§ 5. Интегрирование по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид где – любые функции. Цель её применения – получить интеграл проще исходного и найти его каким-либо способом (например, как табличный).

В качестве берётся функция, производная которой выглядит проще, чем сама . Таким свойством обладают логарифмы и обратные тригонометрические функции. Если их нет под знаком интеграла, то обычно – полином.

Оставшаяся часть подынтегрального выражения принимается за и от неё берётся интеграл, чтобы восстановить функцию .

Реже применяются формулы , а также

, где .

Пример 1. Выбираем , тогда . Необходимо найти и :

, .

Подставим в формулу интегрирования по частям:

.

Интеграл от уже известен и равен . Значит,

.

Ответ: (вынесли общий множитель и упростили).

Пример 2. Выбираем , тогда ,

, .

Подставим в формулу интегрирования по частям:

.

Поскольку , получаем

Ответ: , или .

Пример 3. Пусть , тогда , далее

, .

По той же формуле интегрирования по частям

.

Но , и тогда, с заменой на С,

Ответ: .

Обратите внимание, что константа при интегрировании по частям пишется только на последнем шаге.

ИЧ1. Найдите интегралы

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

ИЧ2. Найдите интегралы, дважды выполнив интегрирование по частям:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 4. Найдём . Выбираем , тогда и , поэтому

.

Новый интеграл также находится по частям. Теперь , соответственно , и тогда (подразумевая в будущем ответе)

.

Подставим этот результат вместо в равенство, полученное на 1-м шаге:

.

Если вынести за скобку и упростить, получим

Ответ: .

Пример 5. Чтобы по частям найти , выбираем и , тогда . Значит,

,

что равносильно .

Теперь берём , тогда . Отдельно находим новый интеграл

.

Но , и поэтому

,

где . Возвращаясь к предыдущему шагу, получаем, что

,

или, после необязательных упрощений, окончательный

Ответ: .

ИЧ3. Найдите интегралы по частям, выбрав подходящие и :

1) ;

2) ;

3) .

Пример 6. Найдём , для чего запишем его как . Под знаком интеграла есть логарифм, именно его следует взять в качестве U: . Тогда .

Находим , также , тогда

.

Далее .

Ответ: .

Пример 7. Найдём . Берём и, очевидно, (постоянную C не пишем). Кроме того, , тогда

,

где интеграл можно найти так:

.

Удобно запомнить, что при любом . Итак,

Ответ: .

Более сложные интегралы вида при обычно находят так:

1) заменой сводят к интегралу ;

2) выбирают , ;

3) по частям приходят к интегралу ;

4) берут его по стандартной схеме, приведённой в любом учебнике.

§ 6. Замечание о двух способах интегрирования

Иногда возникают следующие ситуации:

а) перед интегрированием по частям необходимо заменить переменную;

б) замена переменной необязательна, но упрощает или ускоряет интегрирование по частям;

в) интеграл можно найти как по частям, так и заменой переменной.

Пример 1. Пусть , тогда , и , после чего .

Интеграл легко берётся по частям: , поэтому

.

Пример 2. Найдём . Обозначим , откуда , и . Тем самым , где .

Интегрируя по частям, получим, что .

Значит, .

ЗС1. Заменив переменную и проинтегрировав по частям, найдите

1) ;

2) .

Пример 3.

1-й способ. Заменим , тогда , и поэтому

.

Но , и тогда .

2-й способ. Обозначим , тогда . Находим , а также

.

По формуле интегрирования по частям

.

Поскольку , то

.

Результаты после упрощения отличаются только числом, что объясняется произвольным характером постоянной С.

Пример 4. Найдём заменой, а затем – по частям.

1-й способ. Заменим , тогда . Подставим:

.

Но , поэтому

.

2-й способ. Выбираем , , тогда и . Подставим в формулу интегрирования по частям:

.

Упростим, чтобы сравнить с тем, что получено ранее:

.

Результаты совпадают.

ЗС2. Найдите интегралы двумя способами – по частям и заменой переменной. Сравните результаты. Оцените, какой способ проще или удобнее:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 5. Интеграл можно найти по частям, взяв и :

.

А можно заменить , тогда и , и потому .

Взяв и соответственно , применяем интегрирование по частям:

.

Но и , и, возвращаясь к старой переменной, получаем тот же ответ.

Пример 6. Интеграл можно найти по частям:

,

а можно заменить , а также , и тогда .

Этот интеграл также известен:

.

Но , а , и ответ совпадёт с полученным выше.

Пример 7. Найдём интеграл вначале непосредственно по частям, а затем – также по частям, но после предварительной замены.

1-й способ. Пусть , тогда , , , и

.

2-й способ. Заметим, что , и обозначим . Тогда и, с учётом этого, .

Взяв , получаем, что , а также и .

По формуле интегрирования по частям

.

Но и по свойствам логарифма , поэтому ответы одинаковы.

ЗС3. Найдите интегралы непосредственно по частям, а затем по частям, но предварительно заменив переменную:

1) ;

2) .