Моделирование систем
..pdf8. Рассчитываем функцию u1 = u2(tм), подобную задан-
ной функции 1 = 2(tо): |
|
|
|
|
|
|
||
u |
|
1 åj |
|
1 |
mttì |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
(3.173) |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
m1 |
m1 |
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 12 1 10tì |
. |
|
|
(3.174) |
В данном случае материальная подобная модель, согласно вышеприведенной терминологии, является формальной.
3.18. Классификация видов подобия и моделирования
Схема классификации (рис. 3.12) основывается на взаимосвязи понятий моделирования и подобия, в соответствии с которой модель и оригинал находятся между собой в отношении подобия (подобны друг другу).
Классификация указывает, какие виды подобия и соответствующего им моделирования могут быть использованы при решении практических задач.
Первоначально виды подобия и моделирования разделяются по признаку полноты учета и воспроизведения на модели параметров оригинала и процессов в нем, т.е. разделяются на полное и неполное подобие и на соответствующие им виды моделирования (полное и неполное). Как полное, так и неполное подобия могут быть приближенными.
Далее виды моделирования разделяются на мысленное (теоретическое и аналитическое) и материальное в зависимости от способа их материальной реализации.
Мысленное моделирование.
1.Мысленное теоретическое моделирование – это моде-
лирование на основе мысленных представлений, т.е. построение модели происходит в сознании человека.
2.Мысленное аналитическое моделирование – модели-
рование, использующее аппаратуру для подтверждения мысленных представлений.
141
Виды подобия и соответствующие им виды моделирования
|
Полное |
|
|
|
Приближенное |
|
|
|
|
Неполное |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мысленное: |
|
|
Детерминированное |
|
Материальное |
|
||||||
|
1) теоретическое |
|
|
Стохастическое |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2) аналитическое |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Обобщенное |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наглядное
Знаковое
Математическое
мысленное
Гипотезы
Наглядные аналоги
Макеты
Условно-знаковые представления
Топологические
представления
Графовые
представления
Схемы замещения
Алгоритмы и программы
Структурные схемы
Натурное
Физическое
Математическое материальное
Производственный
эксперимент
Обработка и обобщение натурных данных
Обобщение произ- водственного опыта
Временное
Пространственно- временное
Пространственное
Аналоговое
Цифровое
Гибридное
Рис. 3.12. Классификация видов подобия и моделирования
142
Мысленное моделирование подразделяется также на наглядное, знаковое и математическое мысленное.
• Наглядное моделирование – создание наглядных моде-
лей, отображающих явления и процессы, протекающие в объекте. К этому виду моделирования относятся:
гипотезы – это мысленные представления форм воображаемых моделей, например моделей атомов. Гипотетическое моделирование используется для построения формальных моделей;
макеты – это модели, дающие геометрическое подобие (например, уменьшенная копия здания).
•Знаковое моделирование – создание модели, основные свойства которой выражаются с помощью системы знаков или символов, т.е. вводятся условные обозначения отдельных понятий знаками (например, формула химического соединения). К знаковому моделированию относятся:
моделирование на основе условно-знаковых представле-
ний. Например, если состояние или соотношение химических элементов во время реакции описать в виде условных знаков, то получим модель химической реакции, которая будет представлена условно;
моделирование на основе топологических представлений; моделирование на основе графовых представлений.
•Математическое мысленное моделирование – это мо-
делирование на основе схем замещения, алгоритмов и программ, а также структурных схем. Этот вид моделирования устанавливает связь между логическим и чувственным, т.е. подкрепляет абстрактное мышление привычными образами, которые помогают исследователю воспринять и анализировать явления.
Схемы замещения. Например, схемы замещения трансформаторов и электродвигателей, которые отображают мате-
матические уравнения и их физическую интерпретацию с помощью более простых и наглядных объектов. Возьмем, к примеру, схему замещения преобразователь – двигатель постоянного тока (ДПТ), приведенную на рис. 3.13 (еп, ед – противоЭДС преобразователя и двигателя).
143
Рис. 3.13. Схема замещения преобразователь – ДПТ
Структурные схемы – это схемы, отражающие функциональные связи между подсистемами сложных систем. Например, на рис. 3.14 представлена структурная схема преобразователь – ДПТ.
