Моделирование систем

с регулируемой величиной срабатывания. Величина выходного напряжения изменяется путем подбора напряжения смещения.

5.2.5.3. Схема, реализующая зону нечувствительности

Зоной нечувствительности обладает, например, двигатель постоянного тока. Если на валу ДПТ имеется нагрузка,

то при малых значениях U ÿ якорь двигателя не может быть приведен во вращение. Дальнейшее увеличение U ÿ позволя-

ет привести в движение якорь.

Принципиальная схема звена, с помощью которого можно реализовать в аналоговом моделировании зону нечувствительности, представлена на рис. 5.25.

Зона нечувствительности определяется величиной напряжения смещения Uñì , запирающего диоды D1 и D2 ,

а также от положения «движков» потенциометров Ï 1 и Ï 2 . Уменьшением величины сопротивления резистора Râõ

231

Рис. 5.25. Принципиальная схема звена

увеличиваем крутизну нарастания выходного напряжения и при Râõ 0 получим мгновенное нарастание Uâû õ , т.е.

звено будет не только моделировать зону нечувствительности (рис. 5.26), но и релейную характеристику (рис. 5.27).

5.2.6. Добротность аналоговой вычислительной машины

Точность результата, полученного на АВМ, оценить сложно, так как на точность влияют:

1)ошибки операционных блоков (дрейф нуля операционных усилителей и точность значения питающего напряжения);

2)различного рода помехи;

232

3) точность измерительной аппаратуры.

Поэтому при оценке точности вводится обобщенная характеристика точности, называемая добротностью АВМ, вычисляемая по формуле

где Emax – максимально допустимое напряжение для АВМ

(для АВМ, собранных на лампах, Emax 100 Â, для полупро-

водниковых АВМ Emax 10 Â) ; Emin – минимально допустимое напряжение для АВМ. Для каждой АВМ определяется экспериментально. Ее численное значение зависит от уровня помех, от ошибок операционных блоков и от точности измерительной аппаратуры.

Если в течение длительного промежутка времени машинная переменная была меньше Emin , то она была соизме-

рима с помехой и, следовательно, результат решения задачи будет содержать значительную ошибку.

5.2.7. Реализация аналоговых моделей

Подобие оригинала и модели заключается в сходственности их математических описаний, обеспечиваемой реализацией модели соединением вычислительных блоков согласно так называемой схеме набора. При составлении структурных схем следует стремиться к уменьшению числа вычислительных блоков, их входных цепей и разветвлений, исключению операций дифференцирования, устранению замкнутых контуров, не содержащих интеграторов. Соблюдение этих требований способствует повышению точности моделирования.

Основным методом составления схем набора при моделировании обыкновенных дифференциальных уравнений является метод понижения порядка производных.

Уравнение-оригинал, например линейное с постоянными коэффициентами,

233

решается относительно старшей (второй) производной

Для реализации этой суммы в схеме набора предусматривается суммирующий усилитель 1. Вследствие инверсии всех входных величин, фактически на его выходе получается сумма –(b0x – a0y – a1py), т.е. –p2y. Для понижения порядка производной служит интегрирующий усилитель 2, также обладающий инвертирующим свойством, на выходе которого формируется первая производная (–p2y) (–1/p) = py.

Для дальнейшего понижения порядка производной в схему включается интегрирующий усилитель 3, на выходе которого получается нулевая производная (py)(–1/p) = –p0y = = –y, т.е. решение моделируемого уравнения (5.61), но с обратным знаком.

Для ввода в сумматор 1 переменных –px, –y используются выходы интеграторов 2, 3. Для образования – py из py предусмотрен инвертор 4.

Реализация –y вместо y в общем случае принципиального значения не имеет. При необходимости y можно получить с помощью дополнительного инвертора.

