Прочность и разрушение материалов

в другом – по его границе. Отсюда также видно, что характеристики усталостной прочности должны зависеть от структуры материала. Поэтому надо учитывать возможную зависимость эмпирических коэффициентов от уровня максимальных напряжений цикла.

К настоящему времени предложено большое количество математических моделей описания всех трёх участков диаграмм, содержащих от четырёх до восьми подлежащих экспериментальному определению параметров.

Из уравнений, описывающих докритические диаграммы разрушения, также можно получить характеристики долговечности при малоцикловой усталости. Для этого на первом цикле диаграмма разрушения строится до нагрузки, отвечающей максимальному напряжению цикла max . При этом длина трещины

увеличивается, и эту новую длину следует считать начальной при расчёте докритической диаграммы на следующем цикле. Следовательно, краевое условие для расчёта интегральной кривой дифференциального уравнения докритической диаграммы разрушения на i-м цикле будет min при l li 1.

Семейство докритических диаграмм разрушения в области изменения напряжений цикла от min до max позволяет рас-

считать длину трещины в функции числа циклов. Учитывая идеализированность рассматриваемой модели и появление остаточных сжимающих напряжений при разгрузке, следует считать, что при снятии нагрузки (и уменьшении расстояния между поверхностями трещины) приращение трещины также уменьшается. Таким образом, если приращение длины трещины на i-м цикле по докритической диаграмме разрушения составит величину li , то длина трещины на (i+1)-м цикле будет li 1 li li

(рис. 3.8). Коэффициент снижения приращения длины 1 оп-

91

ределяется эмпирически по экспериментальным кривым l – N для данного материала данной толщины. Не исключено, что этот коэффициент меняется с длиной трещины, т.е. с ростом числа циклов и коэффициента асимметрии цикла.

За каждый цикл получаем определённое приращение длины трещины, и в конце концов на каком-то номере цикла диаграмма разрушения достигнет кривой критических нагрузок, в результате чего произойдет быстрое лавинообразное разрушение при соответствующем постоянном напряжении.

Рис. 3.8. Схематическое изображение подрастания трещины при циклическом нагружении от начальной длины l0 до критической lc: 1 – докритические диаграммыразрушения; 2 – критическаядиаграмма разрушения

В виде примера на рис. 3.9 показаны докритические диаграммы разрушения при повторном статическом нагружении (малоцикловой усталости) пластины с трещиной. Пластина растягивалась сначала с большим максимальным напряжением цикла, затем режим нагружения был изменён и максимальное напряжение цикла стало меньше, однако коэффициент асимметрии цикла был сохранён прежним.

92

Рис. 3.9. Рост трещины в пластинке при циклическом растяжении с постоянным коэффициентом асимметрии цикла R min max 0,7:

1 – рост трещины при постоянных max 0,7 и min 0,49, т.е. R = 0,7; 2 – сначала трещина росла при постоянных max 0,7

иmin 0,49 (R = 0,7), затем при постоянных max 0,45

иmin 0,32 (R = 0,7), – безразмерная длина трещины,

– безразмерная нагрузка

На первом режиме пластина работала три цикла, остальные четырнадцать циклов до разрушения пластина простояла на втором режиме, перейдя в критическое состояние на пятнадцатом, поскольку именно в этих координатах обычно получают экспериментальные кривые при испытании образцов с трещинами на малоцикловую усталость.

Подобный режим докритического роста трещины имел, по-видимому, место в одном довольно трагикомическом случае, рассказанном профессором Дж. Коппом из Глазго. Большая трещина в стальном полу камбуза грузового корабля была обнаружена коком. Корабельное начальство отмахнулось от его сообщения, и коку ничего не оставалось, как следить за трещиной, которая после каждого шторма подрастала, он даже делал заметки краской на концах увеличивающейся трещины. В конце концов произошла катастрофа, судно разломилось пополам,

93

но не затонуло, и отметки кока тщательно анализировались при исследовании причин аварии.

