P(k) = 8^6*e^(-8)/6! = 262144*0.000335/720 = 87.81824/720 = 0.1219

2. вероятность того, что за две минуты поступит менее 6 вызовов

т.е. 5 и менее вызовов

P(k<6) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)

P(0) = 8^0*e^(-8)/0! = 1*0.000335/1 = 0.000335

P(1) = 8^1*e^(-8)/1! = 8*0.000335/1 = 0.00268

P(2) = 8^2*e^(-8)/2! = 64*0.000335/2 = 0.01072

P(3) = 8^3*e^(-8)/3! = 520*0.000335/6 = 0.02903

P(4) = 8^4*e^(-8)/4! = 4096*0.000335/24 = 0.05717

P(5) = 8^5*e^(-8)/5! = 32768*0.000335/120 = 0.091477

P(k<6) = 0.000335 + 0.00268 + 0.01072 + 0.02903 + 0.05717 + 0.091477 = 0.191412

----------------

6. Задание:

На конвейер за смену поступает n изделий. Вероятность того, что поступившая на конвейер деталь стандартна, равна p. Найти вероятность того, что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно m.

n = 300; p = 0.75; m = 240;

Решение:

Локальная теорема Лапласа

n = 300; общее кол-во изделий

p = 0.75; вероятность что деталь на конвейре стандартна

m = 240;

q = 1 - p; вероятность не стандартной детали

npq = 300*0.75*(1-0.75)= 56.25

Pn(m) = 1/(sqrt(npq))*fi(x), fi(x)= 1/(sqrt(2*pi))^e^-(x^2/2), x = (m-n*p)/(sqrt(npq))

x = (m-n*p)/(sqrt(npq)) = (240 - 300 * 0.75) / (sqrt(300*0.75*(1-0.75))) = 15/7.5 = 2

fi(2) = 1/(sqrt(2*pi))^e^-(x^2/2) = 1 / (sqrt(2*3,14))^e^-(2^2 / 2) = 0.3850

P300(240) = 1/7.5 * 0.3850 = 0.133 * 0.3850 = 0.0513

Вероятность того, что что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно m = 0.0513

----------------

7. Задание:

Определить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины; построить функцию распределения F(x), если закон распределения этой случайной величины имеет вид:

Значение	12	14	18	24	27
Вероятность	0.2	0.1	0.3	0.2	?

Решение:

Значение	12	14	18	24	27
Вероятность	0.2	0.1	0.3	0.2	0.2

Находим математическое ожидание:

М[x] = = 12*0.2+14*0.1+18*0.3+24*0.2+27*0.2 = 2.4+1.4+4.8+5.4 = 14

Находим дисперсию:

D(X) = M(X²) - [M(X)]²

M(X²) =∑x²(i)*p(i) = 12²*0.2+14²*0.1+18²*0.3+24²*0.2+27²*0.2 = 28.8+19.6+97.2+115.2+145.8 = 406.6

[M(X)]² = (14)² = 196

D(X) = 406.6 – 196 = 210.6

Находим среднее квадратическое отклонение:

σ(X) = √D(X) = √210.6 = 14.512

Составим функцию распределения:

F(x)=P(X<x)

1. F(x)=P(X<12)=0

2. F(x)=P(X<14)=P(X=12)=0,2

3. F(x)=P(X<18)=P(X=12)+P(X=14)=0,2+0,1=0,3

4. F(x)=P(X<24)=P(X=12)+P(X=14)+P(X=18)=0,2+0,1+0,3=0,5

5. F(x)=P(X<27)=P(X=12)+P(X=14)+P(X=18)+P(X=24)=0,5+0,4=0,9

6. F(x)=P(X>27)=0,9+0,1=1

Компактная запись функции распределения - система:

                          {0, x ≤ 12

                          {0.2, 12 < x ≤ 14

F(x)=P(X < x) ={0.3, 14 < x ≤ 18

                          {0.5, 18 < x ≤ 24

                          {0.9, 24 < x ≤ 27

                          {1,     x > 27

----------------