Сопротивление материалов курс лекций

Происходит это потому, что в симметричной раме не возникает взаимных кососимметричных перемещений под действием симметричных нагрузок. Точно так же не возникает симметричных перемещений под действием кососимметричных факторов. Сказанное становится очевидным, если для определения перемещений δik применить способ Верещагина. В симметричной раме эпюра изгибающих моментов от симметричных силовых факторов будет симметричной (рис. 13.3, а, б), а от кососимметричных – кососимметричной

(рис. 13.3, в).

Рис. 13.3.

При перемножении симметричной эпюры на кососимметричную, очевидно, получим нуль, в то время как перемножение симметричной эпюры на симметричную и кососимметричной на кососимметричную даёт результат, отличный от нуля.

Итак, вычёркивая из системы уравнений (13.1) коэффициенты, обращающиеся в нуль, получаем:

Как видим, система канонических уравнений упростилась.

181

Если при этом внешняя нагрузка симметрична (эпюра MF будет симметричной), то ∆3F = 0. Тогда из третьего уравнения системы (13.2) получаем, что кососимметричный фактор X3 = 0.

Если нагрузка кососимметричная (эпюра МF будет кососимметричной), то ∆1F = ∆2F = 0. Тогда первые два уравнения системы (13.2) образуют однородную систему:

δ11 X1 +δ12 X2 =0;

δ21 X1 +δ22 X2 =0,

решением которой будет X1 = X2 = 0, т.е. равенство нулю симметричных силовых факторов.

Всё сказанное справедливо как для плоских, так и для пространственных стержневых систем.

Если нагрузка, приложенная к симметричной раме, не обладает ни прямой, ни косой симметрией, например, как показано на рис. 13.4, а, то её удобно разложить на симметричную и кососимметричную (рис. 13.4, б, в). Задача, таким образом, распадается на две отдельные: нахождение силовых факторов в раме с симметричной нагрузкой и раме с кососимметричной нагрузкой. Внутренние силовые факторы в заданной раме определяются в дальнейшем наложением полученных решений.

Рис. 13.4.

182

Лекция 14

ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО И ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ

Напряженное состояние в точке тела

На примере растяжения и сжатия мы выяснили, что напряжения на площадке, проходящей через выбранную для исследования точку, зависят от ориентации этой площадки:

σα = σ cos2α;

τα = σ2 sin2α,

где σ – напряжение в поперечном сечении стержня.

Такой вид нагружения вызывает во всех точках стержня однородное (одинаковое) напряженное состояние. В общем случае напряженное состояние будет различным в разных точках тела, и для оценки прочности конструкции необходимо знать напряжения на всех площадках, проходящих через опасную, т.е. наиболее нагруженную точку. Чтобы исследовать в выбранной точке K напряженное состояние, вырежем в ее окрестности элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz. Ввиду малости параллелепипеда можно считать напряжения во всех его точках, включая точку K, одинаковыми. Иными словами, напряжения на гранях выделенного элемента распределены равномерно и равны напряжениям в точке K на взаимно перпендикулярных площадках.

На каждой из граней элемента полное напряжение можно разложить на три составляющие – одну нормальную и две касательные.

σx, σy, σz – нормальные,

τxy, τyx, τyz, τzy, τxz, τzx – касательные напряжения.

Эти напряжения называют компонентами, или составляющи-

ми, напряженного состояния в точке тела.

183

Нормальные напряжения имеют индекс, показывающий их направление – нормаль к площадке, где они действуют. Первый индекс касательных напряжений указывает нормаль к площадке, второй – направление напряжения. Нормальные напряжения считаются положительными, если они растягивают элемент, т.е. направлены в сторону внешней нормали к его граням. Касательные напряже-

ния положительны, если на площадках, внешние нормали к которым совпадают с направлением осей, они направлены в сторону соответствующей оси. На рис. 14.1 показаны положительные направления компонентов напряженного состояния. Напряжения на невидимых гранях параллелепипеда направлены в противоположную сторону.

Система сил, приложенная к выделенному из тела элементу, должна удовлетворять условиям равновесия. Поскольку на противоположных гранях силы равны по величине и направлены в противоположные стороны, суммы проекций всех сил на оси координат тождественно равны нулю. Из равенств нулю сумм моментов относительно координатных осей следуют попарные равенства:

τxy = τyx; τyz = τzy; τxz = τzx,

которые составляют уже упоминавшийся ранее закон парности ка-

сательных напряжений: составляющие касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру, равны и направлены одновременно либо к ребру, либо от него.

Из девяти компонентов напряженного состояния в точке тела независимыми оказываются только шесть. Если объединить составляющие напряжений в матрицу вида

184

то она окажется симметричной относительно главной диагонали. Величину Тσ называют тензором напряжений, а элементы матрицы, соответственно, компонентами тензора напряжений. Понятие тензора математически является более общим, чем понятие скаляра или вектора. Несмотря на то, что тензор можно изобразить в виде матрицы, он не эквивалентен ей, поскольку при выборе другой системы координат все элементы матрицы изменятся, а напряженное состояние в точке и, следовательно, тензор напряжений останутся теми же.