Рис. 3.14. Структурная схема преобразователь – ДПТ
Алгоритмы и программы – моделирование условными знаками процессов, описанных дифференциальными уравнениями. Например, система дифференциальных уравнений, описывающих преобразователь – ДПТ:
eï
Rï Rÿ iÿ Ln Lÿ |
diÿ |
eä ; |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
eä ñe Ô ; |
(3.175) |
||||
|
M cm Ô iÿ ; |
|||||
|
|
|||||
d |
|
1 |
M Mc . |
|
||
dt |
|
|
||||
|
Jï ð |
|
||||
|
144 |
|
|
|
Материальное моделирование – это реально-практиче-
ский вид моделирования. Как мысленное, так и материальное виды моделирования могут быть либо детерминированными, т.е. предполагающими отсутствие случайных воздействий (возмущений); либо стохастическими, т.е. отображающими вероятностные события; либо обобщенными, т.е. отображающими оригинал (явления, происходящие в нем) условно.
• Натурное моделирование – это моделирование, пред-
полагающее проведение исследований на реальном объекте. К такому моделированию относятся:
производственный эксперимент – эксперимент, прово-
димый во время производственного процесса на действующем предприятии; может рассматриваться как модель, отвечающая задачам производства, его развития и совершенствования;
обработка и обобщение натурных данных, т.е. сведений о явлениях или процессах, происходящих в натуре, с целью построения соответствующих моделей;
обобщение производственного опыта, в отличие от мо-
делирования на основе производственного эксперимента (который специально организуют) пользуются имеющимся материалом. Например, в отделах главных энергетиков любого предприятия скапливаются данные о потреблении предприятием электрической энергии. Накопление этих данных специально не планировалось, но на их основе можно построить модель динамики потребления электроэнергии предприятием.
• Физическое моделирование – это вид моделирования,
при котором исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием. К этому виду моделирования относятся:
временное моделирование – если исследуются процессы, протекающие во времени;
пространственное моделирование – если моделирова-
ние предназначено для изучения процессов, действие которых не рассматривается во времени, а только в пространстве;
145
пространственно-временное – объединяет в себе поня-
тия временного и пространственного видов моделирования.
• Математическое материальное моделирование – это моделирование, при котором физика процессов не сохраняется. Объекты, процессы описываются с помощью математических уравнений. Моделирование может быть аналоговым, цифровым, гибридным.
3.19. Подобное моделирование САУ
Важнейшей характеристикой САУ являются динамические характеристики. Рассмотрим связь критериев подобия
САУ с временными характеристиками y t f x t , при
этом динамика процессов описывается уравнением следующего вида:
|
|
|
a |
|
d n y |
a |
d n 1 y |
... a |
n 1 |
dy |
a |
n |
y |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
dt n |
1 dt n 1 |
dt |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
b |
|
d m x |
b |
d m 1x |
... b |
|
|
|
|
dx |
b |
|
|
x. |
(3.176) |
|||||||||||||
|
|
|
0 dt m |
|
|
|
|
m 1 dt |
m |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 dt m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Используя метод интегральных аналогов, приводим вы- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
шеуказанное уравнение к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a |
|
y |
a |
|
|
y |
... a |
|
y |
|
a |
|
y b |
|
|
|
x |
b |
|
|
x |
... |
|||||||||
0 t n |
1 t n 1 |
n 1 t |
n |
0 t m |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t m 1 |
|
... bm 1 xt bm x 0.
Получаем следующее уравнение:
a0 |
|
1 |
|
a1 |
|
1 |
... an 1 |
1 |
b0 |
|
x |
|
1 |
|||||
an |
t n |
an |
t n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
an |
t an |
|
y t m |
|||||||||
|
|
|
|
|
... bm 1 |
|
x |
1 bm |
x |
|
1 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
y |
t |
an |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
146 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.177) |
||
|
b1 |
|
x |
|
1 |
... |
|
an |
y |
t m 1 |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(3.178) |
В итоге получили критериальное уравнение. Выбираем критерий (всего критериев – n+m):
a |
a0 |
|
1 |
|
|
|
... |
a |
an 1 1 |
, |
|
|
|||||||
tn |
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
a |
|
|
|
|
|
n 1 |
a |
|
t |
|
|
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b0 |
|
|
x |
|
1 |
... |
b |
bm |
|
x |
. |
(3.179) |
||||
|
|
y |
tm |
|
|||||||||||||||
0 |
|
a |
n |
|
|
|
m |
a |
|
y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим последний критерий: |
b bm |
x |
. |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
an |
|
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в качестве начальных условий x = 1, то y(t) = h(t) – условие однозначности:
x 0 0; |
y 0 0. |
(3.180) |
|||
Тогда этот критерий будет выглядеть как b |
bm |
1 |
, |
||
h t |
|||||
|
m |
an |
|
||
|
|
|
|
следовательно, одним из критериев подобия линейных САУ является переходная характеристика:
h t bm |
1 |
. |
(3.181) |
|
|
||||
a |
|
b |
|
|
n |
|
|
||
|
|
m |
|
Если перейти к относительной переходной характеристике h*
h* t |
h t |
|
h t |
, |
(3.182) |
h |
bm an |
то мы получаем общий критерий подобия для линейных САУ – это относительная переходная характеристика.
