Сопротивление материалов курс лекций

Можно воспользоваться обобщенным законом Гука (16.2) и выразить удельную потенциальную энергию деформации через главные напряжения:

В общем случае нагружения выделенный из тела элементарный параллелепипед в процессе деформации меняет как свою форму, так и свой объем. Выделим ту часть удельной потенциальной энергии, которая связана с изменением формы. Для этого представим напряженное состояние в элементе в виде суперпозиции двух состояний, как это показано на рис. 16.3. В первом состоянии (состояние I) на гранях элемента действуют введенные ранее средние напряжения σср , а во втором (состояние II) – напряжения, дополняющие первое

состояние до исходного. Первое напряженное состояние представляет собой всестороннее растяжение либо всестороннее сжатие в зависимости от знака среднего напряжения, т.е. приводит лишь к изменению объема элемента, без искажения его формы.

Рис. 16.3.

Следовательно, второе состояние связано именно с изменением формы элемента и не должно приводить к изменению объема. Чтобы убедиться в этом, вычислим объемную деформацию в состояни-

ях I и II:

211

θII =1−E2µ (σ1 −σср +σ2 −σср +σ3 −σср )=0.

Как видим, относительное изменение объема в первом и в исходном напряженном состоянии совпадают. В состоянии II изменение объема не происходит, значит, вся потенциальная энергия деформации этого состояния идет на изменение формы элемента.

Будем называть удельную потенциальную энергию деформации, накапливаемую в состоянии I, энергией изменения объема uV, а в состоянии II – энергией формоизменения uФ:

u =uV +uФ.

Удельную потенциальную энергию изменения объема легко вычислить, подставив в формулу (16.9) вместо главных напряжений среднее напряжение:

uV = 21E σср2 +σср2 +σср2 −2µ(σср2 +σср2 +σср2 )=

=1−2Е2µ 3σср2 =1−6Е2µ (σ1 +σ2 +σ3 )2 .

Удельную потенциальную энергию формоизменения проще найти как разность удельной потенциальной энергии u и найденного выражения uV:

uФ =u−uV = 21E σ12 +σ22 +σ32 −2µ(σ1σ2 +σ2σ3 +σ3σ1 )− −1−6E2µ (σ1 +σ2 +σ3 )=13+Eµ (σ12 +σ22 +σ32 −σ1σ2 −σ2σ3 −σ3σ1 ).

После несложных преобразований окончательно получаем:

Найденное выражение понадобится нам далее при записи формулировки одной из самых часто применяемых теорий прочности.

212

Лекция 17

ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Одной из главных задач инженерного расчёта является оценка прочности конструкции по известному напряжённому состоянию.

Вслучае простых видов нагружения опасные напряжения, при которых конструкция переходит в предельное состояние, легко находятся экспериментально. Так, если напряжённое состояние в элементе конструкции является одноосным, переход в предельное состояние происходит тогда, когда нормальное напряжение достигает предела текучести в пластичном материале или предела прочности в хрупком. В случае плоского или объёмного напряжённого состояния ситуация существенно усложняется. Очевидный на первый взгляд путь экспериментального исследования прочности образцов при соответствующем нагружении приходится отклонить. Это объясняется как неоправданным усложнением испытательного оборудования, так и необходимостью проведения бесчисленного множества экспериментов, поскольку для каждой новой комбинации нормальных и касательных напряжений испытания пришлось бы проводить заново.

Всвязи с этим представляется интересным найти такой критерий прочности, при достижении которого сложное напряжённое состояние становится предельным. Существуют различные теории о преимущественном влиянии на прочность того или иного фактора, который и принимается в качестве соответствующего критерия прочности. Все они используют понятие равнопрочности, которое можно сформулировать следующим образом: два различных напряжён-

ных состояния считаются равнопрочными (равноопасными), если при пропорциональном увеличении их главных напряжений в одно и то же число раз они одновременно становятся предельными.

Число, на которое умножаются главные напряжения для перехода

впредельное состояние, представляет собой ни что иное, как коэффициент запаса прочности.

