Сопротивление материалов

эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов, оценка правильности построения которых производится по дифференциальным соотношениям теории изгиба; 2)определение опасных напряжений (нормальных и касательных) и особенностей их распределения по сечению балки; 3)определение перемещений при изгибе одним из классических методов - методом начальных параметров. Решение этих задач позволяют оценивать балки на прочность и жесткость при изгибе и выбрать необходимые размеры поперечного сечения балки.

Тема 3. Косой изгиб, внецентренное растяжение – сжатие. Элементы рационального проектирования простейших систем. Расчет статически определимых стержневых систем. Сдвиг.

3.1. Расчетные схемы при косом изгибе и внецентренном растяжении – сжатии. Уравнение нейтральной линии. Расчет максимальных напряжений в сечении. Ядро сечения.

Косой изгиб, внецентренное растяжение – сжатие – эти виды нагружения относятся к сложному сопротивлению бруса. Сложным сопротивлением называется такой общий вид нагружения, при котором в поперечных сечениях возникает сразу несколько внутренних силовых факторов. При этом для определения напряженного состояния необходимо использовать принцип независимости действия сил. Обратите внимание на то, что задачи на сложное сопротивление решаются по общему плану: 1)все заданные нагрузки проектируются на две главные плоскости инерции; 2)в каждой плоскости строятся эпюры внутренних силовых факторов и определяются опасные сечения; 3)в опасных сечениях определяются наибольшие нормальные и касательные напряжения, положение нейтральной линии и устанавливается положение наиболее напряженных (опасных) точек; 4)в опасных точках выясняется характер напряженного состояния и составляется условие прочности. Ознакомьтесь с понятием «ядро сечения», какова его практическая значимость?

21

3.2. Виды напряженного состояния, главные напряжения. Общие принципы расчета конструкций и их элементов: расчет на прочность по напряжениям, расчет на жесткость по допускаемым перемещениям; расчет несущей способности по предельной нагрузке. Элементы рационального проектирования простейших систем: стержень равного сопротивления растяжению или изгибу. Рациональные профили сечений балки при кручении, изгибе.

Обратите внимание на особенности видов напряженного состояния (линейного, плоского, объемного), научитесь определять главные напряжения. В стержне равного сопротивления растяжению или изгибу в каждом поперечном сечении возникают одинаковые напряжения при нагружении. Необходимо уметь рассчитать геометрические размеры сечений такого стержня. Формулируя условие, позволяющее оценивать величину максимальных напряжений в опасных сечениях конструкции при нагружении или перемещений сечений, изучите особенности расчета на прочность по допускаемым напряжениям, расчета на жесткость по допускаемым перемещениям; расчета несущей способности по предельной нагрузке.

В связи с требованиями по снижению материалоемкости, веса конструкций и их экономичности особое внимание следует уделить обоснованию рациональных форм поперечных сечений балок при изгибе, кручении, а также проектированию равнопрочных конструкций.

3.3 Расчет статически определимых стержневых систем. Расчет ферм.

Изучите понятия статической определимости и геометрической неизменяемости стержневой системы. Отметьте, что для определения внутренних усилий в статически определимой системе достаточно составить уравнения равновесия системы.

Ферма – это один из видов стержневой системы, состоящей из стержней соединенных жесткими узлами. При нагружении фермы в стержнях возникают только продольные внутренние силы, определить которые можно

22

из уравнений статики. Рассмотрите примеры расчета усилий в элементах фермы.

Раздел 2. Анализ напряженного и деформированного состояния стержневых конструкций, оболочек и толстостенных цилиндров. Устойчивость конструкций. Задачи динамики.

Тема 4. Метод сил, расчет статически неопределимых стержневых систем.

4.1.Статически неопределимые стержневые системы. Лишние связи. Степень статической неопределимости системы. Методика расчета статически неопределимых стержневых систем.

Анализ статически неопределимой стержневой системы начинают с установления степени статической неопределимости. При этом применяют метод отбрасывания лишних связей или метод замкнутых контуров. Разберитесь в особенностях применения этих методов. Методика расчета статически неопределимых стержневых систем методом сил, когда за неизвестные принимают лишние силы, включает ряд операций: выбор основной системы; составление канонических уравнений; вычисление коэффициентов уравнений; решение системы канонических уравнений и построение окончательных эпюр внутренних усилий.

