Сопротивление материалов конспект лекций

Лекция 16. БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ ТОНКОСТЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК

16.1. Основные понятия

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вращения, толщина стенки которой весьма мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности.

К таким оболочкам могут быть отнесены цистерны, водонапорные резервуары, воздушные и газовые баллоны, купола зданий, аппараты химического машиностроения, части корпусов ракет и реактивных двигателей.

Радиусы кривизны оболочки указываются до срединной поверхности. Срединная поверхность – это геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки.

Задача о расчете оболочек вращения проще всего решается в том случае, когда возможно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине, и следовательно, изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек, построенная на этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек. Если оболочка не имеет резких переходов и жестких защемлений и, кроме того, не нагружена сосредоточенными силами и моментами, то к ее расчету может применяться безмоментная теория.

16.2. Определение напряжений в симметричных оболочках по безмоментной теории

Если из оболочки выделить элемент двумя парами бесконечно близких меридиональных и нормальных конических сечений, то в нем можно указать действующие по граням напряжения σm и σt. Первое напряжение называют меридиональным. Вектор этого напряжения направлен по дуге меридиана. Второе напряжение σt называют окружным напряжением.

162

Связь этих напряжений, а также внутреннего давления (давление жидкости или газа) с геометрическими параметрами оболочки определяется соотношением, называемым уравнением Лапласа:

где σm – напряжение в меридиональном направлении; σt – напряжение в окружном направлении; р – давление жидкости или газа; ρm – радиус кривизны оболочки в меридиональном направлении; ρt – радиус кривизны оболочки в окружном направлении; δ – толщина оболочки.

Поскольку в уравнении Лапласа две неизвестные величины – σm и σt, в общем случае необходимо получить еще одно уравнение. Второе уравнение, содержащее лишь меридиональное напряжение σm, получим, рассматривая равновесие конечной части резервуара. В данном случае проектируем все силы на ось симметрии:

где Qж – вес жидкости (сыпучего вещества), заключенный в объеме ниже (выше) рассматриваемого сечения; Qр – вес резервуара в объеме ниже (выше) рассматриваемого сечения; R – радиус резервуара.

Третье напряжение – напряжение надавливания между слоями оболочки – предполагается малым, ввиду чего напряженное состояние оболочки считается двухосным. Наибольшее радиальное напряжение по абсолютной величине равно нормальному давлению р, в то время как σm и σt в соответствии с уравнением Лапласа имеют вели-

pρδm или pδρt .

Для решения практических задач по безмоментной теории запишем следствия, вытекающие из двух теорем, которые приводятся без доказательства.

163

Теорема 1. Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то независимо от формы поверхности проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давления р и площади проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную заданной оси.

Теорема 2. Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью.

16.3.Методика расчета на прочность (проектировочный расчет)

1.Для заданной оболочки по соответствующим зависимостям определить меридиональные и окружные напряжения. Построить эпюры напряжений.

2.Меридиональным и окружным напряжениям присвоить индексы главных напряжений, определить опасное сечение по высоте оболочки, применив четвертую теорию прочности.

3.Используя соответствующую теорию прочности, определить из условия прочности допустимую толщину оболочки, которая должна быть увеличена на 1–3 мм для коррозионной среды. Расчетная толщина увеличивается и в связи с тем, что в большинстве случаев стенки резервуаров склепывают или сваривают из отдельных листов. В местах соединений листов (швах) происходит ослабление прочности стенки.

4.Дать оценку веса резервуара по отношению к весу жидкости.

Примеры расчета осесимметричных оболочек

Пример 1

Для тонкостенных цилиндрических сосудов (рис. 16.1, а, б), следует определить необходимую толщину δ, если R = 0,6 м, Н = 20 м,

γрез = 20 кН/м3, γж = 7 кН/м3, [σ] = 20 МПа.

164

Зависимость для напряжения по высоте оболочки имеет линейный характер.

Запишем уравнение равновесия для отсеченной части оболочки, не принимая во внимание вес оболочки, который обычно составляет незначительную величину по отношению к весу жидкости:

σm 2πR δ− pπR2 −Qж = 0, Qж = γπR2 z,

σm 2πR δ−γ(H − z)πR2 −γπR2 z = 0,

σm = γ2HRδ = const.

Эпюры напряжений приведены на рис. 16.3, а;

а б

Рис. 16.3

б) для оболочки на рис. 16.3, б рассмотрим равновесие части оболочки выше сечения n–n (рис. 16.4).

166

опасным сечением является сечение В; б) напряженное состояние линейное. Опасное сечение в точке В.

σ= γHRδ .

3.Определим толщину оболочки по четвертой теории проч-

ности. Вариант а:

167

Принимаем жидкость неагрессивной, коэффициент качества шва – равным 0,8. Тогда для варианта а: δ = 3,60,8 = 4,5 мм, для вари-

анта б: δ = 4,20,8 =5,25 мм.

4. Дадим оценку отношения веса резервуара к весу жидкости для оболочки для варианта а (см. рис. 16.1, а):

Вес резервуара от веса жидкости составляет 7,3 %, следовательно, весом резервуара в уравнении равновесия можно пренебречь.

Пример 2

Определить толщину оболочки (рис. 16.5), заполненной агрессивной жидкостью, R = 5 м, Н = 5 м, γж = 9 кН/м3, γр = 20,5 кН/м3, [σ] = 20 МПа. При расчете применить четвертую теорию прочности.

1. Определить меридиональные и окружные напряжения.

Для заданной оболочки рассматриваем два участка – конусную часть и цилиндрическую. Проведем сечение на конусной части, отбросив верхнюю (рис. 16.6).

168

Зависимость для напряжения σt в соответствии с последней формулой параболическая. В связи с этим проверяем σt на экстремальное значение:

169

Расчет цилиндрической части обо-

Нлочки (рис. 16.7). Поскольку на этом

Для определения меридионального напряжения запишем уравнение равновесия для отсеченной части:

σm 2πRδ− pπR2 −Qж =0,

где

тогда

σm =1130γRHδ = 82 δ500 Па =const.

Построим эпюры напряжений (рис. 16.8).

2. Наиболее напряженными точками могут быть точки А или В.

170