213

Предельное значение фактора, определяющего прочность, легко находится на основании стандартных опытов на растяжение и сжатие. Критерий прочности позволяет сопоставить исследуемое сложное напряжённое состояние с простым, например осевым растяжением, и установить эквивалентное (равноопасное) напряжение в растянутом стержне с таким же коэффициентом запаса (рис. 17.1).

Приравняв друг другу выражения выбранного по соответствующей теории критерия прочности для этих напряжённых состояний, можно получить зависимость вида

В качестве опасного напряжения σоп для пластичных материалов берётся предел текучести σт, для хрупких – предел прочности σв.

Рис. 17.1.

В соответствии с методом предельных состояний условие прочности при сложном напряжённом состоянии в общем случае можно сформулировать следующим образом:

Здесь R – расчётное сопротивление материала.

Различные теории прочности приводят к различным выражениям для эквивалентного напряжения. Наличие нескольких теорий не должно вызывать удивления, поскольку каждый из критериев прочности (наибольшее нормальное напряжение, наибольшая линейная деформация, потенциальная энергия деформации и т.д.) лишь отчас-

214

ти отражает весьма сложный процесс наступления предельного состояния и применим только в определённых условиях. Далее мы познакомимся с наиболее простыми, классическими теориями прочности.

I. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)

Преимущественное влияние на прочность по этой теории оказывает величина наибольшего нормального напряжения. Считая эквивалентное напряжение равным наибольшему главному напряжению, условие наступления предельного состояния можно записать в виде

σэ = σ1 = σоп,

где σоп – опасное напряжение, принимаемое равным σт или σв. Условие прочности по методу предельных состояний примет вид

где R – расчётное сопротивление материала. Эта теория не получила экспериментального подтверждения и в настоящее время представляет лишь исторический интерес.

II. Теория наибольших линейных деформаций (вторая теория прочности)

В качестве критерия прочности по этой теории выступает величина наибольшего линейного удлинения ε1. Условие наступления предельного состояния имеет вид

ε1 = Е1 σ1 −µ(σ2 +σ3 ) =εоп ,

где εоп – предельное значение относительного удлинения, которое находится из опыта на растяжение, εоп = σоп / Е. Отсюда следует условие для эквивалентного напряжения, обеспечивающее прочность элемента конструкции:

215

Для плоского напряжённого состояния одно из главных напряжений обратится в нуль, а два оставшихся можно выразить через напряжения на произвольных площадках по формулам (15.6).

Условие прочности при этом записывается следующим образом

Теория наибольших линейных деформаций предполагает, что материал подчиняется закону Гука вплоть до момента разрушения. По этой причине данная теория даёт удовлетворительное совпадение с экспериментом только для очень хрупких материалов, разрушающихся без заметных остаточных деформаций. При этом следует иметь в виду, что условия (17.4) и (17.5) применимы лишь в тех случаях, когда величина σэ оказывается положительной. Таким образом, вторая теория прочности, в отличие от первой, иногда используется и в настоящее время, но лишь для хрупких материалов и в определённых условиях нагружения.

III. Теория наибольших касательных напряжений (критерий пластичности Треска – Сен-Венана)

Многочисленные эксперименты говорят о том, что механизм образования пластичных деформаций тесно связан со сдвигами в материале, а те, в свою очередь, зависят от величины касательных напряжений.

Сен-Венаном в качестве критерия перехода материала в пластическое состояние было предложено использовать величину наибольших касательных напряжений τmax. В случае объёмного напряжённого состояния

τmax =σ1 −σ3 .

2

216

Появление необратимых деформаций происходит при нарушении условия

τmax < τоп,

где τоп – находится из опыта на простое растяжение, в качестве опасного напряжения σоп принимается предел текучести σт, τоп = σоп / 2. Условие прочности по данной теории можно записать в следующем виде:

где R – расчётное сопротивление материала. Для плоского напряжённого состояния условие (17 6) запишется таким образом:

К недостатку теории можно отнести лишь то, что для объёмного напряжённого состояния не учитывается влияние на прочность промежуточного главного напряжения σ2.

