Математические основы теории принятия решений

В обоих случаях в теории управленческих решений исследователю необходимо иметь представление о спектре возможных моделей. В зависимости от целей исследования и свойств моделируемого объекта можно применять различные типы моделей. Назовём некоторые из них:

–дискретные и непрерывные;

–алгебраические, интегральные и дифференциальные;

–статические и динамические;

–детерминированные и стохастические (в частности, вероятностные);

–матричные (многомерные) и скалярные (одномерные);

–с монотонным или отклоняющимся (например, запаздывающим) аргументом.

Дискретные модели часто используются в теории принятия решений при выборе альтернативы из конечного их набора. Метод Кемени является примером дискретной модели выбора. В условиях риска и неопределённости используют вероятностные (стохастические) модели. Примером стохастической имитационной модели может служить вероятностный метод Монте-Карло, достаточно часто используемый в теории принятия решений с целью оценки значений величин, недоступных к прямому измерению.

Непрерывные модели часто имеют форму алгебраических уравнений или неравенств, а также дифференциальных и интегральных уравнений и их систем. Дифференциальные и интегродифференциальные уравнения описывают динамические системы с учетом скорости изменения их характеристик. Модели с запаздывающим аргументом можно использовать для описания поставок материалов, сырья, оборудования и других ресурсов, для учёта влияния сроков

ввода новых объектов на безопасность процессов строительства и безопасность эксплуатации после ввода объектов в строй.

41

5.4. Некоторые модели теории принятия решений

Назовём некоторые модели теории принятия решений:

–модели математического программирования;

–модель Парето;

–модель лексикографического упорядочивания;

–модель Кемени согласования упорядочений по предпочте-

ниям;

–выбор статистических гипотез на основе критериев согласия;

–прогнозирование на основе уравнения регрессии;

–выбор на основе временных рядов;

–выбор на основе анализа «деревьев» событий;

–матричные игры;

–выбор на основе анализа системных матриц (критерии Вальда, Сэвиджа, Байеса–Лапласа, Гурвица и др.);

–модели теории очередей и массового обслуживания;

–модели расписаний и оптимизации маршрутов (в том числе логистика);

–модели теории надёжности технических систем;

–модели страхования;

–модели оценки безопасности в техносфере и др.

Каждая из перечисленных моделей имеет свои ограничения, свою цель и критерии её достижения.

Методы математического моделирования требуют определённых временных и экономических затрат на стадии принятия решения, но в конечном итоге затраты оправдываются. Широко известные модели используются достаточно давно и доказали свою эффективность. Принятие стратегических решений недопустимо без использования современных достижений математической теории принятия решений на основе системного анализа проблемных ситуаций.

42

экстремальных (максимальных и минимальных) значений функций действительных переменных на множествах, определяемых ограничениями в виде линейных и нелинейных числовых неравенств.

6.1. Методы математического программирования, их классификация

Простейшие из задач математического программирования – это задачи безусловной оптимизации. В задачах безусловной оптимизации необходимо отыскать локальный экстремум (максимум или минимум) некоторой действительной функции F, которая называется целевой:

F (x1, x2, …, xn) → max (min).

Искомое решение x задачи – это n-мерный вектор с действительными компонентами xi (i = 1, 2, …, n):

x = (x1, x2, …, xn).

Если локальный экстремум не является глобальным, то после его нахождения поиск других локальных экстремумов продолжается: при этом на последующих этапах для итерационных процессов отыскания экстремумов выбирают другие начальные точки. Глобальный экстремум (как максимальный, так и минимальный) ищется путём сравнения локальных экстремальных значений. Метод градиентного спуска – простейший из методов отыскания безусловного экстремума функций многих переменных.

Вобщем случае задачи математического программирования, помимо целевой функции F, принимающей действительные значения, содержат ряд ограничений в форме равенств и неравенств. Не- равенства-ограничения, определяющие допустимое множество, за-

даются с помощью действительных функций gi (i = 1, 2, …, m) (левых частей неравенств-ограничений) и hj (j = 1, 2, …, k) (левых частей ра- венств-ограничений).

Вобщем случае задача программирования записывается в следующем виде.