Воспользуемся дифференциальным уравнением докритического роста трещин и интеграл этого уравнения перепишем в виде29

личину li li li 1 . Заметим, что приращение длины трещины за один цикл и есть скорость роста трещины dldN .

Эмпирический коэффициент можно определить двояким образом. В одном случае – из условия совпадения значений скорости роста трещины (при некоторых l или K ) из эксперимента и из уравнения (3.7):

определить из условия совпадения числа циклов в проводимом эксперименте и из расчёта, связанного с достижением трещины некоторой наперёд заданной величины l0 l lс :

29 Морозов Е.М. Расчет диаграмм усталостного разрушения с учетом эффективного коэффициента интенсивности напряжений // Физика и механика деформации и разрушения. – Вып. 10. – М.: Энер-

гоиздат, 1981. – C. 62–68. 94

Расчётное число циклов, за которое трещина выросла от l0 до l, находим из формулы

Если длина трещины вырастет до критического значения l = lc, определяемого из уравнения для критической диаграммы разрушения

то из (3.10) определяется долговечность по числу циклов.

3.6. Расчёт элементов конструкций на долговечность

Рассмотрим условия, определяющие долговечность элемента конструкции на стадии развития трещины. Как указывалось, число циклов, соответствующее росту трещины от начальной длины l0 до критической lc, определяет долговечность данного элемента конструкции по числу циклов. Чтобы обеспечить прочность конструкции, долговечность должна быть больше числа перемен заданной нагрузки. Таким образом, наряду с оценкой материала по классической кривой Вёлера, существенную информацию о поведении элемента конструкции с трещиной в условиях усталости должна дать механика разрушения. Следовательно, в данном случае, как обычно, надо исходить из того, что начальный трещиноподобный дефект существует в конструкции с момента её изготовления (несмотря на дефектоскопический контроль, который, как известно, имеет определённый допуск на размер необнаруживаемых дефектов). К сварным конструкциям это относится в большей мере, и в этом случае желательно иметь критические значения коэффициентов интенсивности напряжений (Kс или KIc) для основного материала, материала шва и материала переходной, термически повреж-

95

денной, зоны. Кроме этого, для сварных конструкций желательно в области сварного шва знать величину и распределение остаточных напряжений. Всё это вместе взятое способствует уточнению расчётов.

Число циклов, за которые появляется трещина, достаточно неопределённо, что схематично показано на рис. 3.10 (область I). Эти начальные дефекты могут быть дислокациями, микротрещинами, порами и прочими дефектами структуры, определение которых затруднено. Область II соответствует дефектам, которые могут быть обнаружены инженерными методами (конкретная величина обнаруживаемого дефекта зависит от разрешающей способности аппаратуры). В этой области расположена граница, отделяющая зону начальных трещин от распространяющихся. Для области III рост трещины наблюдается визуально.

Рис. 3.10. Схематическое изображение областей зарождения и распространения трещины

Рекомендуется придерживаться следующего порядка расчётанадолговечностьпочислу цикловвсвязисростомтрещины30:

1. Выявить на основе количественной оценки возможностей дефектоскопического контроля максимальную длину (глубину) начальной трещины, существующей в элементе конструк-

30 Сапунов В.Т., Морозов Е.М. Сопротивление материалов распространению трещины при циклическом нагружении. – М.: МИФИ, 1978. – 69 с.

96

ции, и подобрать наиболее подходящее выражение (формулу) для коэффициента интенсивности напряжений K.

2. По вязкости разрушения Kс или KIc (в зависимости от предполагаемой степени стеснения деформации вдоль фронта трещины и номинального эксплуатационного (расчётного) напряжения max в сечении трещины, найти по критерию Ирвина

(1.8) критическую длину трещины lc.

3. Рассчитать параметры цикла K Kmax Kmin ,

по известным напряжениям цикла max и min .