Пример. Пусть дана САУ, которая описана уравнением второго порядка
a |
|
d 2 y |
a |
dy |
a |
|
y x . |
(3.183) |
||
0 dt |
2 |
1 dt |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
147 |
|
|
|
|
В качестве модели принимаем модель, уравнением
LC d 2u2 RC du2 u2 u1 . dtì2 dtì
описываемую
(3.184)
|
На рис. 3.15 представле- |
|
на схема модели. |
|
Задание: зная численные |
|
значения объекта а0, а1, а2, |
|
получить численные значения |
Рис. 3.15. Схема модели |
параметров R, L, С, чтобы эти |
|
параметры были подобны. |
Составим критериальные уравнения:
0 |
a0 |
|
1 |
, |
|||||||
|
t2 |
||||||||||
|
1 |
|
|
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
1 |
|
|
|
|
02 |
|
1 |
|
|
|
, |
|
||||
a2 |
|
t |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
x |
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
a |
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
ì |
LC |
|
1 |
; |
||||
tì2 |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|||
ì2 |
RC |
1 |
; |
(3.185) |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
tì |
|
|||
3ì |
|
u1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
u2 |
|
|
|
|
По данным выражения для критерия составляют следующие масштабные уравнения:
LC a0 |
m2 |
; |
RC |
a1 |
m ; |
m |
y |
a m |
. (3.186) |
|
|||||||||
a2 |
t |
|
|
a2 |
t |
|
0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первые два уравнения показывают, что L можно задаться произвольно. Оставшиеся R, С определяются как функции коэффициентов а0, а1, а2 и масштаба времени mt.
Допустим: а0 = а2 = 2, а1 = 5, mt = 0,01, т.е. в модели процессы будут происходить в 100 раз быстрее, нежели в объекте. mx = 0,5.
Задавшись L = 1 Гн, получаем значения для R = 250 Ом и для С = 10–4 Ф.
Выходная характеристика y t u2 0,01t позволяет при моделировании сэкономить во времени.
148
4. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ
Получение моделей элементов в общем случае – процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает проектировщик. Моделирование элементов обычно выполняется специалистами конкретных технических областей с помощью традиционных средств экспериментальных исследований и средств САПР.
Методы получения функциональных моделей элементов делятся на теоретические и экспериментальные.
Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых преобразований и приведении результата к принятой форме представления модели.
Экспериментальные методы основаны на использова-
нии внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.
4.1. Планирование эксперимента
Планирование эксперимента было предложено Р. Фишером в 1930-х гг. для решения агробиологических задач. Фишер положил начало новому разделу математической статистики – дисперсионному анализу, позволяющему оценивать вклад, вносимый отдельными факторами в суммарную дисперсию. После Второй мировой войны планирование эксперимента стало применяться в химии, технической физике, металлургии и т.д. для решения широкого круга задач. Дисперсионный и регрессионный анализы, базирующиеся на планировании эксперимента, переплелись весьма сложным образом, и сейчас трудно провести четкую границу между этими разделами математической статистики.
149
Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом должны соблюдаться следующие требования:
•стремление к минимизации общего числа опытов;
•одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам – алгоритмам;
•использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;
•выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.
Поиск оптимальных условий, построение интерполяционных формул, выбор существенных факторов, выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений и т.д. – вот примеры задач, при решении которых применяется планирование эксперимента. Можно сказать, что там, где есть эксперимент, имеет место и наука
оего проведении – планирование эксперимента.
На математическом языке задача планирования эксперимента формулируется так: на каждом этапе исследования нужно выбрать оптимальное, в некотором смысле, расположение точек в факторном пространстве, для того чтобы получить некоторое представление о функции отклика.
y x1, x2 ,..., xn , |
(4.1) |
|
|
где y – параметр процесса, подлежащий оптимизации; x1, x2 ,..., xn – независимые переменные, которые можно варь-
ировать при постановке экспериментов.
Назовем x1, x2 ,..., xn факторами, а координатное пространство с координатами x1, x2 ,..., xn – факторным про-
странством. Геометрический образ, соответствующий функции отклика, назовем поверхностью отклика.
При использовании статистических методов математическая модель чаще всего представляется в виде полинома-
150