Сопротивление материалов конспект лекций
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Продолжение табл. П.14 |
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Схема балки |
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Значение реакций |
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Уравнение изгибающих |
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п/п |
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поперечных сил |
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моментов |
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RA = − M |
, RB |
= M , |
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0 ≤ z ≤ a, M (z) = − M z, |
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l |
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l |
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l |
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0 |
≤ z ≤ a, Q(z) = − M |
, |
0 ≤ z ≤ l, |
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l |
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M (z) = |
M (l − z) |
, |
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M |
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l |
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0 ≤ z ≤ l, Q(z) = − l |
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a < |
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l |
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Mmax |
= M |
(l −a), |
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l |
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a > |
l |
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Mmax |
= −M a |
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l |
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RA = RB = F, |
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0 ≤ z ≤ a, M (z) = Fz, |
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0 ≤ z ≤ 0, Q(z) = F, |
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0 ≤ z ≤ l −a, M (z) = Fa, |
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a ≤ z ≤ l −a, |
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l −a ≤ z ≤ l, |
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Q(z) = 0, |
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M (z) = F (l −a), |
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l −a ≤ z ≤ l, |
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a ≤ z ≤ l −a, |
Mmax = Fa |
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Q(z) = −F |
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RA = |
−(M1 + M2 ) |
, |
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0 ≤ z ≤ l, |
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M1 + M2 |
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l |
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M (z) = M1 − |
z, |
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= M1 + M2 |
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l |
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R |
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, |
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B |
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l |
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M1 > M2 |
, |
Mmax = M1, |
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0 ≤ z ≤ l, |
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M1 < M2 |
, |
Mmax = −M2 |
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Q(z) = − M1 + M2 |
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Продолжение табл. П.14
№ |
Схема балки |
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Значение реакций |
Уравнение изгибающих |
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п/п |
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поперечных сил |
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моментов |
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RA |
= − M1 + M2 |
, |
0 ≤ z ≤ a, |
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l |
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M (z) = − M1 + M2 |
z, |
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R |
= |
M1 + M2 |
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a ≤ z ≤ l −a, |
l |
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B |
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l |
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0 ≤ z ≤ l, |
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M (z) = − |
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M1 |
+ M2 |
z + M1 |
, |
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Q(z) = − M1 + M2 |
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l |
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a +b ≤ z ≤ l, |
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l |
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M (z) = |
M1 + M2 |
(l − z) |
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l |
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RA |
= − |
M1 −M2 |
, |
0 ≤ z ≤ l, |
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− M1 −M2 |
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l |
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M (z) = M1 |
z, |
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при M1 > M2 , |
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если |
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l |
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R |
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= M1 −M2 , |
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B |
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l |
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M1 > M2 |
, |
Mmax = M1, |
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0 ≤ z ≤ l, |
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M1 < M2 |
, |
Mmax = M2 |
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Q(z) = − M1 −M2 |
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l |
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R |
A |
= R = ql |
, |
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0 ≤ z ≤ l, |
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B |
2 |
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qz(l − z) |
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0 ≤ z ≤ l, |
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M (z) = |
, |
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2 |
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Q(z) = ql 1 |
− |
z |
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Mmax = ql2 |
при z = |
l |
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l |
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№ |
Схема балки |
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Значение реакций |
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Уравнение изгибающих |
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п/п |
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поперечных сил |
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моментов |
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RA |
= |
qa |
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a |
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0 ≤ z ≤ a, |
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l |
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l − |
2 |
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, |
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M (z) = qz |
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a(2l −a) −lz , |
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RB |
= qa |
2 |
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, 0 ≤ z ≤ a, |
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2l |
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0 ≤ z ≤ l, |
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2l |
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qa2 (l − z) |
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Q(z) = |
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M (z) = |
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, |
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q |
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2l |
