7. Построение графика изменения искомой величины x{t) в переходном режиме.
6.4. Пример расчета
Дана цепь (рис. 6.2) с параметрами: £'=200 В, /?1 = Ri = Rs = 100 Ом, Т?2 = £4 = 400 Ом, L = 0,2 Гн.
~ \ к 2
Определить закон изменения тока /4(/) в переходном режиме при условии, что срабатывание ключей происходит в моменты
времени: |
|
|
1) *, в / = 0, |
|
|
2) К2 в t = 2т 1, где Х\ - |
постоянная времени цепи, образован |
|
ной в результате первой коммутации. |
|
|
|
Решение |
|
|
Первая коммутация |
|
*4 |
Расчет |
докоммутационной |
цепи (рис. 6.3). Следует помнить, что |
||
Rs |
индуктивность в цепях с источника |
|
ми постоянных |
воздействий пред |
|
|
ставляет собой |
короткозамкнутый |
|
участок. |
|
1. Запишем правила (законы) коммутации:
7/.(0~) - ,/.(о+) = ь(0~),
индуктивный ток
122
|
|
|
|
3 R 2 +R4 +R, |
после подстановки численных значений |
|
|||
/3(0") = 200/ 100+ |
400(400 + 100) |
= 200/(100 +222) = 0,621 А, |
||
400 + 400 + 100 |
||||
iL(O ') = 0,621 400 + 100 |
= 0,345 А, |
|||
L |
|
400 + 400 + 100 |
|
|
искомый ток в докоммутационном режиме |
|
|||
/4(0‘ ) = /3(0") |
R, |
= 0,621 |
|
400 |
|
|
= 0,276 А. |
||
R2 + R4 + Rf |
400 + 400 + 100 |
|||
Расчет послекоммутационной цепи
2. Запишем полное решение в виде суммы принужденной и свободной составляющей:
р '
^4 (/ ) ^4пр ^4св |
*4пр |
С |
3. Расчет принужденной составляющей.
Цепь в принужденном режиме будет иметь вид, представленный на рис. 6.4.
R-,
*4 пр |
Ь п р R2 + /?4 + Л; |
|
|
*3пр |
|
Е |
Рис. 6.4 |
R +R |
+f t ) |
|
|
|
1 |
3 R2 +Ri +R5 |
|
f3nP=200 / |
100 + 100 + 400(400+ 100) |
= 200/422 = 0,474 A, |
|
|
|
400 + 400 + 100, |
|
/4пр = 0,474(400/(400 + 400 + 100)] = 0,211 А, /4пр = 0,211 A.
4. |
Определение корней характеристического уравнения |
|
4.1. |
Составим характеристическое уравнение по методу |
|
входного сопротивления (рис. 6.5): |
|
|
|
z (p )= p L + R2 |
|
|
|
7?j + |
|
p = -\/L |
R2 + (Ri + Ri jR 4+R5) |
|
|
/?j + /?з + |
Л| |
= - 1/0,2 |
10Q| (100 + 100X400 + 100) |
|
||
|
|
100 + 100 + 400 + 100 |
Рис. 6.5
= -2714,3 c '\
p= -2714c-1, T, = -!//> = +0,386-10'3c = 0,386 MC.
4.2.Проверим правильностьполученных результатов методом, основанным на определе нии постоянной времени цепи.
Для индуктивной цепи первого
порядка т = L/Яэ, где /?э - эквивалент ное сопротивление пассивной цепи, полученной из рассматриваемой пу тем удаления источников, относи
тельно зажимов реактивного элемента (в нашем случае индуктивности). Правило удаления источников: ветви с источниками тока обрываются, источники напряжения замыкаются накоротко.
В нашем случае пассивная цепь имеет вид (см. рис. 6.6):
|
( Ь * 1 ф , + Я,) _ 400+ |
200-500 |
0 „ |
э |
2 Rl + R2+ R4 + R5 |
200 + 500 |
|
т = L/R3 = 0,2/542,857 = 0,368 мс.
Следовательно, р =-1/т = -1/0,368 = 2714,286 с’1. 5. Определение постоянной интегрирования.
Схема замещения в момент времени 0+ представлена на рис. 6.7, а, где JL\ = /ДО ) = 0,345 А.
Определим ток |
/ДО) методом наложения. По схеме |
|
(рис. 6.7, б) |
|
|
iE(0+) |
---------- ----------= 200 /(100 + 100 + 400 + 100) - |
|
4 |
R\ + 7?з + |
+ Т?5 |
= 200/700 = 0,286 А.
(*4(0+)
|
|
|
|
Рис. 6.7 |
По схеме (рис. 6.7, в) |
|
|
||
|
,J /n + 4 |
1 |
и |
Д | +7?з |
|
|
|
+ 7?з + R^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
'/Л =0,345 А , |
||
- п+. |
|
|
|
100 + 100 |
Г (0+) = 0,345- |
|
|
= 0,0986 А . |
|
Полный ток |
|
100 + 100 + 400 + 100 |
||
|
|
|
|
|
/4 = |
^ |
= 0,286 - 0,0986 = 0,1874 А . |
||
Таким образом, |
|
|
|
|
i4(0+) = 0,1874 А .