44

Требуется найти экстремум целевой функции F F (x1, x2, …, xn) → max (min).

на множестве векторов x, удовлетворяющих следующей совокупности (k+m) неравенств:

gi (x1, x2, …, xn) ≥ 0 (i = 1, 2, …, m),

hj (x1, x2, …, xn) = 0 (j = 1, 2, …, k).

Втом случае, когда целевая функция F и все (m+k) функций gi

иhj в условиях-ограничениях являются линейными, задача программирования называется линейной. К задачам линейного программирования относится, например, транспортная задача.

Если же хотя бы одна из функций F и функций gi и hj в услови- ях-ограничениях является нелинейной, то задача программирования называется нелинейной. В частности, если функция F является квадратичной, а все ограничения линейны, то задача программирования называется квадратичной. Квадратичная задача – это частный случай задачи выпуклого программирования.

Если все координаты вектора (x1, x2, …, xn) являются целыми числами, то получаем задачу целочисленного программирования.

6.2. Метод градиентного спуска

Метод градиентного спуска – один из методов решения задач математического программирования, позволяющий решать задачи безусловной оптимизации для нелинейных функций F многих переменных.

Рассмотрим следующую задачу: требуется найти минимальное значение дифференцируемой функции n переменных:

F (x) ≡ F (x1, x2, …, xn) → min.

Проблема решается итерационным методом (методом последовательных приближений).

45

Пусть x*= (х1*, х2* , ..., хn* ) – искомая точка, то есть точка, в кото-

рой функция F достигает минимального значения. Процесс итераций начинается с произвольного выбора начальной точки x(0) =

= (х1(0) , х2(0) , ..., хn(0) ) . Каждая из последующих итераций ищется по следующей формуле:

x(i+1) = x(i) − λi grad F (x(i)) (i = 0, 1, …).

ции F, а λi – значение положительного числового шагового множителя (параметра) λ на i-м шаге итераций.

Доказано, что в предельной точке x* градиент обращается в нулевой вектор:

gradF (x*) = (0,0,….,0),

и, следовательно, в предельной точке вычисления прекращаются. На практике вычисления заканчиваются, как только выполнится неравенство

r (x(i+1) , x(i) ) < ε,

то есть как только расстояние r между двумя последовательными приближениями x(i+1) и x(i) будут отличаться менее чем на заранее заданное число ε, определяющее точность вычислений. Таким образом, предельная точка x* найдётся с заданной точностью:

r (x(i+1) , x* ) < 2ε,

Значения параметра λ определяют длину шага последовательных итераций. В простом градиентном методе значение λ > 0 выбирается произвольным образом и часто сохраняется постоянным на протяжении всей итерационной процедуры. Но иногда в процессе итераций значение λ всё-таки изменяется для ускорения процесса сходимости итераций к предельному значению x*.

46

В методе наискорейшего градиентного спуска значения шагового множителя λi > 0 на i-м шаге итераций выбираются из необходимого условия минимума вспомогательной функции

Метод наискорейшего спуска получил такое название из-за того, что он позволяет существенно ускорить сходимость последовательных приближений к искомому предельному значению x*.

Для контроля процесса сходимости желательно отслеживать значения функции φ(λ): с каждой итерацией значения этой функции должны монотонно убывать, то есть на каждом шаге должно выполняться условие φ(λi+1) < φ(λi). В принципе делать это необязательно, так как начальная точка выбиралась произвольно, и в случае сбоя программы процесс итераций просто продолжится, но уже с другой начальной точки. В любом случае процесс итераций закончится, когда вектор градиента станет нулевым.

Поиск точек максимума функции F (x) ≡ F (x1, x2, …, xn) → max сводится к отысканию точек минимума противоположной функции −F(x).

Пример 6.1. Найти точку максимума функции

Φ(x, y) ≡ −x2 + 2x − 2y2 − 2.

Поиск максимума функции Φ(x, y) сводится к поиску минимума функции

F(x, y) ≡ −Φ(x, y) = x2 −2 x +2 y2 + 2.