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= |
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a |
(2l −a) −2lz , |
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2 |
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qa |
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a |
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2l |
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Mmax |
= |
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− |
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8 |
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2 |
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l |
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0 ≤ z ≤ l, Q(z) |
= − qa |
2 |
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a |
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a |
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2l |
при z0 |
= |
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2 − |
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|||||||||||||||||
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l |
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l |
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|||||||||||||
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R |
A |
= ql |
, |
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R = ql , |
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0 ≤ z ≤ l, |
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6 |
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B |
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3 |
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2 |
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z |
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3 |
, |
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||||||||||
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0 ≤ z ≤ l, |
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M (z) = ql |
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− |
z |
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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ql |
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z2 |
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6 |
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l |
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|
l |
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Q(z) = |
−3 |
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ql |
2 |
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l |
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|||||||||||||||||||||||
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1 |
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||||||||||||||||||
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2 |
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6 |
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l |
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Mmax = |
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3 при z0 = |
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9 |
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3 |
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23 |
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RA = RB = |
1 ql, |
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0 ≤ z ≤ |
l |
|
, |
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||||||||||||||||||||||
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4 |
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2 |
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0 ≤ z ≤ |
l |
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qlz |
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4 z2 |
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M (z) = |
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1− |
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, |
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2 |
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4 |
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3 l |
2 |
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1− |
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2 |
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, |
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Q(z) = ql |
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z |
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l |
≤ z ≤ l, |
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4 |
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l |
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l |
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≤ z ≤ l, |
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M (z) = |
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2 |
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4 |
(l |
− z |
2 |
) |
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Q(z) = |
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= ql (l − z) 1− |
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, |
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3l2 |
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ql |
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4(l |
− z)2 |
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4 |
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= − |
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ql |
2 |
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l |
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4 |
1− |
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l |
2 |
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Mmax = |
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при z = |
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12 |
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2 |
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203
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Продолжение табл. П.14 |
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№ |
Схема балки |
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Значение реакций |
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Уравнение изгибающих |
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п/п |
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поперечных сил |
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моментов |
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24 |
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R |
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= ql |
|
, |
|
R |
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= ql , |
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0 ≤ z ≤ |
l |
, |
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A |
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12 |
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B |
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4 |
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2 |
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0 |
≤ z ≤ |
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l |
, |
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M (z) = |
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ql2 |
z |
− |
z4 |
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, |
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2 |
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12 |
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l |
4 |
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z3 |
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l |
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||||||||||||||||||||
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ql |
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Mmax = 0,039 4ql |
2 |
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Q(z) = |
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1−4 |
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12 |
l |
3 |
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при z0 = 0,63l |
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25 |
|
R |
A |
= ql |
|
, |
|
R |
|
|
= ql |
|
|
|
|
|
0 ≤ z ≤ l, |
|
|