Сумматор 1 и интегратор 2 в схеме на рис. 5.28 можно заменить сумматором-интегратором (рис. 5.29). В этом случае на выходе усилителя 1 получается (b0x – a0y – a1py) ×

Рис. 5.28. Схема с сумматором и интегратором

234

Рис. 5.29. Схема с сумматором-интегратором

Число усилителей в схеме уменьшается, но теряется возможность получения второй производной p2y.

На схеме указаны обозначения математических величин и их знаки, коэффициенты уравнения оригинала, обозначения напряжений и коэффициенты передачи вычислительных блоков.

Если линейное дифференциальное уравнение-оригинал содержит в правой части производные функции x = x(t), то его заменяют равносильной системой линейных нормальных уравнений. Пусть уравнение-оригинал имеет вид

Тогда выражение (5.64) можно переписать в виде

Введем переменную y2 y b2 x , получаем выражение для (5.65):

235

В результате уравнение (5.63) преобразуется к системе

где a2 1.

Рис. 5.30. Схема для аналогового моделирования

Таким образом, схема для аналогового моделирования примет вид схемы, представленной на рис. 5.30.

5.2.8. Общая методика моделирования на АВМ

Процесс моделирования на АВМ состоит из нескольких этапов.

Конкретизация условий задачи. Прежде всего целесооб-

разно выяснить ожидаемый характер процесса, описываемого искомым решением. Характер процесса (сходящийся, расходящийся, колебательный) определяется устойчивостью или неустойчивостью системы, описываемой этим уравнением. Если установить его на основании физических соображений невозможно, следует подвергнуть анализу на устойчивость соответствующее характеристическое уравнение. Моделиро-

236

вание расходящихся функций всегда сопровождается значительными погрешностями. Во всех случаях желательно иметь сведения о пределах изменения переменных величин и их производных.

Приведение уравнения к виду, удобному для моделирова-

ния. При моделировании дифференциальных уравнений задача сводится к получению выражений для старших производных.

Составление структурной схемы. Выполняется в соот-

ветствии с формулами (5.61)–(5.68). Первый вариант схемы анализируется для выяснения возможностей улучшения. Следует стремиться к минимизации числа блоков, нагрузки каждого из них и числа входов сумматоров и сумматоровинтеграторов.

Масштабирование. После составления окончательной структурной схемы вводятся масштабы сходственных математических и машинных переменных так, чтобы они были положительными. Затем выбираются значения масштабов и коэффициентов передачи решающих усилителей, удовлетворяющих соответствующим масштабным уравнениям. При выборе масштабов следует иметь в виду, что чем они меньше, тем выше точность моделирования. Значения напряжения u, машинного времени tм и коэффициентов передачи ре-

шающих усилителей ограничены |u| umax, tм tм max, kmin k < < kmax. Поэтому масштабы должны удовлетворять услови-

ям вида

Основная трудность масштабирования обусловлена тем, что максимальные значения моделируемых переменных в большинстве случаев неизвестны. Поэтому сначала масштабы выбираются в той или иной мере произвольно (но с учетом масштабных уравнений), а затем уточняются по результатам пробных машинных решений (стремятся к тому, чтобы предельные значения всех моделирующих напряжений были близки к umax).

Набор и решение задачи. Набор задачи означает коммутацию вычислительных блоков соответственно структурной

237

схеме, установку коэффициентов передачи решающих усилителей, настройку блоков нелинейностей, ввод начальных условий. После этого следует пробное решение задачи с уточнением масштабов и коэффициентов передачи.

Фиксация решения. Для автоматической записи медлен-

но изменяющихся напряжений u(tм) y(t) применяются самописцы, для записи более быстро изменяющихся – шлейфные

иэлектронно-лучевые осциллографы. Напряжения интеграторов можно фиксировать в различные моменты времени

истроить график y(t) по точкам. Возможно частое автоматическое повторение процесса решения при помощи специального периодизатора, автоматически выполняющего все необходимые переключения блоков. В этом случае применение в качестве индикатора решения электронно-лучевой трубки с длительным послесвечением обеспечивает наблюдение результата в виде «застывшей» на экране кривой.

