Решение типовых примеров
Пример 1. Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для каждого из них равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что: а) в цель попадет только один стрелок; б) в цель попадут только два стрелка; в) в цель попадет хотя бы один стрелок.
Решение. а) Рассмотрим следующие события:
{первый
стрелок попал в цель};
{второй
стрелок попал в цель};
{третий
стрелок попал в цель};
{первый
стрелок не попал в цель};
{второй
стрелок не попал в цель};
{третий
стрелок не попал в цель}.
По условию
Пусть
событие
{в
цель попал только один стрелок}. Тогда
Отсюда, в силу несовмеcтности событий-слагаемых и независимости событий-сомножителей, имеем
б)
Пусть событие
{в
цель попадут только два стрелка}. Тогда
откуда
в)
Пусть событие
{в
цель попал хотя бы один стрелок}. Тогда
противоположное событие
{не
попал ни один из них}, т. е.
Поэтому
Отсюда
Пример 2. Среди 15 микрокалькуляторов, имеющихся в вычислительной лаборатории, лишь 6 новых, а остальные бывшие в употреблении. Наугад взято 3 микрокалькулятора. Какова вероятность, что все они окажутся новыми?
Решение. Рассмотрим события:
{первый
из взятых микрокалькуляторов новый};
{второй
микрокалькулятор новый};
{третий
микрокалькулятор новый}.
Тогда
Вероятность
того, что второй микрокалькулятор будет
новый, при условии, что первым уже был
отобран новый микрокалькулятор, т. е.
условная вероятность события
,
равна
Вероятность
того, что третьим будет отобран новый
микрокалькулятор, при условии, что уже
отобраны два новых микрокалькулятора,
т. е. условная вероятность события
,
равна
Искомая вероятность того, что все три отобранных микрокалькулятора окажутся новыми, равна
В
ЗАДАЧАХ 221 – 230 заданы
законы распределения двух независимых
случайных величин
и
.
Требуется найти математическое ожидание
и дисперсию случайной величины
.
221. |
|
- 6 |
8 |
9 |
10 |
|
|
- 8 |
2 |
|
|
0,1 |
0,1 |
0,6 |
0,2 |
|
0,4 |
0,6 |
222. |
|
- 2 |
- 1 |
0 |
3 |
|
|
- 3 |
2 |
|
|
0,2 |
0,5 |
0,1 |
0,2 |
|
0,3 |
0,7 |
223. |
|
- 5 |
- 4 |
- 2 |
3 |
|
|
- 8 |
- 1 |
|
|
0,1 |
0,5 |
0,2 |
0,2 |
|
0,7 |
0,3 |
224. |
|
- 6 |
- 3 |
2 |
1 |
|
|
- 2 |
8 |
|
|
0,3 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
|
0,2 |
0,8 |
|
225. |
|
- 4 |
- 2 |
- 1 |
3 |
|
|
- 3 |
- 1 |
|
|
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
|
0,4 |
0,6 |
226. |
|
- 2 |
- 1 |
1 |
4 |
|
|
1 |
3 |
|
|
0,5 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
|
0,8 |
0,2 |
227. |
|
- 7 |
- 5 |
- 2 |
3 |
|
|
- 3 |
4 |
|
|
0,4 |
0,4 |
0,1 |
0,1 |
|
0,1 |
0,9 |
228. |
|
- 1 |
2 |
4 |
8 |
|
|
- 2 |
1 |
|
|
0,2 |
0,5 |
0,1 |
0,2 |
|
0,2 |
0,8 |
229. |
|
- 8 |
- 6 |
- 1 |
5 |
|
|
3 |
7 |
|
|
0,5 |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
|
0,6 |
0,4 |
230. |
|
- 3 |
- 7 |
1 |
2 |
|
|
2 |
4 |
|
|
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
|
0,3 |
0,7 |