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||||||||||||||||
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3 |
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|
|
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B |
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3 |
|
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ql2 z |
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z3 |
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z4 |
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M (z) = |
−2 |
+ |
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0 ≤ z ≤ l, |
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, |
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|
3 |
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l |
3 |
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|
|
l |
4 |
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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l |
|
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Q(z) = |
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Mmax |
= |
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5 |
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ql2 |
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при z0 |
= |
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l |
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ql |
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z2 |
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z3 |
|
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|
|
= |
−6 |
|
+4 |
|
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48 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||
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1 |
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|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||
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3 |
|
l |
2 |
|
l |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||
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|||
26 |
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RA = ql |
|
− |
∆M , |
|
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0 ≤ z ≤ l, |
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|
|
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|
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|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (z) = |
|
ql2 z |
− |
− |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= ql |
|
+ ∆M , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
l2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
B |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
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где ∆M = M2 −M1, |
|
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− ∆M |
|
−M1, |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 ≤ z ≤ l, |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
ql2 |
|
|
|
|
|
(∆M )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Q(z) = |
|
|
|
|
|
z |
|
|
∆M |
|
|
Mmax = |
8 |
|
+ |
|
2ql2 |
|
|
|
− |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
ql |
−2 |
|
− |
|
|
|
M2 + M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
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2 |
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при z0 = |
l |
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∆M |
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ql |
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2 |
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27 |
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RA = − M |
, RB = |
M |
, |
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0 ≤ z ≤ l, M (z) = −M |
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z |
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, |
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l |
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l |
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l |
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0 ≤ z ≤ l, Q(z) = − M |
, |
b ≤ z ≤ l +a, M (z) = −M , |
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l |
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Mmax = −M |
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l ≤ z ≤ l +a, Q(z) = 0 |
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при l ≤ z ≤ l +a |
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204
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Продолжение табл. П.14 |
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№ |
Схема балки |
Значение реакций |
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Уравнение изгибающих |
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п/п |
поперечных сил |
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моментов |
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28 |
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RA = F a |
, |
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0 ≤ z ≤ l, M (z) = −F a z, |
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l |
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l |
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RB = F 1+ a |
, |
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l ≤ z ≤ l +a, |
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l |
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|
M (z) = −F(l +a − z), |
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|
0 ≤ z ≤ l, |
Q(z) = −F |
a |
, |
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Mmax = −Fa |
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l |
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при z0 ≤ l |
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|
l ≤ z ≤ l +a, Q(z) = F |
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29 |
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RA = q |
(l |
2 −a2 ) |
|
, |
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0 ≤ z ≤ l, |
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M (z) = |
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2l |
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RB = q |
(l |
2 −a2 ) |
|
+qa, |
|
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= |
ql2 |
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− |
a2 z |
− |
z2 |
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1 |
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, |
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2l |
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2 |
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l |
2 |
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l |
l |
2 |
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|||||||||||||||||||
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|
0 ≤ z ≤ l, |
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||||
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|
l ≤ z ≤ l +a, |
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ql |
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a2 |
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z |
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|||||||||||||||
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1 |
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||||||||||||
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|
Q(z) = |
|
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1− |
|
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−2 |
|
|
, |
|
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|
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|
|
|
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|
2 |
|
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|||||
|
|
2 |
l2 |
l |
M (z) = −2 q(l +a − z) , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
l ≤ z ≤ l +a, |
|
|
|
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|
Mmax = |
q(l2 −a2 )2 |
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Q(z) = q(l +a − z) |
|
|
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8l2 |
|
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|
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при z0 ≤ |
|
l |
|
|
− |
a2 |
|
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||||||||