Напряжения на наклонных площадках

Покажем, что если известны компоненты напряженного состояния в точке на трех взаимно перпендикулярных площадках, то напряженное состояние тем самым полностью определено, т.е. могут быть найдены напряжения на любой другой площадке, проходящей через эту точку.

Выделим в окрестности рассматриваемой точки K элементарный тетраэдр, образованный тремя координатными площадками и произвольно наклоненной к ним площадкой ABC (рис. 14.2). Положение площадки в пространстве зададим направляющими косинусами ее нормали ν, обозначив:

cos(ν, x) =l,

Рис. 14.2.

185

cos(ν, y) = m,

cos(ν, z) = n.

Считая размеры тетраэдра бесконечно малыми, напряжения на его гранях можно считать равными напряжениям в точке K, но действующим на площадках, по-разному ориентированных в пространстве.

Напряжения на координатных площадках будем считать заданными; они изображены пунктиром, поскольку действуют на невидимых гранях элементарного четырехгранника. Полное напряжение pν на наклонной грани разложим на проекции по осям координат Xν, Υν, Ζν. Обозначив площадь наклонной грани dA, найдем площади остальных граней элемента проектированием величины dA на соответствующие координатные плоскости:

AKBC = dAx = dA·l;

AKАС = dAy = dA·m;

AKAB = dAz = dA·n.

Запишем условия равновесия выделенного элемента, приравняв к нулю сумму проекций всех сил на оси координат:

ΣFx = 0, XνdA – σx dA·l – τyxdA·m – τzx dA·n = 0.

Проектируя силы на две другие оси и сокращая на общий множитель dA, получаем выражения для напряжений на наклонной площадке:

Эти формулы позволяют найти напряжения на любой площадке с направляющими косинусами l, m, n по известным компонентам напряженного состояния на трех взаимно перпендикулярных площадках.

186

Главные напряжения. Главные площадки

Полный вектор напряжений pν, действующий на наклонной площадке, можно разложить не только на координатные проекции Χν, Υν, Ζν, как мы поступили ранее, но и на нормальную составляющую σν и касательную τν, действующую в плоскости грани (рис. 14.3).

Рис. 14.3.

При этом очевидны равенства:

При изменении положения наклонной грани элемента меняется соотношение между σν и τν. Возможна ситуация, при которой касательная составляющая τν обращается в нуль, т.е. полное напряжение pν совпадает по направлению с нормалью к площадке. Такие пло-

щадки, на которых нет касательного напряжения, называют глав-

ными площадками. Действующие на них напряжения обозначают σ и называют главными напряжениями. Поскольку главное напряжение является нормальным, его проекции на оси координат можно найти следующим образом:

Χν = σl; Υν = σm; Zν = σn.

Подставляя эти выражения в (14.1), получим:

σn = τxzl + τyzm + σzn

или, перенося все в правую часть,

187

Полученные выражения (14.3) можно рассматривать как однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных направляющих косинусов главных площадок. Чтобы такая система имела ненулевые решения, ее определитель должен быть равен нулю:

Раскрыв определитель по обычным правилам, получим так называемое характеристическое уравнение, представляющее собой кубическое уравнение относительно неизвестных напряжений σ:

Уравнение (14.4) имеет три корня, которые называют главными напряжениями и обозначают в порядке алгебраического убывания σ1, σ2, σ3. Поскольку главные напряжения не могут зависеть от выбранной системы координат, коэффициенты (14.5) характеристического уравнения постоянны и называются инвариантами напряжен-

ного состояния.

Каждому из главных напряжений соответствует своя главная площадка. Примем пока без доказательства тот факт, что главные площадки взаимно перпендикулярны друг другу. Для нахождения

188

положения главных площадок можно воспользоваться системой уравнений для направляющих косинусов (14.3), дополненной известным из тригонометрии условием:

l2 + m2 + n2 = 1.

Подставляя поочередно вместо σ значения найденных главных напряжений σ1, σ2, σ3, будем получать системы алгебраических уравнений для нахождения направляющих косинусов соответствующей главной площадки.

Если выбрать систему координат таким образом, чтобы оси совпадали с нормалями к главным площадкам, то напряженное состояние в точке можно изобразить так, как показано на рис. 14.4.

Такой вид напряженного состояния, при котором все главные напряжения отличны от нуля, называют объемным. Однако возможна ситуация, когда одно или два главных напряжения равны нулю. При изучении растяжения и сжатия мы встретились с напряженным состоянием, при котором от нуля отличалось лишь одно главное напряжение, действующее в поперечном сечении стержня. При растяжении оно было положительным, при сжатии –

отрицательным. Учитывая правило нумерации главных напряжений, это можно представить графически следующим образом (рис. 14.5).

Рис. 14.5.

189

Такое напряженное состояние называют линейным, или одноосным. Случай, при котором от нуля отличны два главных напряжения, назы-

вают плоским напряженным состоя-

нием (сокращенно ПНС), графически его можно представить так, как показано на рис. 14.6.

В инженерных задачах плоское

напряженное состояние встречается Рис. 14.6. довольно часто, поэтому в следующей

лекции рассмотрим его подробнее.

190