По сложившейся в сопротивлении материалов традиции критерий пластичности Треска – Сен-Венана обычно называют третьей теорией прочности.

IV. Энергетическая (четвёртая) теория прочности (критерий пластичности Мизеса)

Данная теория основана на предположении, что напряжённые состояния равноопасны в том случае, если у них совпадает величина удельной потенциальной энергии формоизменения. Для общего случая объёмного напряжённого состояния удельная энергия изменения формы вычисляется по формуле (16.10):

uФ =(16+Eµ) (σ1 −σ2 )2 +(σ2 −σ3 )2 +(σ3 −σ1 )2 .

217

Для линейного напряжённого состояния, возникающего в растягиваемом стержне, получим

uФэ =16+Eµ (2σэ2 ).

Приравняв эти выражения, выразим величину σэ и сформулируем условие прочности по заданной теории:

В случае плоского напряжённого состояния, воспользовавшись

(15.6), получим

Энергетическая теория в принятой в настоящее время формулировке была предложена австрийским математиком и механиком Ричардом фон Мизесом (1883–1953 гг.). Как и третья теория прочности, она по сути устанавливает критерий появления в конструкции необратимых деформаций, причём результаты расчёта по этим теориям довольно близки и хорошо согласуются с экспериментами на образцах из пластичных материалов.

При некоторых частных видах нагружения расчёты по энергетической теории оказываются несколько точнее, чем по третьей теории.

V.Теория прочности Мора (пятая теория прочности)

Втеории прочности, предложенной О. Мором, в отличие от остальных классических теорий не используется предположение о ка- ком-то одном факторе, определяющем прочность. Напряжённое состояние в точке может быть графически представлено на плоскости σ–τ системой кругов Мора, построенных по главным напряжениям σ1, σ2, σ3, как это показано на рис. 17.2.

218

Результаты опытов показывают, что наступление предельного состояния в основном определяется величиной наибольшего σ1 и наименьшего σ3 главных напряжений и в гораздо меньшей степени зависит от напряжения σ2. Поэтому при оценке прочности из трёх кругов можно использовать только наибольший, который называют глав-

ным кругом. Если при этом напряжения σ1 и σ3 таковы, что напряжённое состояние является предельным, соответствующий им главный круг также называют предельным кругом.

Получив на основе испытаний при различных соотношениях между главными напряжениями семейство предельных кругов, можно построить их огибающую, которая называется предельной огибающей. Она представляет собой кривую, пересекающую горизонтальную ось в точке C, соответствующей всестороннему растяжению. Многие материалы при сжатии выдерживают гораздо большие напряжения, чем при растяжении, поэтому диаметры показанных на рис. 17.3 предельных кругов увеличиваются по мере продвижения в область отрицательных нормальных напряжений. Слева предельная огибающая оказывается незамкнутой, поскольку при всестороннем сжатии материал способен выдержать, не разрушаясь, чрезвычайно большие нагрузки.

Если главный круг, соответствующий напряжённому состоянию в опасной точке конструкции, лежит внутри предельной огибающей, то можно считать, что прочность обеспечена. При этом отношение диаметров предельного и найденного главного кругов представляет собой коэффициент запаса прочности. Проблема состоит лишь в том, что построение предельной огибающей для всей области возможных сочетаний напряжений на практике неосуществимо. Поэтому действительную огибающую схематизируют, заме-

219

няя прямыми, касательными к двум предельным кругам, соответствующим осевому растяжению и осевому сжатию, как это показано на рис. 17.4.

Рис. 17.3.

Рис. 17.4.

Здесь σопр , σсоп – опасные напряжения при растяжении и сжатии.

При такой замене для любого напряженного состояния, главный круг которого касается этих прямых (на рис. 17.4 он показан пунктиром), справедлива линейная зависимость

Коэффициенты а и b находятся из граничных условий:

1)при растяжении σ3 =0 , σ1 =σопр ;

2)при сжатии σ1 =0 , σ3 =−σсоп .

Подставляя эти значения в (17.10), получаем:

220