4.2. Метод сил. Выбор основной системы. Канонические уравнения метода сил. Проверка правильности расчета по методу сил. Определение перемещений по методу Мора.

Обратите внимание на то, что выбор основной системы метода сил является важной задачей, определяющей правильность решения. При этом изменение опорных закреплений в системах должно идти по пути их упрощения. Основные системы не должны быть геометрически и мгновенно изменяемыми. Разберитесь, в чем заключается физический смысл каждого канонического уравнения по методу сил, и как определяются главные, побочные и грузовые коэффициенты канонических уравнений. Особое

23

внимание уделите деформационной проверке правильности решения задачи по методу сил.

Наиболее универсальным методом определения перемещений в стержневой системе является метод Мора, имеющий вид интегральной зависимости, связывающей перемещения и внутренние силовые факторы, возникающие в системе. Отметьте, что вычисление интеграла Мора для прямолинейных стержней можно упростить перемножением эпюр изгибающих моментов способом Верещагина. Изучите, как методом Мора можно рассчитать перемещения в статически неопределимых стержневых системах.

Тема 5. Анализ напряженного и деформированного состояния в точке тела. Сложное сопротивление, расчет по теориям прочности. Расчет по несущей способности.

5.1. Напряженное состояние в точке тела. Тензор напряжений. Закон парности касательных напряжений. Главные напряжения. Виды напряженного состояния. Расчет напряжений на произвольных площадках. Графический метод определения напряжений – круг Мора. Деформированное состояние в точке тела. Тензор деформаций. Главные относительные деформации. Обобщенный закон Гука. Относительная объемная деформация.

Необходимо рассмотреть основные понятия напряженного состояния в произвольной точке нагруженного тела для линейного, плоского и объемного напряженного состояния, установить расчетные зависимости, определяющие величину и направление как главных, так и максимальных напряжений. Освоить графический метод исследования напряжений - метод кругов напряжений Мора. Для изучения деформированного состояния следует получить формулы обобщенного закона Гука, связывающие линейные деформации и нормальные напряжения в общем случае объемного состояния. Из рассмотрения формулы, определяющей относительную

24

объемную деформацию тела, делается вывод о величине коэффициента Пуассона упругого тела.

5.2.Сложное сопротивление. Порядок расчета сложного сопротивления конструкции. Сложный и косой изгиб. Изгиб с растяжением (сжатием). Изгиб с кручением и растяжением – сжатием.

Определение сложного нагружения и порядок его расчета обсуждался ранее (в п.3.1). Особенности перечисленных схем нагружения состоят в том, что в поперечных сечениях стержневых конструкций при этом имеется два и более внутренних силовых параметров. Необходимо выяснить характер напряженного состояния в опасной точке и составить условие прочности. Если в опасной точке имеет место сложное сопротивление, то условие прочности составляется с применением одной из теорий предельного состояния.

5.3.Расчет по теориям прочности: критерий наибольших нормальных напряжений, критерий наибольших линейных деформаций, критерий наибольших касательных напряжений, критерий удельной энергии формоизменения, критерий Мора, современные теории прочности.

Отметьте, что в случае сложного напряженного состояния невозможно опытным путем определить условия перехода материала из упругой стадии в пластическую или стадию разрушения, они могут быть предсказаны на основании теории предельных состояний, основанной на критериальных гипотезах. Такой подход позволяет осуществить полную проверку элементов конструкции, а именно: расчет на прочность по допускаемым напряжениям, расчет на жесткость по допускаемым перемещениям; расчет несущей способности по предельной нагрузке.

5.4.Расчет по несущей способности. Условие выхода конструкции из строя. Метод нижней оценки. Метод верхней оценки.

Метод расчета по несущей способности конструкции заключается в определении такой предельной величины внешней нагрузки, при которой система превращается в пластический механизм. Изучите два применяемых в

25

этом случае метода: метод нижней оценки, по которому из условия равновесия системы определяется предельная статическая нагрузка, и метод верхней оценки, позволяющий определить значение предельной нагрузки из условия равенства работ внешних и внутренних сил при перемещении системы.

