8. Задание:

Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0.6. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х числа появления события А в трех опытах. Найти числовые характеристики этой случайной величины Х.

Решение:

P(k) = C_n^kp^kq^n-k Формула Бернулли

P(0) = 0.4³ = 0.064

P(1) = 3*0.4²*0.6 = 3*0.16*0.6 = 0.288

P(2) = 3*0.4*0.6² = 0.432

P(3) = 0.6³ = 0.216

P(A) = 0.064+0.288+0.432+0.216 = 1

----------------

9. Задание:

Случайная величина Х задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x).

Найти:

А) дифференциальную функцию (плотность вероятности) f(x);

Б) математическое ожидание и дисперсию.

В) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a, b);

(0.5; 2)

Решение:

Найдем плотность распределения случайной величины Х как производную функции распределения:

Найдем метаметическое ожидание:

Найдем дисперсию:

вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0.5; 2).

Р( 0.5 < X < 2) = F(2) – F(0.5) = 1 – (0.5)² = 1 – 0.25 = 0.75

Плотность распределения f(x)

Плотность распределения F(x)

-------------------

10. Задание:

Случайная величина Х задана дифференциальной функцией (плотность вероятности) f(x).

Найти:

А) интегральную функцию (функцию распределения) F(x);

Б) математическое ожидание и дисперсию.

В) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a, b);

(7; 14)

Решение:

A) Найдем функцию распределения F(x).

Если x < 0, то f(x) = 0

F(x) =

Если , то f(x) =

F(x) =

Таким образом функция распределения

Б) Вычислим математическое ожидание:

М(Х) = = 6.67

²

D (X) = 50 – 6.67² = 50 – 44.48 = 5.52

В) Вероятность того, что случайная величина Х в интервале (7; 14).

Р(

-------------------

11. Задание:

Для нормально распределенной случайной величины Х известны математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение .

Найти:

А) вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ( );

Б) вероятность того, что абсолютная величина разности Х – окажется меньше .

10	4	8	20	8

Решение:

А) P (8 < X < 20) = Ф 0.4938 + 0.0199 = 0.5137

Б) Р (|X - a| < 8) = 2Ф( = 2*0.47772 = 0.9544

-------------------

12. Задание:

Обработка вариационного ряда. Гистограмма. Полигон.

Задана совокупность вариационных (статистических) рядов.

m	Интервалы
	50 52	52 54	54 56	56 58	58 60	60 62	62 64	64 66	66 68	68 70	70 72	72 74

n	Частоты
	5	12	21	32	37	43	39	19	15	8	5	4

1. Найти: а) моду и медиану; б) среднее выборочное; в) статистическую дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

2. Построить гистограмму распределения.

3. Найти теоритические частоты при гипотезе, что случайная величина распределена нормально.

4. Построить полигон распределения и теоритическую кривую распределения.

5. Применить критерии Пирсона и Колмогорова для проверки гипотезы о нормальности распределения.

6. Построить доверительный интервал для стреднего при доверетельной вероятности 0.8.

Решение:

Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, xцентр	Кол-во, fi	xi·fi	Накопленная частота, S	|x-xср|·fi	(x-xср)2·fi	Относительная частота, fi/f
50 - 52	51	5	255	5	48.583	472.068	0.0208
52 - 54	53	12	636	17	92.6	714.563	0.05
54 - 56	55	21	1155	38	120.05	686.286	0.0875
56 - 58	57	32	1824	70	118.933	442.036	0.133
58 - 60	59	37	2183	107	63.517	109.037	0.154
60 - 62	61	43	2623	150	12.183	3.452	0.179
62 - 64	63	39	2457	189	89.05	203.331	0.163
64 - 66	65	19	1235	208	81.383	348.592	0.0792
66 - 68	67	15	1005	223	94.25	592.204	0.0625
68 - 70	69	8	552	231	66.267	548.909	0.0333
70 - 72	71	5	355	236	51.417	528.735	0.0208
72 - 74	73	4	292	240	49.133	603.521	0.0167
Итого		240	14572		887.367	5252.733	1

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Показатели центра распределения.

Средняя взвешенная (выборочная средняя)

Мода.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

где x₀ – начало модального интервала; h – величина интервала; f₂ –частота, соответствующая модальному интервалу; f₁ – предмодальная частота; f₃ – послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 60, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 61.2

Медиана.

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.

Медиана служит хорошей характеристикой при ассиметричном распределении данных, т.к. даже при наличии "выбросов" данных, медиана более устойчива к воздействию отклоняющихся данных.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 60 - 62, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 60.605.

В симметричных рядах распределения значение моды и медианы совпадают со средней величиной (x_ср=Me=Mo), а в умеренно асимметричных они соотносятся таким образом: 3(x_ср-Me) ≈ x_ср-Mo

Среднее значение изучаемого признака по способу моментов.

где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.

Находим А = 61

Шаг интервала h = 2

Средний квадрат отклонений по способу моментов.

