Прочность и разрушение материалов

А.А. Гриффитс предложил для решения поставленной задачи энергетическую формулировку критерия разрушения на основе закона сохранения энергии: трещина начнёт распространяться, когда приращение поверхностной энергии (при вариации длины трещины l 0 ) компенсируется соответствующим выделением потенциальной энергии деформации (при отсутствии других видов энергии):

Левая часть равенства (2.2) представляет собой приращение внутренней энергии тела. Приращение поверхностной энергии положительно, так как внутренняя энергия увеличивается. Приращение потенциальной энергии деформации отрицательно, так как внутренняя энергия уменьшается вследствие релаксации напряжений в связи с появлением новых, свободных от нагрузок, поверхностей тела.

Возможны две ситуации. Если окажется, что U W , то освободившейся энергии с избытком хватит на разрушение материала в вершине и трещина будет самопроизвольно распространяться. Энергия, равная разности U W 0, будет переходить в кинетическую энергию, её будет всё больше и больше ( U в данном случае растёт пропорционально длине трещины) – и пластинка разрушится. В противном случае, когдаU W , освобождённой энергии будет недостаточно для увеличения длины трещины – и она останется неподвижной. Таким образом, условием наступления критического состояния служит равенство

Условие (2.2) перепишется в виде

4 2 2l 0.

E

Отсюда получаем формулу А.А. Гриффитса для критического напряжения при плоском напряжённом состоянии (ПНС):

При плоской деформации (ПДС)

Из формулы (2.4) вытекает, что для данного материала

Для хрупких материалов это соотношение качественно подтверждается (т.е. c ~ 1 l ), например, опытами А.А. Гриф-

фитса со стеклом. Для материалов, разрушение которых сопровождается заметной пластической деформацией, наблюдаются большие количественные отклонения.

Величину

называют скоростью высвобождения упругой энергии, прихо-

дящейся на каждую вершину трещины. Величину G называют также трещинодвижущей силой; её размерность – энергия, делённая на единицу толщины пластины и на единицу изменения длины трещины. Увеличение длины трещины происходит тогда, когда величина G равна энергии, необходимой для роста трещины.

Энергию, расходуемую на распространение трещины, обозначают через R dWdl и называют сопротивлением рос-

42

ту трещины. В первомприближении можно считать, что энергия, необходимая для образования трещины (для разрыва атомных связей), одинакова для любых приращений dl. Это означает, что R – константа.

Теперь энергетическое условие (2.3) можно перефразировать следующим образом: для распространения трещин необходимо, чтобы G было, по крайней мере, равно R. Если R — константа, то, значит, величина G должна превысить некоторое критическое значение GIс. Следовательно, распространение трещины происходит приследующемусловии:

Критическое значение GIс (критическую скорость высвобождения энергии) можно получить, измерив напряжение c ,

необходимое для разрушения пластины с трещиной размером 2l, и вычислив из уравнения (2.8) величину GIс.

Энергетический критерий есть необходимое условие распространения трещины. Этот критерий не обязательно должен быть достаточным. Если материал при вершине трещины не находится на грани разрушения, то трещина не будет расти даже при достаточной энергии для её развития: материал должен до конца исчерпать свою способность воспринимать нагрузку и продолжать деформироваться. Из уравнений (1.2) и (2.8) следует, что

GI KI2 E.

Очевидно, критерий по напряжениям и энергетический критерий выполняются одновременно. Следовательно, уравнения (1.9) и (2.8) эквивалентны.

43

Аналогично можно показать, что для трещин типов II и III

Суммарную интенсивность выделения энергии при распространении трещин смешанного типа легко получить, складываяэти величины дляразличных типов трещин:

Зависимости (2.4)–(2.5) критических нагрузок и размеров дефекта представляют собой основной теоретический результат А.А. Гриффитса. Однако проведение расчётов на прочность тел с трещинами по А.А. Гриффитсу, исходя из расчёта энергии деформаций всего тела, оказывается очень сложным и неудобным в вычислительном отношении. Вот почему до создания Дж. Р. Ирвином в 1957 году силового подхода в механике хрупкого разрушения такие расчёты почти никому не удалось довести до конца.

