§ 7. Интегрирование дробно-рациональных функций
Рациональная
дробь
– это отношение двух полиномов
(многочленов)
и
.
Дробь правильная,
если
.
Если
,
дробь неправильная,
и её можно представить как сумму
некоторого полинома и правильной дроби.
Например,
.
Элементарными называют дроби 4 видов:
,
где
– целое число, и
(иначе дробь 3-го вида распадается на
сумму двух дробей 1-го вида).
Элементарность означает, что дробь невозможно разложить на сумму более простых рациональных дробей. Неэлементарную, но правильную дробь всегда можно разложить на сумму элементарных:
;
,
и т.п.
Итак,
– любая дробь – или правильная, или неправильная;
– неправильная дробь равна сумме полинома и правильной;
– правильная дробь равна сумме элементарных дробей.
Интегралы от элементарных дробей находят по стандартным схемам:
1)
;
2)
;
3)
заменой
приводит к сумме первообразных вида
и
с некоторыми коэффициентами.
Дробь 4-го типа интегрируется, но сложно, и здесь не рассматривается.
Далее показано, как разложить дробь в простых случаях. За основу взят метод «вычёркивания». Общая схема разложения и универсальный метод неопределённых коэффициентов довольно громоздки, их можно найти в литературе (и также в конце § 7). При решении применяют любой способ поиска неопределённых коэффициентов – или более понятный, или более короткий.
ИД1.
В заданиях 1 – 6 найдите числа A,
B,
C
в разложении дроби
на сумму элементарных, в зависимости
от вида
и от значений m,
n,
p,
а затем проинтегрируйте полученную
сумму:
1)
;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 0, n = 2, p = –3; д) m = 3, n = 0, p = –2; е) m = –1, n = 3, p = 0;
ж) m = 1, n = 1, p = –1; з) m = 0, n = 2, p = –8; и) m = 1, n = 0, p = –9;
к) m = 1, n = 2, p = 0; л) m = 1, n = –1, p = –12;
2)
;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 0, n = 0, p = 5; д) m = 1, n = –2, p = 0; е) m = 1, n = 0, p = 4;
ж) m = 0, n = 5, p = –3; з) m = 1, n = 2, p = –3; и) m = –1, n = 0, p = 1;
к) m = 0, n = 8, p = –24; л) m = 3, n = 0, p = –4;
3)
;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 1, n = 0, p = –1; д) m = 1, n = –1, p = 0; е) m = 3, n = –10, p = 0;
ж) m = 0, n = 2, p = 5; з) m = 1, n = –2, p = 3; и) m = –1, n = 0, p = 2;
к) m = 0, n = –7, p = 6; л) m = 6, n = 0, p = –7;
4)
;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 0, n = 2, p = 3; д) m = 0, n = 3, p = 2; е) m = 2, n = –3, p = 4;
ж) m = –1, n = 5, p = 0; з) m = 1, n = 2, p = 0; и) m = 1, n = 0, p = –9;
к) m = 2, n = 3, p = 0; л) m = 0, n = 25, p = 10;
5)
;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 0, n = 4, p = 5; д) m = 4, n = 0, p = 5; е) m = 2, n = 3, p = 0;
ж) m = 1, n = 0, p = –4; з) m = –1, n = 2, p = 0; и) m = 0, n = 3, p = –1;
к) m = 3, n = 0, p = –1; л) m = 1, n = 3, p = 0;
6)
;
а) m = 0, n = 0, p = 1; б) m = 0, n = 1, p = 0; в) m = 1, n = 0, p = 0;
г) m = 1, n = 0, p = –1; д) m = 0, n = 1, p = 1; е) m = 0, n = 1, p = –1;
ж) m = 1, n = 1, p = 0; з) m = 3, n = 0, p = 2; и) m = 1, n = 0, p = –16;
к) m = 1, n = 4, p = 0; л) m = 1, n = –4, p = 0.
Пример 1.
Пусть для дроби
указаны параметры m
= 3, n
= 0 и p
= –5. Тем самым дана дробь
,
или
.
Когда все множители в знаменателе – линейные скобки, дробь раскладывается так, как указано в заданиях 1 и 2:
.