4. Экспериментально получить соотношение для циклической скорости роста трещины dldN в функции параметров

задачи, которую затем можно представить одной из зависимо-

стей (3.1)–(3.6):

Вид функции f K,C,m и значения постоянных мате-

риала С, m определяются при лабораторных испытаниях на усталость с регистрацией кривых роста трещины l – N в образцах, для которых известно решение для коэффициента интенсивности напряжений:

где P – размах нагрузки. Схема, иллюстрирующая получение эмпирической зависимости (3.11) по результатам эксперимента, приведена на рис. 3.11.

5. В соответствии с требованиями, предъявляемыми к данному элементу конструкции, решить одну из следующих задач прогнозирования роста усталостной трещины:

а) определить кривую роста трещины l – N в элементе конструкции, нагружаемом циклически изменяющимися силамиP. Для этого аналитическое выражение коэффициента интен-

97

сивности напряжений, выбранное для данного элемента конструкции

нужно подставить в найденное эмпирическое соотношение

(3.11). Тогда

Интегрируя это уравнение, получим кривую l – N роста усталостной трещины;

б) найти (см. (3.10)) число циклов (циклическую долговечность), за которое известная исходная трещина или дефект l0 в элементе конструкции достигнет критической (заданной) величины lс. Для этого выражение для K (3.13) нужно подставить в формулу (3.11) и полученное соотношение проинтегрировать по длине трещины:

В частности, если скорость роста усталостной трещины определяется формулой Париса (3.1) и коэффициентом интенсивности напряжений в виде обобщённого соотношенияK Ml, легко получить следующее выражение для циклической долговечности:

– для m 2

где М – параметр, характеризующий геометрию элемента конструкции и форму трещины;

– размах приложенного напряжения за один цикл нагружения.

Рис. 3.11. Схематическое изображение последовательности получения скорости dldN по результатам эксперимента

Рассмотрим пример расчёта на долговечность по числу циклов.

Пример. Полоса с одной краевой трещиной подвергнута циклическому растяжению. В этом случае размах коэффициента

полосы – мартенситностареющая сталь А514 ( т = = 700 Н/мм2,

KIc = 5300 Н/мм3/2). Начальная длина трещины l0 = 7,6 мм; пара-

метры цикла нагружения max = 320 Н/мм2, min = 175 Н/мм2,

max min = 145 Н/мм2.

Обработка результатов усталостных испытаний образцов из данной стали в соответствии с формулой Париса (3.1) даёт следующие значения постоянных С и n = m:

99

C 1,0939 10 11мм/цикл (Н/мм)–3m/2, m = 2,95.

Критическую длину трещины определяем в соответствии с критерием Ирвина (Kmax = KIc):

Используя формулу (3.16), получаем, что на распространение трещины от l0 = 7,6 мм до lс = 70 мм нужно 82 000 циклов.

Если требуется, чтобы конструкция выдержала, например, 100 000 циклов, то в распоряжении конструктора есть следующие пути обеспечения данной долговечности.

1. Увеличить критическую длину трещины lс, применив материал с более высоким значением KIc или снизив расчётное напряжение max.

2. Уменьшить размах напряжений для уменьшенияK и, следовательно, для уменьшения скорости роста трещины. Это вызывает соответствующее увеличение числа циклов при подрастании трещины от l0 до lс. Скорость dl/dN связана с нелинейно, и небольшое изменение вызывает достаточно большое изменение dl/dN.

3. Изменить технологию и контроль конструкции с тем, чтобы уменьшить начальную длину трещины l0. Из рис. 3.10 видно, что больший вклад в долговечность даёт область малых длин трещин. Поэтому небольшое уменьшение начальной длины трещины должно дать значительный прирост долговечности.

В рассматриваемом примере уменьшение начальной длины трещины до l0 = 4,7 мм приводит к увеличению долговечности на 20 700 циклов, в течение которых трещина растет от 4,7 до 7,6 мм. Суммарная долговечность при этом оказывается равной 102 700 циклов.

100