2.2. Интенсивность выделения энергии

Выведем формулу для потока упругой энергии G в вершину трещины (формула податливости Ирвина). Пусть дано упругое тело, на которое действует внешняя сила Р. В связи с приращением длины трещина на dl точка приложения силы сместится на величину d , и сила Р произведёт работу Pd .

Энергия упругой деформации, накопленная к этому моменту,

44

W 12 P ,

где полное смещение определяется для тела с трещиной данной длины l. При этой длине трещины сила Р и смещение связаны линейной зависимостью P, где – податливость тела при заданной длине трещины. Поскольку W есть функция рассматриваемого состояния, то её можно вычислить через величины, относящиеся к рассматриваемому моменту, т.е. через Р и (а значит, и при фиксированном l), несмотря на то что есть функция длинытрещины. Потокэнергииввершину трещины

Итак, метод податливости (вытекающий из формулы податливости Ирвина) заключается в измерении податливости образца с разными длинами трещины l и последующем вы-

числении производной d dl (например, графически по кривойl ). После этого поток энергии в вершину трещины на еди-

ницу длины образца можно найти по формуле

G 12 P2 ddl .

Величину G можно получить графически. Для трещины размера l диаграмма «нагрузка – перемещение» представлена на

45

рис. 2.2 линией ОА. Для трещины длиной l + dl соотношение между нагрузкой и перемещением представлено линией ОЕ. Пусть увеличение размера трещины от l до l + dl происходит при нагрузке Р1.

Если края пластины остаются неподвижными, то перемещение остаётся постоянным, а нагрузка уменьшается по линии АВ. Это означает, что выделение упругой энергии представлено треугольником ОАВ.

Рис. 2.2. Диаграмма «нагрузка – перемещение»

Если расширение трещины происходит при постоянной нагрузке, то происходит относительное перемещение её краёв на величину v. Совершённая нагрузкой работа есть P v, что равно

площади AEFC. Заключённая в пластине упругая энергия увеличивается при этом от ОАС до OEF. Прирост этой энергии равен площади треугольника ОАЕ. Эта энергия должна быть равна работе, совершённой нагрузкой. Поскольку площадь, очерченная фигурой AEFC, вдвое превосходит площадь треугольника ОАЕ, остаётсяэнергия, равнаяплощадиОАЕ.

Пренебрегая маленьким треугольником АЕВ, получаем, что ОАВ = ОАЕ. Это означает, что в обоих случаях – при постоянной нагрузке и в случае неподвижных зажимов – для роста трещины высвобождается одинаковая энергия.

46

В случае неподвижных зажимов энергия высвобождается за счёт уменьшения упругой энергии пластины. При постоянной нагрузке источником этой энергии является работа внешней нагрузки. В обоих случаях результаты одинаковы, и поэтому величину G можно вычислить, зная закон изменения упругой энергии. По этой причине величину G называют интенсивностью выделения упругой энергии.

2.3. Концепция Гриффитса – Орована – Ирвина

Первоначально считалось, что теория А.А. Гриффитса применима только к хрупким материалам типа стёкол. Её использование для других материалов, таких, например, как металлы, затруднялось тем, что их разрушение всегда сопровождается пластическими деформациями в зоне предразрушения – в более или менее обширной окрестности кончика трещины. Венгерский ученый Е.О. Орован, проводя эксперименты на плитах из малоуглеродистой стали с нанесёнными трещинами, отчётливо видел, как происходят такие деформации10. Е.О. Орован заметил, что пластическая деформация сосредоточивается в тонком слое вблизи поверхности трещины (рис. 2.3, заштрихованная область). Подобное поведение было названо квазихрупким.

Рис. 2.3. Зона пластической деформации у краев трещины

Е.О. Орован11 и Дж. Р. Ирвин11,12 предложили учитывать пластическую работу в рамках той же схемы А.А. Гриффитса,

10 Orowan E.О. Discussion on Internal Stresses // Proc. Symposium on internal stresses in metals and alloys; London: Institute of Metals. – 1948. – Р. 451.

