Сопротивление материалов курс лекций

Лекция 15

ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Примером конструкции, все точки которой находятся в плоском напряженном состоянии, может служить тонкая пластинка, нагруженная по торцам силами, которые лежат в ее плоскости. Поскольку боковые поверхности пластинки свободны от напряжений, то в силу малости ее толщины можно считать, что и внутри пластинки на площадках, параллельных ее поверхности, напряжения пренебрежимо малы. Подобная ситуация возникает, например, при нагружении валов и балок тонкостенного профиля.

В общем случае, говоря о плоском напряженном состоянии, мы имеем в виду не всю конструкцию, а только рассматриваемую точку ее элемента. Признаком того, что в данной точке напряженное состояние является плоским, служит наличие проходящей через нее площадки, на которой отсутствуют напряжения. Такими точками будут, в частности, точки свободной от нагрузок внешней поверхности тела, которые в большинстве случаев и являются опасными. В связи с этим становится очевидной причина того, что анализу этого вида напряженного состояния уделяется особое внимание.

При изображении элементарного параллелепипеда, находящегося в плоском напряженном со-

стоянии, достаточно показать одну из его ненагруженных граней, совместив ее с плоскостью чертежа (рис. 15.1). Тогда нагруженные грани элемента совместятся с границами показанной площадки. При этом система обозначений для напряжений и правила знаков остаются прежними – изображенные на рис. 15.1 компоненты напряжен-

191

ного состояния положительны. С учетом закона парности касательных напряжений τxy = τyx плоское напряженное состояние (ПНС) описывается тремя независимыми компонентами – σx, σy, τxy.

Напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии

Выделим из элемента, изображенного на рис. 15.1, треугольную призму, мысленно разрезав его наклонным сечением, перпендикулярным плоскости чертежа xOy. Положение наклонной площадки и связанных с ней осей x1, y1 зададим с помощью угла α, который будем считать положительным при повороте осей против часовой стрелки.

Как и для описанного выше общего случая, показанные на рис. 15.2 напряжения можно считать действующими в одной точке, но на различно ориентированных площадках. Напряжения на наклонной площадке найдем из условия равновесия призмы, выразив их через заданные напряжения σx, σy, τxy на гранях, совпадающих с координатными плоскостями. Обозначим площадь наклонной грани dA, тогда площади координатных граней найдутся следующим образом:

dAx= dA cos α, dAy= dA sin α.

Спроектируем действующие на гранях призмы силы на оси x1 и y1:

ΣFx1 = 0 :

192

σx1 dA −σx cosα dAx −σy sin α dAy − τxy sin α dAx − τyx cosα dAy = 0;

∑Fy1 = 0 :

τx1y1 dA +σx sin α dAx −σy cosα dAy − τxy cosα dAx + τyx sin α dAy = 0.

Сократив на общий множитель dA и выполнив элементарные преобразования, получим:

выражениям (15.1) можно придать следующий окончательный вид:

На рис. 15.3 вместе с исходным показан бесконечно малый элемент, ориентированный по осям x1, y1. Напряжения на его гранях, нормальных к оси x1, определяются формулами (15.2). Чтобы найти нормальное напряжение на грани, перпендикулярной к оси y1, необходимо вместо угла α подставить значение α + 90°:

Рис. 15.3.

Касательные напряжения и в повернутой системе координат x1y1 подчиняются закону парности, т.е. τx1y1 = τy1x1 .

Сумма нормальных напряжений, как известно из анализа объемного напряженного состояния, является одним из его инвариантов и должна оставаться постоянной при замене одной системы координат на другую. В этом легко убедиться, сложив нормальные напряжения, определяемые из формул (15.2), (15.3):

σx1 +σy1 = σx +σy = const.

Главные напряжения

Ранее мы установили, что площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными площадками, а напряжения на них – главными напряжениями. При плоском напряженном состоянии положение одной из главных площадок известно заранее – это площадка, на которой нет напряжений, т.е. совмещенная с плоскостью чертежа (см. рис. 15.1). Найдем перпендикулярные

194

ей главные площадки. Для этого положим равным нулю касательное напряжение в (15.1), откуда получим

Угол α0 показывает направление нормали к главной площадке, или

главное направление, поэтому его называют главным углом. По-

скольку тангенс двойного угла является периодической функцией с периодом π/2, то угол α0 + π/2 – тоже главный угол. Таким образом, всего имеется три главных площадки, причем все они взаимно перпендикулярны. Исключение составляет лишь случай, когда главных площадок не три, а бесконечное множество, например при всестороннем сжатии, когда любое выбранное направление является главным, а напряжения одинаковы на всех проходящих через точку площадках.