𝐷 =

xц	x∙i	fi	x∙ifi	[x∙i]2fi
51	-5	5	-25	125
53	-4	12	-48	192
55	-3	21	-63	189
57	-2	32	-64	128
59	-1	37	-37	37
61	0	43	0	0
63	1	39	39	39
65	2	19	38	76
67	3	15	45	135
69	4	8	32	128
71	5	5	25	125
73	6	4	24	144
		240	-34	1318

Среднее квадратическое отклонение.

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации.

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

R = x_max - x_min = 74 - 50 = 24

Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

𝑑 = = = 3.697

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 3.697

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

𝐷 = = = 21.886

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

= = 21.978

Среднее квадратическое отклонение.

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 60.717 в среднем на 4.678

Оценка среднеквадратического отклонения.

Интервальное оценивание центра генеральной совокупности.

Доверительный интервал для генерального среднего.

В этом случае 2Ф(t_kp) = γ

Ф(t_kp) = γ/2 = 0.8/2 = 0.4

По таблице функции Лапласа найдем, при каком t_kp значение Ф(t_kp) = 0.4

t_kp(γ) = (0.4) = 1.29

Стандартная ошибка выборки для среднего:

Стандартная ошибка среднего указывает, на сколько среднее выборки 60.717 отличается от среднего генеральной совокупности.

Предельная ошибка выборки:

или

ε = t_kp s_c = 1.29∙0.303 = 0.39

Доверительный интервал:

(60.717 - 0.39;60.717 + 0.39) = (60.326;61.107)

С вероятностью 0.8 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

Проверка гипотез о виде распределения.

1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

где p_i — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону

Для вычисления вероятностей p_i применим формулу и таблицу функции Лапласа

где

s = 4.678, x_ср = 60.717

Теоретическая (ожидаемая) частота равна f_i = fp_i, где f = 240

Вероятность попадания в i-й интервал: p_i = Ф(x₂) - Ф(x₁)

xi÷xi+1	fi	x1 = (xi - xср)/s	x2 = (xi+1 - xср)/s	Ф(x1)	Ф(x2)	pi=Ф(x2)-Ф(x1)	Ожидаемая частота, 240pi	Слагаемые статистики Пирсона, Ki
50 - 52	5	-2.2859	-1.8593	-0.4893	-0.4686	0.0207	4.968	0.000206
52 - 54	12	-1.8593	-1.4327	-0.4686	-0.4251	0.0435	10.44	0.2331
54 - 56	21	-1.4327	-1.0061	-0.4251	-0.3438	0.0813	19.512	0.1135
56 - 58	32	-1.0061	-0.5795	-0.3438	-0.219	0.1248	29.952	0.14
58 - 60	37	-0.5795	-0.1529	-0.219	-0.0636	0.1554	37.296	0.00235
60 - 62	43	-0.1529	0.2737	-0.0636	0.1103	0.1739	41.736	0.03828
62 - 64	39	0.2737	0.7004	0.1103	0.2611	0.1508	36.192	0.2179
64 - 66	19	0.7004	1.127	0.2611	0.3708	0.1097	26.328	2.0396
66 - 68	15	1.127	1.5536	0.3708	0.4406	0.0698	16.752	0.1832
68 - 70	8	1.5536	1.9802	0.4406	0.4767	0.0361	8.664	0.05089
70 - 72	5	1.9802	2.4068	0.4767	0.4922	0.0155	3.72	0.4404
72 - 74	4	2.4068	2.8334	0.4922	0.4977	0.0055	1.32	5.4412
	240							8.9007

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+∞).

Её границу K_kp = χ²(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры x_cp и s оценены по выборке).

K_kp = χ²(12-2-1;0.05) = 16.91898; Kнабл = 8.9

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

Выводы:

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 60.717 в среднем на 4.678.

Среднее значение примерно равно моде и медиане, что свидетельствует о нормальном распределении выборки.

Проверка гипотезы по критерию согласия Пирсона показала, что нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения.

Функция распределения F(X).

F(x≤50) = 0

F(50<x≤52) = 0 + 0.020833333333333 = 0.020833333333333

F(52<x≤54) = 0.020833333333333 + 0.05 = 0.070833333333333

F(54<x≤56) = 0.070833333333333 + 0.0875 = 0.15833333333333

F(56<x≤58) = 0.15833333333333 + 0.13333333333333 = 0.29166666666667

F(58<x≤60) = 0.29166666666667 + 0.15416666666667 = 0.44583333333333

F(60<x≤62) = 0.44583333333333 + 0.17916666666667 = 0.625

F(62<x≤64) = 0.625 + 0.1625 = 0.7875

F(64<x≤66) = 0.7875 + 0.079166666666667 = 0.86666666666667

F(66<x≤68) = 0.86666666666667 + 0.0625 = 0.92916666666667

F(68<x≤70) = 0.92916666666667 + 0.033333333333333 = 0.9625

F(70<x≤72) = 0.9625 + 0.020833333333333 = 0.98333333333333

F(72<x≤74) = 0.98333333333333 + 0.016666666666667 = 1

F(x>74) = 1