11 Irwin G.R. Fracture dynamics. Fracturing of metals; ASM, Cleveland. – 1948. – Р. 147–166.

47

приписывая поверхностной энергии более широкий смысл и заменить суммой ( p ), где p – работа пластической де-

формации при образовании единицы поверхности. Разумеется, из-за необратимости работы p теперь можно говорить только

о росте трещин. Важно подчеркнуть, что для металлов p . Например, для стали p 103 . Именно столь значительная

пластическая работа обеспечивает хорошее сопротивление металлов хрупкому разрушению.

Теперь формула А.А. Гриффитса (2.4) может быть переписана в виде:

Из (2.3) вытекает, что по-прежнему

Таким образом, концепция квазихрупкого разрушения Е.О. Орована и Дж. Р. Ирвина явилась крупным вкладом в механику разрушения и позволила перейти от идеального материала всхемеА.А. Гриффитсакреальнымметаллическимматериалам.

2.4. Устойчивое и неустойчивое развитие трещины

Что же показывает зависимость (2.4)? Изобразим её графически (рис. 2.4). Пользоваться графиком следует так: пусть известна начальная длина трещины, которая имеется втеле. Отложим эту величину вдоль горизонтальной оси и, восстановив перпендикуляр в конце отрезка до пересечения с графиком, найдем соответствующее напряжение, критическое для данной длины трещины. Если напряжение, приложенное к телу, меньше критического, трещина не будет развиваться. Если же, повышая напряжение, мы

12 Irwin G.R. Relation of stresses near a crack to the crack extension force // Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech.; Brussels. – 1957. – Vol. 8. – Р. 245–251.

48

достигнем его критического значения, трещина начнет развиваться, притомнеустойчиво, ителоразрушится.

Понятие критического напряжения, введённое А.А. Гриффитсом, весьма ценно, поскольку оно связано с началом развития трещины и служит важнейшей характеристикой сопротивления материала росту трещины. Однако одной этой характеристики явно недостаточно для понимания начавшегося процесса разрушения. Как протекает этот процесс? Каким образом происходит разрушение? Всегда ли тело разрушается на части или трещина может остановиться, «не дорезав» тело до конца? Что происходит после того, как трещина «двинулась в путь»?

Рис. 2.4. Зависимость критических нагрузок и размеров трещины А.А. Гриффитса

На первый взгляд кажется, что если уж трещина начала развиваться, то тело непременно разрушится. Однако это справедливо только при лавинообразном, неустойчивом распространении трещины. Как показывают эксперименты и расчёты, в случае взаимодействия трещины с препятствиями и границами её развитие может происходить устойчиво, без окончательного

49

разрушения тела в значительном диапазоне изменения нагрузки. Очевидно, что в конструкциях и сооружениях, работающих при определённых внешних нагрузках и определённых режимах их изменения, наличие устойчивых трещин неопасно. Срок службы таких сооружений можно значительно продлить, искусственно усиливая их заклёпками и пластинами, высверливая отверстия на пути распространения трещин и т.д.

Остановимся на одном примере подробнее. Чтобы предотвратить катастрофическое развитие уже имеющихся трещин и разрушение конструкции, её часто подкрепляют рёбрами жёсткости (рис. 2.5, а). Простейшая математическая схематизация этой задачи состоит в следующем. В расчёте обычно принимаются во внимание только ближайшие к линии трещины заклёпки, так как влияние более удалённых незначительно. Пара заклёпок, препятствующая развитию трещины, моделируется двумя равными противоположно направленными сжимающими сосредоточенными силами (рис. 2.5, б).

Рис. 2.5. Панель с приклёпанными рёбрами жёсткости (а)

и схематизация задачи о трещине в листе с рёбрами жёсткости (б)

Первый вопрос, который здесь возникает: каким должно быть отношение расстояния между заклёпками к расстоянию

50