Тема 6. Расчет безмоментных оболочек вращения. Устойчивость стержней. Продольно – поперечный изгиб.

6.1.Безмоментная теория оболочек. Напряжения в осесимметричной оболочке. Формула Лапласа. Уравнение равновесия зоны. Расчет толстостенных цилиндров.

Безмоментная теория оболочек предполагает, что в поперечных сечениях оболочек отсутствуют изгибающие моменты, и нормальные напряжения по толщине стенок распределены равномерно. При этом напряженное состояние считается плоским. Для определения двух главных напряжений составляют уравнение равновесия бесконечно малого элемента стенки (уравнение Лапласа) и уравнение равновесия отсеченной части оболочки. Разберитесь, как правильно выделить малый элемент оболочки, чтобы его сечения совпадали с главными площадками. Обратите внимание на тот факт, что при расчете толстостенных цилиндров нормальные окружные и радиальные напряжения в сечениях нельзя считать равномерно распределенными по толщине стенки, и, следовательно, уравнение Лапласа в данном случае применять нельзя. Напряжения и деформации в произвольной точке поперечного сечения толстостенного цилиндра рассчитываются по формулам Ламе.

6.2.Устойчивость сжатых стержней. Определение критической силы

–формула Эйлера. Формула Ясинского. Практические расчеты сжатых стержней на устойчивость. Расчет по коэффициенту понижения основного допускаемого напряжения.

Вопрос потери устойчивости центрально сжатого стержня связан с необходимостью определения критической силы, расчетную формулу

26

которой получил Эйлер. Обратите внимание на то, что решение вопроса о применимости формулы Эйлера связано с величиной критического напряжения, не превосходящего предел пропорциональности (в упругой области), и с характеристикой стержня, называемой гибкостью. В неупругой области Ф.С. Ясинским установлена эмпирическая формула линейной зависимости критического напряжения от гибкости, которая справедлива до гибкости, соответствующей критическому напряжению, равному пределу текучести. Отметьте, что использование формулы Эйлера в области ее неприменимости дает завышенное значение критической, и, следовательно, допускаемой нагрузки. Изучите особенности расчета по коэффициенту понижения основного допускаемого напряжения.

6.3. Продольно – поперечный изгиб. Определение допускаемой нагрузки при продольно – поперечном прогибе.

Отметим, что прогиб называется продольно-поперечным, если в поперечных сечениях балки возникают изгибающие моменты как от продольных, так и от поперечных сил. Обратите внимание, что при расчете полного изгибающего момента в этом случае принцип независимости действия сил неприменим. Кроме того, напряжения при увеличении нагрузки возрастают быстрее, чем сама нагрузка, следовательно, расчет сжатоизогнутых балок следует вести по допускаемой нагрузке.

Тема 7. Расчет движущихся с ускорением элементов конструкций. Удар. Усталость.

7.1. Определение динамических напряжений при расчете движущихся с постоянным ускорением элементов конструкций. Коэффициент динамичности.

Рассмотрите решение проблемы учета сил инерции на трех примерах: равноускоренный подъем подвешенного на тросе груза; равномерное вращение вокруг вертикальной оси горизонтального стержня постоянного сечения; равномерное вращение тонкого кольца. Отметьте, что расчет элементов конструкций, движущихся с заданным ускорением, базируется на

27

известном из теоретической механики принципе Даламбера, а определение динамических напряжений связано с учетом коэффициента динамичности при решении статической задачи.

7.2.Основные допущения приближенной теории удара. Падение жесткого тела на деформируемое. Удар деформируемого тела о жесткую плиту. Поперечный удар. Ударная вязкость материала.

Обратите внимание, что в сопротивлении материалов изучается приближенная теория удара, основанная на законе сохранения энергии. Сформулируйте допущения, при которых может быть осуществлен полный переход кинетической энергии движения в потенциальную энергию деформации тела. Полученные при этом формулы, определяющие коэффициент динамичности, справедливы как для продольного, так и поперечного удара. Изучите новую характеристику материала – ударная вязкость, как она определяется, какие свойства материала оценивает.

