Моделирование систем

В общем случае производная единица физической величины выражается не только через основные, но и через ранее установленные – производные единицы других величин.

Общее символическое выражение производной единицы:

Выражение производной единицы через основные не раскрывает ее физического смысла, но отличается определенной общностью для всех физических величин. Эта форма представления производной физической величины называется размерностью и обозначается [x].

Размерность – символическое выражение единицы величины через основные единицы, показывающие соотношение между их размерами без указания этих размеров. Различаются однородные, одноименные и безразмерные физические величины.

Однородные величины имеют одинаковую размерность и одинаковый физический смысл. Примером служат координаты точек тела и его физический размер.

Одноименные величины имеют одинаковую размерность, но разный физический смысл. Например, работа A = = Fs cos( ), энергия Ек = 1/2mv2 или Еп = mgh, момент силы

M = Fr sin( ) имеют вид [ML2T–2].

Безразмерные величины – размерность их равна единице [x] = [y1]0[y2]0 ... = 1, x = x0, они не зависят от выбора системы единиц. Например, относительные изменения любой величи-

ны – безразмерная величина x/x, отношение дуги окружности к радиусу и т.д.

Все величины, не являющиеся безразмерными, называ-

ются размерными.

Формула размерности (соотношение между единицами измерения величины и основными единицами) любой физической величины однозначно определяется выбором основных единиц измерения и определяющего уравнения. В то же время одна и та же формула размерности может соответствовать различным физическим величинам.

71

Основная единица обозначается либо символом соответствующей физической величины Y, например длина L, время T, либо специальным символом, представляющим сокращенно ее название, например единица длины – м (метр), единица времени – с (секунда). Первое обозначение преимущественно используется в формулах размерностей [y] = Y, второе – при конкретизации единиц физических величин.

Производная единица обозначается либо символом, представляющим ее название {x} = «название» (единица силы – Н – ньютон, единица работы – Дж – джоуль), либо символом единиц определяющего уравнения (единица скорости – м/с, давления – Н/м2). В формулах размерностей используется общее обозначение [x].

Если в правой части определяющего уравнения содержатся только размеры основных физических величин, то из (3.10) при условии {x} = [x] и 1 = 2 = ... = 0 получим формулу размерности:

В общем случае формулы размера и размерности различны, например, для единицы силы в СИ

знаком независимости является наличие хотя бы одного отличного от нуля определителя порядка n. Исходная матрица формируется из показателей степеней при основных единицах измерения данных параметров.

3.4.2. Линейные комбинации

Рассмотрим два n-мерных вектора а = (а1, а2, …, аn)Т

и b = (в1, в2, …, вn)Т.

72

Вектор а называется пропорциональным вектору b, если существует число α такое, что а = α b, т.е. если компоненты вектора а пропорциональны компонентам вектора b.

Согласно определению, нуль-вектор пропорционален любому вектору, так как справедливо равенство 0n= 0na.

Понятие пропорциональности двух векторов является частным случаем более общего понятия – линейной комбинации.

Имея набор, состоящий из n векторов (а1, а2, …, аn)T, и набор из n чисел α1, α2 , ..., αn , можно составить линейную

комбинацию векторов (аi) c коэффициентами αi . Для этого

надо i-й вектор умножить на i-й скаляр и все полученные таким образом произведения сложить, т.е. линейной комбинацией векторов (ai) с коэффициентами (di) называется вектор b, определенный равенством:

Выражение (3.14) можно представить в матричном виде

α1

b a1 a2 ... an α..2 . (3.15)

αn

(Матрица А = 1×n – строка размерности n).

Таким образом, любое произведение матрицы и вектора есть линейная комбинация столбцов матрицы с коэффициентами, равными компонентам вектора.

Линейную комбинацию с нулевыми коэффициентами принято называть тривиальной, а если хотя бы один из коэффициентов в линейной комбинации отличен от нуля, она называется нетривиальной.

Например, вектор b = (12, 46) является линейной комбинацией векторов a1 = (12; 12) и a2 = (0; 34) b = a1 + a2 .

73

Частным случаем линейной комбинации является неотрицательная комбинация (α1 0), в которой выполняется ус-

n

ловие 1 + 2 +… + n = 1 или i 1 . Такая линейная ком-

i 1

бинация называется выпуклой комбинацией.

3.4.3. Линейная зависимость и независимость

Система векторов a1, a2, …, an называется линейно зависимой, если существует равная нулю линейная комбинация

i 1

этих векторов, в которой, по крайней мере, один из коэффициентов 1, 2, …, n отличен от нуля.

Теорема. Векторы a1, a2, …, an линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них линейно выражается через остальные.

Например, вектор a3 = (3; 2; 3)Т является линейной комбинацией векторов a1 = (1; 0; 1)Т, a2 = (0; ½; 0)Т поскольку

a3 = 3·a1 + 4·a2, т.е. линейно зависим от (а1, а2).

Линейную зависимость можно определить по-другому: векторы (а1, а2, …, аn, аn+1) линейно зависимы, если нуль представим в виде их нетривиальной линейной комбинации, т.е. 3·а1 + 4·а2 – а3 = 0. Иными словами, если система векторов содержит нуль-вектор, то она линейно зависима.

С геометрической точки зрения можно сказать, что два вектора линейно зависимы, если они лежат на одной прямой, проходящей через начало координат; три вектора линейно зависимы, если они лежат в одной плоскости, проходящей через начало координат.

n

С другой стороны, если iai 0 только тогда, когда

i 1

все коэффициенты а1 равны нулю, то a1, a2, …, an называются линейно независимыми, т.е. любая нетривиальная линейная комбинация векторов отлична от нуля.