Задача – подобрать
коэффициенты
,
чтобы равенство выполнялось при любом
значении x
(при котором знаменатель не обращается
в 0).
Это можно сделать методом «вычёркивания», для чего
корень знаменателя,
соответствующего очередному коэффициенту,
подставляем в первоначальную дробь,
из которой этот знаменатель вычеркнут.
Таким образом,
в точке
,
т.е.
;
в точке
,
т.е.
;
в точке
,
т.е.
.
Поместим A, B, C не в числителях, а перед дробями:
.
Значит,
.
Все интегралы – простейшие и находятся по таблице, поэтому
.
Ответ: а) ;
б) .
Пример 2.
Пусть для дроби
указаны m
= 2, n
= –5, p
= 1 и тем самым
дана дробь
.
Все множители – линейные скобки, поэтому
.
Корни знаменателей:
.
По аналогии с примером 1:
в точке
;
в точке
;
в точке
.
Итак,
,
и соответственно
.
По таблице основных интегралов находим, что
.
Ответ: а) ;
б)
.
Пример 3.
Пусть для дроби
даны параметры m
= 1, n
= 0, p = –3.
Раскладываем дробь
.
Множители в знаменателе линейны, но
один из них – в
квадрате. В
этом случае
.
Скобке, стоящей в квадрате, всегда соответствуют 2 дроби. Знаменатель одной из них – это скобка в 1-й степени, знаменатель другой – та же скобка в квадрате.
Корни знаменателей
.
Коэффициенты A
и C
можно найти
методом вычёркивания:
в точке
;
в точке
(поиск C
требует умножения первоначальной дроби
на
,
а не на
).
Коэффициент B вычёркиванием найти нельзя – возникнет деление на 0.
Чтобы найти B, представим, что будет, если свести всё к общему знаменателю:
.
Достаточно увидеть,
что в числителе появится
,
или
,
а по условию в числителе стоит
с коэффициентом 1. Значит,
.
Подставим
:
,
откуда
.
Итак,
,
и тогда
.
Здесь
,
остальные интегралы – табличные и
находятся так же, как в примерах 1 и 2.
Ответ: а) ;
б)
.
Замечание. Коэффициент B можно найти и другими способами.
Так, можно увидеть,
что после приведения к общему знаменателю
в числителе появится
,
а в числителе первоначальной дроби x
в первой степени отсутствует (т.е. стоит
0x).
Тогда из уравнения
при
и
также получается
.
Наконец, можно
взять любое число, отличное от уже
использованных значений
и
,
например,
,
и подставить его в основное равенство:
,
что равносильно
.
Поскольку
и
,
из уравнения
находим
.
Любой верный способ даёт одно и то же значение коэффициента.
Пример
4. Разложим
дробь
.
В знаменателе одна из скобок – в квадрате.
В этом случае, по аналогии с примером
3,
.
Так же находим
при
,
а именно
;
при
:
.
Чтобы найти A,
возьмём любое значение x,
кроме –3 и 2, например,
,
и подставим в разложение дроби, учитывая,
что
и
:
.
После упрощений
,
или
.
Значит,
(значение точное). Итак,
.
Тогда
,
интегралы находятся так же, как в примере
3.
Ответ: а) ;
б)
.
Пример 5.
Разложим дробь
и проинтегрируем. Один из множителей
знаменателя – квадратичное выражение.
Согласно общей схеме, в числителе
соответствующей дроби пишется не просто
коэффициент, а линейная функция
относительно x:
.
Методом вычёркивания можно найти только C:
при
.
Можно быстро найти
A,
если заметить, что в числителе исходной
дроби нет слагаемого с
,
а в правой части основного равенства
приведение к общему знаменателю даёт
:
.
Тогда
,
откуда
.
Коэффициент B
также легко найти, если увидеть, что
после того же приведения остаются
свободные коэффициенты
,
а в исходной дроби стоит свободный
коэффициент –7.
Поэтому
,
или
,
и тогда
.
Получили разложение
.
Значит,
.
Как показано ранее (например, в § 2),
.
Остальные интегралы – табличные.
Ответ: а) ;
б)
(модуль заменили
простыми скобками, поскольку всегда
).
В следующем примере просто подставим числа и решим уравнения.
Пример 6.
Проинтегрируем
.
Заметим, что
,
поэтому
.
Находим
– как в предыдущих примерах. Далее
подставим
,
затем
:
;
.
Умножим 1-е уравнение на 9, а 2-е – на –9:
Вычитая одно
уравнение из другого, замечаем, что
,
и тогда
.
Коэффициент A
известен, выгодно выразить
и подставить
.
Тем самым
.
Итак,
,
соответственно
.
Ответ: а)
;
б)
.
Замечание. В примере 6 получается довольно простая система уравнений. Иногда выгоднее заменить дроби на десятичные, например,
(где
),
подставить
и перенести полученные числа вправо:
(например, методом Крамера).
ИД2.
Проинтегрируйте дробь
,
где числитель
указан, разложив её на сумму
при заданных значениях a,
b,
c:
1)
;
а) a = 0, b = 1, c = 2; б) a = 0, b = 1, c = –1; в) a = 0, b = 2, c = 3;
г) a = 1, b = 2, c = 3; д) a = 1, b = 2, c = –3; е) a = –1, b = 2, c = 3;
ж) a = 2, b = –2, c = 1; з) a = 2, b = –2, c = –1; и) a = 3, b = 4, c = 5;
к) a = 3, b = 4, c = –5; л) a = 3, b = –4, c = 5; м) a = –1, b = –3, c =–5;
2)
;
а) a = 1, b = 2, c = 3; б) a = 1, b = 2, c = –3; в) a = 1, b = –1, c = 2;
г) a = 1, b = –1, c = –2; д) a = 1, b = 2, c = –2; е) a = 1, b = –2, c = 3;
ж) a = 2, b = 3, c = –4; з) a = 2, b = –3, c = 4; и) a = 3, b = 4, c = –3;
к) a = 3, b = 4, c = –4; л) a = 1, b = 3, c = 5; м) a = 1, b = 3, c = –5;
3)
;
а) a = 0, b = 1, c = –1; б) a = 1, b = –1, c = 2; в) a = 1, b = 2, c = –2;
г) a = –1, b = 2, c = –2; д) a = 1, b = 2, c = 3; е) a = 1, b = 2, c = –3;
ж) a = 1, b = –2, c = 3; з) a = 1, b = –2, c = 3; и) a = –1, b = –2, c = 3;
к) a = 3, b = 4, c = 5; л) a = 3, b = –4, c = 5; м) a = 3, b = 4, c = –5.
ИД3.
Проинтегрируйте дробь
,
где числитель
указан, разложив её на сумму
при заданных значениях a,
b:
1)
;
а) a = 0, b = 1; б) a = 0, b = –1; в) a = 1, b = 0; г) a = –1, b = 0;
д) a = 1, b = –1; е) a = –1, b = 1; ж) a = 0, b = –2; з) a = 2, b = 0;
и) a = 1, b = 3; к) a = 3, b = –1; л) a = 3, b = –4; м) a = 4, b = –5;
2)
при тех же значениях a,
b,
что в задании 1;
3)
при тех же значениях a,
b,
что в заданиях 1 и 2.
ИД4.
Проинтегрируйте дроби
,
разложив на сумму дробей
при разных числителях
и одних и тех же значениях a,
b:
1)
;
а) a = 1, b = 0; б) a = 1, b = 1; в) a = 1, b = –1; г) a = 1, b = 2;
д) a = 1, b = –2; е) a = 2, b = 0; ж) a = 2, b = 1; з) a = 2, b = –1;
и) a = 2, b = 2; к) a = 2, b = –2; л) a = 4, b = 3; м) a = 4, b = –3.
2)
при тех же значениях a,
b,
что в задании 1;
3)
при тех же значениях a,
b,
что в заданиях 1 и 2.
ИД5. (*) Проинтегрируйте дроби, разложив их на элементарные. Если необходимо, предварительно получите целую часть и правильную дробь:
1) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
2) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;
3) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.