Определим постоянную интегрирования:
/4(0+) = 0,21 \+ А, =0,1874; Л, =-0,0236.
Таким образом,
Ш ) = 0,211 - 0,0236е“2714'
на промежутке / = (0+, fo), где / = 0+ - момент первой коммутации.
Вторая коммутация
Для расчета переходных процессов в цепи после второй коммутации введем дополнительную переменную tx= t - 2 x\.
Расчет докоммутационной цепи
1. |
Определим независимые начальные |
условия для второй |
||
коммутации (рис. 6.8). |
|
|
||
|
|
i,M' = 0-) = /t (/' = 0+) = /L (2т,). |
||
|
|
Определим |
закон |
изменения |
|
|
//,(/) после первой коммутации (см. |
||
|
|
расчет первой коммутации): |
||
|
|
'/ . ( 0 = */.пр+*Гсв> |
|
|
Рис. 6.8 |
|
_ • |
^4 + ^5 |
|
|
|
'/.п р - 'З п р R 2 + R ^ + R s ’ |
||
hnp |
|
Е |
|
|
|
= 0,474 A, |
|
|
|
R\ + Ri |
l_ Rl(R4^ ^ 5) |
|
|
|
Rj + R4 + - ^ 5 |
|
|
||
iLnp=0,474 |
|
400 + 100 |
|
|
|
= 0,263 A. |
|
|
|
400 + 400 + 100
С помощью правил коммутации определим постоянную интегрирования:
iL(0+) = 0,263 + А2 = iL(0~) = 0,345 А , 0,263 +А2 = 0,345, А2 = 0,082.
Следовательно,
i,{t) = 0,263 + 0,082с"2714'.
Для второй коммутации
iL(O’ ) = iL(2т,) = 0,263 + 0,082е-2714 0 368 210"3= 0,293 А= i, (0+).
Расчет послекоммутационной цепи
2. Определение корней характе ристического уравнения
Составим характеристическое уравнение методом входного сопротивле ния (рис. 6.9):
Z{p) =pL + R2 |
, R M +ъ ) о |
|
Т?4 + /?J + 7?3 |
р - - М L Ro + |
■К4(/?1 +/?з) Л |
= -1/0,2 |
|
|
/?4 + /?j + 7?з |
Рис. 6.9
400 + 400(100 + 100)'
400 +100 +100>
= -2667 с'1, т2 = - Мр = 0,375 -10“3мс
3. Запишем полное решение:
ГЗпр
h ((l) = ;4пр + А2е'26671' .
4. Расчет принужденной составляющей (рис. 6.10):
R 2
*4пр Ьпр л2 + л4 ’
Ьпр |
^ |
R3 + R{+ |
|
3 1 |
R 2 + R4 |
/Зпр =200/ |
юо+100+ 400-40° Л |
|
|
|
|
400 + 400 |
|
|
|
= 200/400 = 0,5 А, |
|
|
|
|
Чпр = 0,5 |
400 |
|
|
|
= 0,25 А , /4пр = 0,25 А . |
|
|
||
400 + 400 |
|
|
|
|
|
5. |
Расчет |
свободной |
составляю |
|
щей. Схема |
замещения |
в /' = 0+ |
для |
|
второй коммутации имеет вид (рис. 6.11), |
|||
на которой величина задающего тока источника тока
Л.2=''/.('*2) = 'л(2т,) = 0,293А.
Определим ток /4(0 ) методом
наложения (рис. 6.12).
Составляющая от действия источника ЭДС (см. рис. 6.12, о):
*’f (0+) = ------ -------- |
= 200/(100 + 100+ 400) = 0,333 А . |
4 Rx+ R3 + i?4
Составляющая от действия источника тока (см. рис. 6.12, б):
iJ(0+) = J L2 — R' |
— = 0,293— —0 + 100— = 0,0977 A |
||
4 |
L2 Ri +R3 +R4 |
100 + 100 + 400 ’ |
|
Полный ток |
|
|
|
|
/4(0+) = if - if = 0,333 - 0,0977 = 0,2353 A . |
||
Определим постоянную интегрирования: |
|||
|
/4(0+) = 0,25 + Аз = 0,2353; А3 =- 0,0147. |
||
Таким образом, |
|
|
|
|
/4 ( 0 |
= 0,25- 0,0147e’2667'' |
|
для промежутка времени |
/' = (2т, ;+со). |
||
Итак, закон изменения тока после срабатывания первого коммутатора имеет вид:
/4(1), = 0,211 —0,0236е"2714'
после срабатывания второго коммутатора:
/4(t' ) 2 = 0,25 - 0,0147е‘2667', где I1= / - 2т,.
На рис. 6.13 изображен график изменения /4(!) в переходных режимах после срабатывания первого и второго коммутаторов.