7.3.Разрушение от усталости. Основные положения теории усталости. Основные характеристики циклического нагружения. Коэффициент асимметрии цикла. Предел выносливости. Кривая усталости. База испытаний. Оценка прочности конструкций при циклическом нагружении.

Природа усталостного разрушения сложна и обусловлена особенностями молекулярного и кристаллического строения вещества. Нужно отметить, что цикличность напряжений является только необходимым, но недостаточным условием разрушения от усталости. Важно, чтобы напряжения были не ниже определенной величины, называемой пределом выносливости (усталости) и являющейся характеристикой материала. Предел усталости или выносливости определяют опытным путем, при построении кривой усталости. Величина условного предела усталости связана с понятием базы испытаний. Отношение минимальной и максимальной величины напряжения данного цикла нагружения определяет величину параметра, который называется коэффициент асимметрии цикла.

28

Отметьте, что при значении коэффициента асимметрии, равном -1, цикл нагружения является наиболее опасным. Оценку прочности при циклическом нагружении в зависимости от сложности нагружения можно охарактеризовать по соответствующим гипотезам прочности.

Методические рекомендации по самостоятельному изучению теоретических вопросов.

1. Построение эпюр внутренних усилий при изгибе балок и рам.

Изучите способы определения опорных реакций, правила построения эпюр внутренних усилий (изгибающего и крутящего моментов, поперечных

ипродольных сил), дифференциальные зависимости между ними при изгибе балок и рам. Рассмотрите особенности построения эпюр внутренних усилий при изгибе балок и рам.

2.Особенности расчета напряжений, возникающих в сечениях балки при изгибе.

Следует обратить внимание на то, что для сечения, симметричного относительно горизонтальной оси, распределение нормальных напряжений носит линейный характер и нормальные напряжения равны нулю на нейтральной линии и максимальны в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной линии. Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то нейтральная линия смещена относительно середины высоты сечения, и напряжения в крайних волокнах будут разными. От формы поперечного сечения балки зависит и вид эпюры касательных напряжений. Заметим, что при поперечном изгибе балок материал находится в неоднородном плоском напряженном состоянии и условие прочности должно быть записано для точки, где имеется наиболее опасное напряженное состояние.

3.Статически неопределимые стержневые конструкции. Монтажные

итемпературные напряжения.

Рассмотрите, особенности статически неопределимых конструкций: 1)распределение усилий между их элементами зависит от жесткостей этих

29

элементов; 2)под действием температуры в таких конструкциях возникают напряжения и усилия; 3) при монтаже в конструкциях также возникают усилия и напряжения вследствие неточности их изготовления; 4)при проектировании таких конструкций во всех элементах одновременно нельзя получить напряжения, равные допускаемым.

4. Методы упрощения расчета статически неопределимых систем.

Освойте методику расчета статически неопределимых систем с учетом симметрии конструкции; ознакомьтесь со смешанным и комбинированным методами расчета таких конструкций. Применение перечисленных подходов позволяет снизить количество неизвестных параметров и количество уравнений канонической системы.

5. Многопролетные неразрезные балки.

Неразрезными называются балки, лежащие более чем на двух опорах и не имеющие промежуточных шарниров. Расчет таких балок производят с использованием уравнения трех моментов. Изучите приемы составления уравнений трех моментов.

6. Изгиб валов с кручением и растяжением - сжатием.

Примените методику расчета конструкций, испытывающих сложное сопротивление, к анализу прочности вала. Выявить опасное сечение вала при сложном нагружении можно по эпюрам крутящих и изгибающих моментов, с учетом эпюры продольных сил. Оцените прочность вала, применяя один из критериев прочности.

7. Расчет скрепленных цилиндров.

Скрепленные (или составные) цилиндры получают, надев один цилиндр на другой с натягом. Такие конструкции выдерживают большую допускаемую нагрузку (внутреннее давление), чем цельный цилиндр. Проведите анализ распределения напряжений в составном цилиндре, изучите, как определяется величина натяга.

30