Функция z = F(x, y), очевидно, непрерывна и дифференцируема на всей действительной плоскости двух переменных x и y. Градиент этой функции в произвольной точке (x, y) – это вектор

47

В точке M0(x0,y0) вспомогательная функция (6.1) будет иметь

вид

φ(λ) ≡ F {x0 − λ(2x0 −2); y0 − 4 λy0},

то есть

φ(λ) ≡ [x0 − λ(2x0 − 2)] 2 − 2[x0 − λ(2x0 − 2)] + 2[y0 − 4 λy0]2 + 2.

Её производная в точке M0(x0,y0) имеет вид

∂ϕ∂λ = [−8x0 + 8λ(x0 −1)] (x0 −1) + 4(x0 −1) + 16[−y02 + 4 λy02] ≡ ≡ λ [8(x0 − 1)2 + 64 y02] + [−8 x0(x0 − 1) + 4(x0 − 1) − 16y02] .

Равенство (6.2) приводит к следующему уравнению для нахождения значения шага λ:

λ[8(x0 − 1)2 + 64y02] + [−8x0(x0 − 1) + 4(x0 −1) − 16y02] = 0.

Если в качестве начальной выбрать точку M0(0,9; 0,1), то из этого уравнения найдётся первое значение шага λ1:

λ1 = 11/90 ≈ 0,12222.

Тогда первое приближение искомого решения – это точка

M1(x0 − 2λ1(x0 − 1); y0 − 4λ1y0),

то есть точка с координатами M1(0,9244; 0,0512).

Для расчёта последовательных приближений естественно воспользоваться ЭВМ. Через конечное число шагов расчёт закончится. В приведённом примере искомое решение задачи, то есть точка, в которой функция Φ(x,y) ≡ −x2 + 2x − 2y2 −2 достигает максимального значения, – это точка M*(1,0).

Если целевая функция F(x) ≡ F(x1, x2, …, xn) имеет несколько точек экстремума, то для успешного поиска эти точки необходимо предварительно изолировать друг от друга, поместив их в непересе-

48

кающиеся окрестности, где и выбирать начальные приближения. В этом случае во избежание попадания очередного приближения

вокрестность соседней экстремальной точки проверка монотонной сходимости процесса становится обязательной.

Задачи техносферной безопасности, как правило, это задачи не на безусловный экстремум, а задачи с ограничениями. Например, чтобы добиться максимально эффективного воздухообмена в производственном помещении заданного объёма, необходимо учитывать не только стоимость вентиляционных систем в целом, но также тот факт, что другие показатели микроклимата (в том числе скорость движения воздуха) должны оставаться в норме, что налагает естественные ограничения на мощность устанавливаемых вентиляторов. Подобные задачи – это задачи на условный экстремум, к которым,

вчастности, относятся задачи линейного программирования.

6.3.Линейное программирование

Вобщем случае задачи математического программирования решить невозможно. Однако отдельные классы задач, в частности задачи линейного программирования, поддаются решению.

6.3.1. Каноническая форма задачи линейного программирования

В простейшей (канонической) форме задача линейного программирования (ЛП) записывается следующим образом. Необходимо найти минимум целевой функции F(x):

49

j = 1

Здесь вектор x = (x1, x2, …, xn) – искомое решение задачи опти-

мизации (6.3)–(6.5).

Вектор b = (b1, b2, …, bm) иногда называют вектором ограничений, а матрицу ║a i j║ (i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n), − технологической матрицей.

На практике исходные ограничения на значения переменных x1, x2, …, xn могут иметь форму неравенств вида

j = 1

Для приведения таких задач к канонической форме неравенства (6.6) и (6.7) необходимо представить в виде равенств. Для этого неравенства (6.6) представляют в виде разности

n

∑aij xj − xi = bi,

j = 1

используя новые переменные xi ≥ 0 (I = m + 1, m + 2, …, n), которые называют слабыми. А неравенства (6.7), также используя слабые переменные xi ≥ 0, приводят к равенствам вида

n

∑aij xj + xi = bi,

j = 1

На практике переменные xj (j = 1, 2, …, n) не всегда не удовлетворяют условиям (6.4) неотрицательности. В этом случае каждую из

50