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|
|
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|
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1 |
|
|
2 |
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|
|
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|
|
|
|
|
|||||||
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|
|
|
|
|
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|
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|
2 |
|
|
l |
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|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
||||
30 |
|
RA = −qa |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ z ≤ l, M (z) = − qa |
2 |
|
z |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
, |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
, |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
l ≤ z ≤ l +a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
RB = qa |
|
1+ |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(l +a − z) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2l |
|
|
|
a |
|
|
|
M (z) = − |
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 ≤ z ≤ l, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Q(z) = − qa2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
Mmax = − qa2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
|
|
|
|
|
при z0 = l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
l ≤ z ≤ l +a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Q(z) = q(l +a − z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
205
Окончание табл. П.14
№ |
Схема балки |
|
Значение реакций |
|
|||||
п/п |
|
|
поперечных сил |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
31 |
|
RA = RB = F, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
0 ≤ z ≤ a, Q(z) = −F, |
|||||||
|
|
a ≤ z ≤ a +l, Q(z) = 0, |
|||||||
|
|
a +l ≤ z ≤ l +2a, |
|
||||||
|
|
Q(z) = F |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
RA = F 1+ a |
|
, |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
R |
|
= −F a |
, |
|
|
|
|
|
|
B |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≤ z ≤ a, Q(z) = −F, |
|||||||
|
|
a ≤ z ≤ l, Q(z) |
= F a |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
M B = |
Fa c |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение изгибающих моментов
0 ≤ z ≤ a, M (z) = −Fz,
a ≤ z ≤ a +l, M (z) = −Fa, l +a ≤ z ≤ l +2a,
= −F(l +2a − z), = −Fa
при a ≤ z0 ≤ l +a
0 ≤ z ≤ a,
M (z) = −Fz, a ≤ z ≤ l,
M (z) = −Fa 1− z −b a ,
если c > b, z0 = l,
Mmax = F acb ,
если c < b, z0 = a,
Mmax = −Fa
206
Таблица П.15
Уравнения упругой линии, максимальных прогибов и углов поворотов в различных сечениях консольных и двухопорных балок
|
|
Уравнение упругой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
№ |
Схема балки |
|
линии балки v(z) |
Угол поворота θ |
|
|
|
||||||||||||||||||
п/п |
|
и максимальный |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
прогиб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
0 ≤ z ≤ a, |
|
|
|
|
0 ≤ z ≤ a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
ν(z) = − |
Fz2 |
(3a − z), |
θ(z) = − |
Fz |
|
(2a − z), |
|
|
|
||||||||||||||
|
6EJ |
2EJ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
v(z) = − |
Fz |
2 |
|
× |
0 ≤ z ≤ l, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6EJ |
θ(z) = − |
|
|
F |
|
× |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
× |
3az2 − z3 +(z −a)3 |
2EJ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+(z −a) |
2 |
|
, |
|
|
|||||||||
|
|
при a ≤ z ≤ l, |
× 2az − z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Fa2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
vmax = − |
× |
|
θ = − 2EJ |
|
при z = a |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
EJ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и z = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
× |
3al2 −l3 +(l −a)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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при z = l |
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||
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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||||
2 |
|
v(z) = − |
qz2 |
|
× |
θ(z) = − |
|
qz ( |
3l |
2 |
−3lz + z |
2 ) |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
24EJ |
|
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||||||||||||||||||||
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|
×(6l2 −4lz + z2 ) |
0 ≤ z ≤ l, |
|
|
|
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|||||||||||
|
|
при 0 ≤ z ≤ l, |
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ql3 |
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θ = −6EJ |
при z = l |
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ql4 |
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vmax = − |
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при z = l |
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||||
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8EJ |
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||||||
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|||
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3 |
|
0 ≤ z ≤ l, |
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|
θ(z) = − |
Fz |
|
(2l − z), |
|
|
|
||||||||||||
|
|
v(z) = − |
Fz2 |
(3l − z), |
2EJ |
|
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||||||||||||
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|
0 ≤ z ≤ l, |
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|||||||||||
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|
6EJ |
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vmax = − |
Fl3 |
|
при z = l |
θ = − |
Fl2 |
|
при z = l |
|
|
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||||||||||||
|
|
3EJ |
2EJ |
|
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207
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Продолжение табл. П.15 |
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Уравнение упругой |
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№ |
Схема балки |
линии балки v(z) |
Угол поворота θ |
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п/п |
и максимальный |
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|
прогиб |
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4 |
|
v(z) = − Mz2 |
|
, 0 ≤ z ≤ l, |
θ(z) = − Mz , 0 |
≤ z ≤ l, |
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|
|
|
|
|
|
2EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
Ml |
EJ |
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|
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||||||
|
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|
= − Ml |
2 |
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|
|
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vmax |
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|
при z = l |
θ = − EJ |
|
|
при z = l |
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|||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
2EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||
5 |
|
v(z) |
= − |
|
1 |
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
θ(z) |
= − |
|
|
1 |
× |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 ≤ z ≤ l − |
(a +b) |
|
− |
0 |
≤ z ≤ l −(a +b) |
|
− |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
× |
(M |
|
|
|
+ M |
|
) z |
2 |
|
|
|
× |
(M |
|
|
+ M |
|
) z |
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l −(a +b) ≤ z ≤ l −a |
|
l −(a +b) ≤ z ≤ l −a |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
−M2 (z −l +a +b)2 |
|
−M2 (z −l +a +b) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
l −a ≤ z ≤ l |
|
|
|
|
|
|
l +a ≤ z ≤ l |
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
−M1 |
z −(l |
−a) |
2 |
, |
|
−M1 |
z − |
(l +a) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ = − |
|
|
(M1 + M2 )l − |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
vmax |
= − |
2EJ |
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−M2 (a +b) −M1a] |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
× (M1 + M2 )l |
|
|
|
|
|
при z = l |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
−M2 (a +b) |
2 |
−M1a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
при z = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|