5.3. Цифровое моделирование

Цифровое моделирование на современном этапе развивается наиболее динамично. Это связано с интенсивным развитием математического обеспечения, формирующегося в виде пакетов прикладных программ. Использование этих пакетов повышает производительность моделирования и одновременно упрощает его.

Достоинства метода цифрового моделирования:

1.Решается любой класс задач, подлежащих математической интерпретации.

2.Высокая точность решения (ограничена только временем решения задачи).

3.Легкость перехода от одной задачи к другой (необходимо лишь перезапустить программу).

4.Возможность исследования объектов высокой размерности.

Недостаток метода цифрового моделирования – ко-

нечное время моделирования, которое может не совпадать

среальным временем.

238

Цифровая вычислительная машина (ЦВМ) – это комплекс технических устройств, в которых могут протекать процессы, отображающие (моделирующие) действия с числами. Именно действия над числами составляют суть вычислительных операций при численном решении различных математических задач. Моделирование процесса численного решения математической задачи на ЦВМ практически означает автоматическое решение ее с помощью ЦВМ.

Числа могут не только выражать значение постоянных и переменных величин, но и являться символическими условными моделями самых разнообразных других объектов – букв, слов, предметов, явлений и т.д. Это позволяет свести к действиям над числами различные невычислительные задачи, например определение числа объектов с заданными свойствами. Благодаря этому возможно моделирование на ЦВМ процедуры решения невычислительной задачи, т.е. машинная реализация этого решения.

Процесс функционирования любого материального объекта представляет собой последовательную смену его состояний во времени, каждое из которых определяют конкретные значения некоторых физических величин. Если объект является непрерывной системой, то эти величины – непрерывные функции непрерывного времени.

Математическое описание объекта составляют различные математические формы выражения количественных соотношений между переменными и постоянными. Это различные функции, уравнения, системы уравнений, условия однозначности их решений, неравенства и другие математические представления.

Если известно математическое описание функционирования объекта-оригинала, согласно этому описанию определен процесс над числами, выражающими значения величин, характеризующих состояние объекта, и этот процесс отображен в ЦВМ, то процесс, реализуемый ЦВМ, является материальной функциональной формальной математической подобной цифровой моделью оригинала.

239

Дискретная природа функционирования ЦВМ требует, как правило, приведение исходного математического описания оригинала к виду, удобному для цифрового моделирования. Прежде всего необходима дискретизация непрерывных величин. При этом непрерывные функции подвергаются квантованию по уровню и аргументу. В результате непрерывная функция непрерывного аргумента y = f(t) превращается в дискретную функцию дискретного аргумента Tyky = = f (Tk), где k и ky – числа, принимающие значения 0, ±1, ±2, ±3, ... ; T и Ty – кванты переменных t и y.

Квантование по уровню – это замена значения y соответствующим числом определенной разрядности, сопровож-

дающаяся погрешностью округления y Ty/2.

Поскольку в современных ЦВМ число разрядов велико (32 и более) и погрешность пренебрежимо мала, поэтому практически можно считать, что функционирование ЦВМ описывается решетчатыми функциями вида

Для цифрового моделирования оригинала необходима алгоритмизация математического описания оригинала. Алгоритм – это точно определенное правило выполнения расчетных операций над числами, последовательность которых составляет общий процесс преобразования исходных данных в результат решения соответствующей задачи. Алгоритмизация математического описания заключается в получении соответствующего этому описанию алгоритма. Если, например, функционирование оригинала описывается дифференциальным уравнением, то алгоритмизация заключается в составлении алгоритма численного решения этого уравнения. По существу алгоритмизация математического описания и заключается в приведении его к виду, удобному для цифрового моделирования. Она выполняется на основе выбранного численного метода решения задачи, который позволяет свести решение к арифметическим действиям. При этом часто оказывается полезным применение аппарата решетчатых функций.

240