Для нахождения главных напряжений можно воспользоваться первой из формул (15.2), подставляя вместо угла α последовательно значения α0 и α0 + π/2:

Тригонометрические функции из выражений (15.5) можно исключить, если использовать известное равенство

195

а также учесть формулу (15.4). Тогда получим

Знак плюс в формуле соответствует одному из главных напряжений, минус – другому. После их вычисления можно воспользоваться принятыми обозначениями для главных напряжений σ1, σ2, σ3, учитывая, что σ1 – алгебраически наибольшее, а σ3 – алгебраически наименьшее напряжение. Иными словами, если найденные по выражениям (15.6) оба главных напряжения окажутся положительны, мы получим:

σ1 = σглI ; σ2 = σглII ; σ3 = 0.

Если оба напряжения будут отрицательны, будем иметь:

Наконец, если выражение (15.6) даст значения напряжений с разными знаками, то главные напряжения будут равны:

Наибольшие значения нормальных и касательных напряжений

Если мысленно поворачивать оси x1y1 и связанный с ними элемент (см. рис. 15.3), напряжения на его гранях будут меняться, и при некотором значении угла α нормальное напряжение σx1 достигнет

максимума. Поскольку сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках остается величиной постоянной, то напряжение σy1 будет в этот момент наименьшим.

Чтобы найти это положение площадок, нужно исследовать на экстремум выражение σx1 , рассматривая его как функциюаргумента α:

196

Сравнив выражение в скобках с (15.2), приходим к выводу, что на искомых площадках равны нулю касательные напряжения. Таким образом, нормальные напряжения достигают экстремальных значений именно на главных площадках.

Чтобы найти наибольшее по величине касательное напряжение, примем в качестве исходных главные площадки, совместив оси x и y с главными направлениями. Формулы (15.1), в которых угол α будет теперь отсчитываться от направления σ1, получат вид:

Из последнего выражения следует, что касательные напряжения достигают наибольших значений на площадках, повернутых к главным на 45°, когда sin 2α = ±1. При этом их максимальное значение

Отметим, что формула (15.8) справедлива и в том случае, когда

σ3 = 0.

Графическое представление плоского напряженного состояния. Круги Мора

Формулы (15.7), по которым определяются напряжения на площадке, повернутой на некоторый угол α по отношению к главной, имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Считая для определенности оба главных напряжения положительными, введем следующие обозначения:

197

а = σ1 +2 σ2 , R = σ1 −2 σ2 .

Тогда выражения (15.7) приобретут вполне узнаваемый вид параметрического уравнения окружности в координатах σ и τ:

Индекс «α» в обозначениях подчеркивает, что напряжения находятся на площадке, повернутой к исходной на этот угол. Величина а определяет положение центра окружности на оси σ; радиус окружности равен R. Изображенная на рис. 15.4 круговая диаграмма напряжений по сложившейся традиции называется кругом Мора – по имени предложившего ее известного немецкого ученого Отто Мора (1835–1918 гг.). Направление вертикальной оси выбрано с учетом знака τα в (15.10). Каждому значению угла α соответствует изображающая точка K (σα, τα) на окружности, координаты которой равны напряжениям на повернутой площадке. Взаимно перпендикулярным площадкам, у которых угол поворота отличается на 90˚, соответствуют точки K и K′, лежащие на противоположных концах диаметра.

Рис. 15.4.

198

Здесь учтено, что

τα+90° = −τα,

поскольку формулы (15.2) и (15.7) при изменении угла на 90° дают знак касательного напряжения в повёрнутой системе координат, у которой одна из осей совпадает по направлению с исходной осью, а другая противоположна по направлению (рис. 15.5).

Рис. 15.5.

Если в качестве исходных площадок выступают главные, т.е. известна величина σ1 и σ2, круг Мора легко строится по точкам 1 и 2 (см. рис. 15.4). Луч, проведённый из центра круга под углом 2α к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку, координаты которой равны искомым напряжениям на повёрнутой площадке. Однако удобнее пользоваться так называемым полюсом круга, направляя из него луч под углом α. Из очевидного соотношения между радиусом и диаметром круга, полюс, обозначаемый на чертеже буквой A, будет в данном случае совпадать с точкой 2. В общем случае полюс находится на пересечении нормалей к исходным площадкам. Если исходные площадки не являются главными, круг Мора строится следующим образом: на плоскость σ–τ наносятся изображающие точки K(σx, τxy) и K′(σy, –τxy), соответствующие вертикальной и горизонтальной исходным площадкам. Соединяя точки прямой, в пересечении с осью σ находим центр круга, после чего строится сама круговая диаграмма. Пересечение окружности с горизонтальной осью даст значение главных напряжений, а радиус будет равен наибольшему касательному напряжению. На

199

рис. 15.4 показан круг Мора, построенный по исходным площадкам, не являющимся главными. Полюс A находится на пересечении нормалей к исходным площадкам KA и K′A. Луч AK, проведённый из полюса под углом α к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку K(σα, τα), координаты которой представляют собой напряжения на интересующей нас площадке. Лучи, проведённые из полюса в точки 1 и 2, покажут главные углы α0 и α0+90°. Таким образом, круги Мора являются удобным графическим средством анализа плоского напряжённого состояния.

Пример 15.1. Круги Мора для некоторых простых видов нагружения представлены на рис. 15.6.

Рис. 15.6.

200