74

Например, вектор а4 = (1; 1; –1)Т непредставим линейной комбинацией а1 и а2, в силу чего система (а1, а2, а4) оказывается линейно независимой. Линейная комбинация этих векторов обращается в нуль лишь только тогда, когда все ее коэффициенты равны нулю.

Пример 1. Показать, что трехмерные векторы а1 = (1; 0; 0)Т, а2 = (0; 1; 0)Т, а3 = (0; 0; 1)Т линейно независимы. В самом

1 1 2 0 3 0 0 ,1 0 2 1 3 0 0 ,

1 0 2 0 3 1 0 .

Отсюда следует, что 1 = 2 = 3 = 0.

З а м е ч а н и е. Система (3.16) является линейно независимой в том и только в том случае, когда ранг r этой системы равен числу n векторов в ней. В противном случае система линейна зависима.

Рангом произвольной системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов данной системы. Совокупность линейно независимых векторов системы, число которых равна ее рангу, принято называть бази-

сом системы или базисом пространства E .

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен ее рангу, называется базисным минором этой матрицы.

Пример 2. Дана система векторов а1 = (1; 2; 5)Т, а2 = (2; 4; 10)Т, а3 = (–1; –2; –5)Т. Векторы системы пропорциональны друг другу. Следовательно, максимальное число линейно независимых векторов равно единице (r = 1), а за базис можно принять любой из векторов системы.

По аналогии с плоскостью и трехмерным пространством размерностью векторного пространства естественно назвать величину, совпадающую с максимальным числом линейно независимых векторов этого пространства. Таким образом,

75

размерность евклидова пространства Еn (n-мерного векторного пространства) равняется n. Это обстоятельство послужило поводом для названия данного пространства n-мерным.

Размерность евклидова пространства Еn равна n, так как одним из базисов является система единичных векторов:

е1 = (1, 0, 0, …,0, 0);

е2 = (0, 1, 0, …,0, 0);

……………………..

еn = (0, 0, 0, …,0, 1).

Теорема. В n-мерном векторном пространстве любые n+1 векторов линейно зависимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим произвольную систему из n+1 векторов n-мерного пространства: а1, а2,

…, аn+1.

Координаты каждого из векторов располагаем в строку и нумеруем двумя индексами:

a1 a11, a12 , ..., a1n ;

an+1 an 11, an 1 2 , ..., an 1n .

Составим матрицу из координат этих векторов:

Ее ранг не может превосходить числа n столбцов, т.е. r n. Следовательно, число n + 1 векторов в системе (3.17)

76

заведомо больше ранга r этой системы. Отсюда можно заключить, что система (3.17) линейно зависима.

Пример 3. Дана система трех векторов четырехмерного пространства:

a1 1; 2;1; 4 ,

a2 0;1; 1; 3 ,

a3 2; 5;1;11 .

Требуется установить, является ли данная система линейно зависимой или нет.

Составим матрицу векторов из координат заданных векторов:

Находим ее ранг. Для этого к третьему столбцу прибавляем второй, а из четвертого вычитаем утроенный второй. Получаем

Далее, разделим третий столбец на три, а четвертый на –2. Получим

Удалим два последних столбца, так как они совпадают с первым. Находим, что

77

Отсюда видно, что r(A) = 2. Таким образом, ранг заданной системы векторов меньше числа векторов в этой системе, и, значит, эта система линейно зависима. Действительно, легко проверить, что

а3 = 2·а1 + а2 .

Необходимым и достаточным условием линейной независимости векторов является отличие определителя Грамма

от нуля, т.е. Det(r) 0.

Определитель Грамма образуется из скалярных произведений векторов а1, а2, …, аn следующим образом:

Известно, что матрицы, определитель которых отличен от нуля, называются вырожденными (неособенными или несингулярными). Строки и столбцы таких матриц образуют совокупность линейно независимых векторов.

Пример 4. Определить линейную зависимость или независимость векторов следующей системы уравнений:

3x1 x2 2x3 x4 2x5 5, 6x1 x2 3x3 2x4 4x5 9, 10x1 x2 6x3 3x4 7x5 14, x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0.

78

Возьмем три произвольных вектора-столбца системы уравнений, например три первых. Исследуем эту подсистему на линейную независимость. При этом будем исходить из следствия: если некоторая подсистема векторов линейно зависима (независима), то и вся система векторов линейно зависима (независима). Для этого подсчитаем определитель:

3 1 2

Det 6 1 3 18 30 12 20 36 9 5 0 . 10 1 6

Так как определитель отличается от нуля, то векторы линейно независимы.

3.5. Критерии подобия

Степенным комплексом называется функция следующего вида:

y x1 x2 ... xn .

Основные свойства степенных комплексов:

1. Число простых степенных комплексов, образованных из некоторых величин, не превышает количество этих величин. Составными называются комплексы, получаемые на основе простых степенных комплексов.

Пример 1. Задан базис исходных величин {x1, x2, x3}. На основе данного базиса определены степенные комплексы:

k1 x1x2 ,

k2 x1x22 x3 ,

k3 x1x23 x3 ,

k4 x13 x24 x3.

79

Так как степенных комплексов больше, чем исходных величин, то некоторые из комплексов являются составными.

Путем несложных преобразований: k1 = x1x2 x1 = k1/x2,

k2 = x1x22 x3 x2 x3 = k2/k1,

k3 = x1x23x3 k3 = k12k2/k1 = k2 k1,

k4 = x13x24x3 k4 = k12k2,

определяем, что k1 = x1x2 и k2 = x1x22x3 являются простыми

степенными комплексами, а k3 = k2k1 и k4 = k12k2 – составными степенными комплексами.

2. Любая функция может быть представлена в виде

Определим данную функцию как функцию степенных комплексов:

3. Любую безразмерную функцию размерных величин можно представить в виде функции безразмерных степенных комплексов, образованных из этих величин: