- •В.П. Первадчук, Е.М. Кадырова, В.Ю. Соколов
- •УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
- •Глава 1. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ
- •1.2. Классификация квазилинейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными
- •1.3. Приведение уравнений к каноническому виду
- •1.4. Упрощение уравнения в каноническом виде
- •2.1. Нахождение общего решения
- •{мдydy = jo dy,
- •3.1. Распространение волн в бесконечной струне. Задача Коши
- •Рекомендуем решить:
- •3.2. Полуограниченная прямая. Метод ограничений
- •4.1. Принцип суперпозиции
- •7.2. Метод Фурье для уравнений гиперболического типа. Неоднородные задачи
- •7.3. Метод Фурье для уравнений параболического типа
- •7.5. Понятие функций Бесселя
- •(xVXf
- •7.6. Метод Фурье для многомерных задач
- •УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
|
a„= -t-j------ 2Т ~ |
|
cos//„x + Asin//„x)fc = |
|
l\h +Mn ]+ h о |
|
|
|
-f—------^ — |
sin /лп1+ — (-cos finl) |
|
|
l\h + ц п J+ h L |
Mn |
|
Из определения корней уравнения тулп1 = h |
|||
|
|
|
Мп |
|
|
|
h |
|
------ Г П 7 |
sin /лп1+ — (l-cos //„/) |
|
|
п=1^\А + /лп |
J+ h |
Мп |
|
х cos p nat(jun cos //их + A sin //Mx), |
||
где |
- положительные корни уравнения, /л tg /л1 = h , |
||
7.2. Метод Фурье для уравнений гиперболического типа. Неоднородные задачи
Рассмотрим сначала задачу с однородными граничными условиями, но с неоднородным уравнением.
Схема решения:
L линейный дифференциальный |
оператор, допускающий разделение |
переменной, Ц и Z,2 - операторы, возникающие в процессе разделения |
|
переменных. |
|
Lu = f(x,t), |
О 0, О <х<1, |
'Р 1иа(аих +0и)хяО=О,
' |
s (w x + 8u\x=l = О, |
4 |
=0= ^W> M/ U = ^ W - |
I этап. м(х,?)=Л,(х)7’(^) |
подставляем в уравнение Lu= 0, ставим задачу |
Штурма - Лиувилля. |
|
LxX = 0, аГ(о)+ ДГ(о) = 0, 7?Г(/) + <ЙГ(/)=*0.
II этап. Решаем задачу Штурма - Лиувилля - находим собственные значения Хп и собственные функции Хп(х).
III этап. Решаем задачу Коши
|
W / \ |
L2Tn = ( f . X n ) *6 |
|
!!Л'„||2 |
и=1,2,... |
|
|
г»(°) = Т 11 Г |
= а "’ П(0) = ^ ' ^ = Л . |
З Д |
il*„! |
IV этап. Вьшисываем решение задачи м(л:,/)= Y.Tn(t)Xn(x).
/1=1
В случае неоднородности граничных условий, т.е. Р\и = /u(t), Р2и = v(t), на основании принципа суперпозиции исходная задача сводится к однородной задаче для новой функции v = u - w , где w удовлетворяет неоднородным граничным условиям.
Задача 7.5. Решить задачу о вынужденных колебаниях стержня.
utl = а |
+Asint, t> 0, 0 <х<1, |
“ U = °* |
их\ х=1= ®' |
4=0 = °> |
М4=0 = 0 - |
Решение будем искать в виде u(x,t)=x(x)T(t). Для нахождения Х{х) решим задачу Штурма - Лиувилля.
р Г + аА Х ), «Х(0)=0,
Х'{1) = 0,
X = С\ cos yfax + С2sin Tax,
х(о)= с,= о,
X'(f) —С2 yfcc cos-Jccl —0,
тогда
cos -Jal = 0,
yfel = -{2 k + \\ k= 0,1,2..
2
.2
a - ~ —(2Л+ 1)2 ’ 4/T
Х „ = Sin^(2* + lK |
« , = |
(2t + 1)2 |
|
Поставим задачу для Г. Для этого найдем |
|
||
\X nf = Jsin2 j-(2 k +1)xdx = \ |
j 1 " cos^(2A: + \)x dx = , |
||
|
|
0L |
|
|
2 'j |
£ ^ t + l) |
|
2/ |
/ 0J |
21 |
|
lc . |
к(2к + \) . |
|
-21 |
n(2k + \) |
1 |
||
I g |
i |
- --- 1V/7V — ----- |
- ---ПС\C |
i- -- -- |
|||
sin —--------xdx |
= |
-------гcos —-------- x |
|||||
0 |
|
21 |
|
TC{2k+ \) |
21 |
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T" + а2л 2(2к +\)2 T = |
4A |
sin t, |
|
||||
|
|
4V |
|
|
л(2к + 1) |
|
|
r(o)=r(o)=o.
21
;r(2ft + l)’
|
|
|
. |
а2я 2 {2k + 1)2 |
Т = О |
|
Решение однородного уравнения T" + |
|
4V |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Гп(,)=А„ |
|
4/ |
+ Вп sin£ ffi* ± ])f |
|||
п\> |
г, |
п |
4/ |
|
||
Частное решение неоднородного уравнения |
|
|
||||
|
|
|
Тп (0 = Dn sin /, |
|
||
- D n sinM- |
а2л 2(2& + l)2 |
|
4А |
sin i, |
||
|
л ------ |
|
|
|||
|
|
|
4V |
|
|
|
|
|
|
4А |
|
|
|
|
|
|
z(2k +\) a V |
^ |
+ l)2 - i |
|
г ( о ) = л = о ,
п(2к + 1) |
| |
|
|
4А |
|
||
4 |
' lt |
|
|
|
|
||
21 |
м |
^ |
Ь |
1ж1(2\ |
+1)г -1 |
||
|
|
||||||
S „ = - |
|
4А |
|
|
21 |
||
|
|
|
|
a^(2A: + 1)’ |
|||
п(2к + 1)| а2п 2(2к + \)2 |
|||||||
|
|
||||||
|
|
4/2 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
. |
an (2ЬИ)( |
|
||
sinf------7----- гsin |
|
21 |
J |
||||
^ 4A 1_ |
an(\2k + 1) |
|
|
||||
* |
(2ft + l | a V ^ |
+1>2 -1 |
|
||||
u{x,t) = — X |
|
|
|
|
|
||
' |
" ”( 2 ^ 1j a V |
g |
+1)2 - 1 |
|
|||
21
sin t - ■
\an (2k + l)
. n{2k + \)at) . |
{2k +\)nx |
|
sm —----- £— |
sin ■ |
|
21 |
J |
21 |
|
|
|
|
ая-(2А + 1)_, |
|
Это решение задачи в нерезонансном случае, т.е. если-----— |
* 1 |
||||
_ |
|
ап(2к + \) |
. „ |
|
|
Рассмотрим случай Вио, что г\ч = -----—-----= 1 • Тогда |
|
||||
К |
+ ч |
л |
= |
|
|
|r„(o)=r;(o)=o, |
|
|
|||
1«о V/ |
По |
|
|
|
|
где |
4Л |
|
2Л<я |
|
|
А„п = |
|
77«о=1> |
|
||
|
■;ч =——. |
|
|||
1и° |
я-(2«о +0 |
^ |
|
|
|
|
„ |
К |
+ 3 . =^»osinr’. |
|
|
т.е. задача имеет следующий вид: |
|
^ |
^ _ Q |
|
|
О г
Решение задачи, как обычно, ищем в виде Т„0 =Т^ + Т^ :
Т° = Boost +Csint, |
|
«о |
|
7^ = t(D cost + Esin t), |
|
подставив в уравнение, получим Еп = 0, |
■^NQ _ Aa |
Dn |
|
|
~ ~ ~ T ' |
|
Aa |
(0 = В cost +C sin/ — —cost • t , |
|
подставив в начальные условия, получим |
|
Тп(/) = (sin / - |
1c°s t). |
Таким образом, |
|
/ \ AA |
4/ |
~X , {2k + l ) ( A 2 (2n + 1)2 - 4 / 2)
21 |
|
. an' |
|
|
|
sin /-- |
-sm |
й ± 1 ) , |
|
||
an (2k+ \)" |
|
21 |
|
|
|
. (2k + lW |
Aa / . |
^ |
\ . |
x |
|
+ smin------- -— I-— |
(sin/-/cos/)sin—. |
||||
21 |
l |
v |
|
’ |
a |
Задача 7.6. Рассмотрим следующую задачу с неоднородными граничными условиями:
ип +2и, = ихх +Аих +8M-4/ + 2x(l-4/)-2e~ 2jcsin6x, 0 < х < ^ , t> 0,
и\л=0 |
|
и\t= о |
= X. |
Так как граничные условия неоднородны, то сначала ищем решение в виде u(x,t)=v(x,t)+w(x,t) таким образом, чтобы v(x,t) удовлетворяла этим условиям:
v(x, t) = A(t)x2 + B(t)x + c(t),
v U = C (r)= 0 ,
л = 4 0
Напомним, что выбор v(x,t) неоднозначен, поэтому выбираем возможно более простой вариант
v(x,0 = xt ,
u{x,t) = xt + w(x,t).
Подставим полученную функцию в исходное уравнение и начальные условия, граничные же условия заведомо однородны.
wlt +2wt +2х = +4wx +At +8w +8xt -4 1 + 2x(l - 4t)~ 2e~2x sin 6x,
wtt + 2wt =
|
5-C II О |
II О |
т |
о II |
О и |
+8w - 2е 2х sin 6х,
£кII*|< IIО
Ч. о =0-
(7.2.1)
(7.2.2)
(7.2.3)
Получим задачу Коши с неоднородным уравнением, но однородными начальными и граничными условиями. Решение ищем в виде
w(x,t)=x(x)r(t). Для нахождения х(х) |
решим задачу Штурма - |
Лиувилля. |
0 <х<1, |
X" + AX' + /Uf = О, |
|
х { о ) = х ил= 0. |
|
J |
|
Корни характеристического уравнения: v1>2 = -2 ± V4 - Я .
Рассмотрим три случая:
1)0 < Я < 4 - собственных значений нет;
2)Я = 4 - собственных значений нет;
3) Я > 4, |
Я„ =4и2 +4, |
|
Х п =е~2х sin2rt. |
В данном случае ортогональность собственных функций с весом
р(х)=е4х
Далее поставим задачу для нахождения Тп (t):
Е Й + 2т; + (л„ - S K K = -ъ-гхsin6*.
т.к. е~2х sin 6х = ЛГ3(х), то в силу единственности разложения в ряд Фурье
„ |
/ |
ч |
Го, |
’ |
Г; + 27';+ (А„-8)Г„= |
||||
|
|
|
[-2, |
п = 3, |
|
н „ 0 =о=>г„(о)=о, |
|
||
|
Ч - о = 0 ^ |
г»(°)=0 |
|
|
при пфЪданная задача имеет единственное решение Tn(t) =О,
ГГ3"+ 2Г3 + 32Г3 = -2,
при И= 3
|
-/ |
|г 3(0)=г3'(0)=0. |
|
|
|
COS ч/зТг |
ч/зТsin л/зТг |
|
|
|
Г3(/)=' 16 |
16' |
||
Откуда получаем |
|
|
|
|
м(х,г)=х/ + — е |
C O S A / з Т ^ н— |
= = s i n л /з Т / -1 |
e - 2 j c s i n 6 x . |
|
v ; |
16 |
I |
л/зТ |
|
Иначе решение задачи (7.2.1 )-(7.2.3) можно искать следующим образом. Ищем W(JC,/) в виде e'ux+v,Z(x,^),
Тогда
* '» = « /" ’, (и22 + 2^ Z ,+ Z „ ) w, = е/д+1< (vZ + Z ,),
we = e**+" (v2Z +2vZ, + Z „).
Отсюда, подставив этот вид функций в уравнение (7.2.1), получим
е,и+* (v2Z +2vZt + Ztt - n 2Z - 2^ZX- Zw + 2vZ - 4 p Z - 4/JZX ) -
-2 Z eta+vt = -2e~2xsm6x.
Далее выбираем /л и v таким образом, чтобы избавиться от первых
производных, тогда w = e~2x~‘Z , получаем следующую задачу для:
Ztl -5 Z = Zrj. -2 e l sin6x, |
t> 0, 0 < x<l, |
|
4 . o = z U |
= z l,.0 = z ,L = o . |
|
I |
2 |
|
Далее решение ищем в виде |
Z = X{x)T(t). |
|
|
||
Для нахождения X решаем задачу Штурма - Лиувилля: |
||
|
[Хп +ХХ = Ъ, |
|
|
х ( о ) = х - |
-0 . |
|
2 |
|
Л„ = {in)2, Х„ = sin 2пх . Для нахождения Т строим следующую задачу
Т "-5 Т +4п2Т
пп " 1-2е‘,и = 3,
г(о)=г(о)=о.
Отсюда Тп(t) —0 при и * 3,
Tf + ЗЩ = -2е‘,
Т3 = А3cos S i t + В3sin S it,
Т3 = Ае1,
7\ |
= — Гcos >/зТг н— |
sinл/зТг — |
|
3 |
16^ |
S |
i |
u(x,t)= x + t + ~7 Г 1( cos S i t + —7= sin S i t - l e~2x sin6x. |
|||
|
10 |
l |
S i |
Задача 7.7.
Utt ~ UXX’
“U =0> “< L =0-
Решение. В силу неоднородности граничных условий решение ищем в виде и(x,r) = v(x,/) + w(x,t).
Подберем w(x,i) таким образом, чтобы не только |
граничные условия |
|||
стали однородными, но и уравнение сохранило однородность: w(x) = - |
||||
Далее выписываем задачу для v(x, t) : |
|
|
||
v« |
|
|
= 0, |
|
i v x |
- H „ o |
|
||
( v x |
+ H |
„ , |
- 0, |
|
> |
a |
|
‘ 1»г=и0 = 0. |
|
|
|
|
||
Поставим задачу Штурма - Лиувилля |
v' |
|
||
|
|
|||
[Х Я+ЛХ = 0, |
|
|
|
|
j -Г (о)- /ьГ(о) = 0, |
Х %/)+ hx(l) = 0. |
|||
В процессе решения получаем |
|
|
|
|
Хп —цп |
(п = 1,2,...), |
|
||
где /лп- положительные корни уравнения ctg /Л _ ]_(/£_ |
||||
|
|
|
h |
n ) |
Х п(х) = /лп соъцпх +h sin junx,
ii2 l[h2 +ju„)+2h
\K
Ставим задачу для нахождения Тп:
т;+£т„=о
Ч - о - 1 г» № » = |
I
\т ^п (х sinfinl - —-(cos ц п1- 1)
т„(о)! Hn
\ K |
К |
|
|
|
|
|
п = 2к + \, |
к = 0,1,2.. |
|||
|
|
|
0, |
п = 2к, |
|
к = 1,2,3.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
M<Uo = 0* |
|
|
|
|
Решаем |
задачу: |
при |
= 0 |
(ft = 1,2,3...) |
однородная задача, при |
||||
2ft+ 1, |
ft = 1,2.. Г: |
2а |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2/t+l |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, получаем |
|
|
|
|
|
||||
|
/ |
л |
ос |
^ |
|
4ос |
•Т ~ |
\ C0SP2k+\t x |
|
|
U [ x , t ) = - - + |
2 ,------7^-2-----— |
|||||||
|
|
|
П |
k=QP2k+\ |
+ Л^2Л+1 J4" |
|
|
||
|
x W |
n cos i^+ l* + ^ sin >u2*+1*), |
|
|
|
||||
где |
- положительные корни уравнения ctg ^ |
= ^ |
£ _ А |
||||||
Задача |
7.8. |
Решить |
задачу |
о |
вынужденных |
л /*. |
|||
колебаниях упругой |
|||||||||
однородной струны под действием пропорциональной линейной
плотности F(‘). |
если |
к |
концам |
приложены |
силы ju(t), v(f) |
|||
соответственно. Начальные условия произвольны. |
|
|
||||||
utt = |
|
Fit} |
t>0, |
|
|
Е |
||
+А ——, |
0 <х<1, А - — |
|||||||
|
|
|
Р |
|
|
|
|
Р |
иYI |
_ |
МО |
„ I |
|
_ |
4 0 |
„2 |
Т |
п = —--Л , |
wJ |
|
= ------ , |
а |
——, |
|||
х \х=0 |
J* |
*\х=1 |
|
|
|
р ' |
||
и\1=0=<р(х\ »г|,=0= ^ ( 4 |
|
|
|
|||||
|
u = v +w, |
w = A(t)x2 + B(t)x +C(t), |
||||||
Wr =l |
\ / |
rp |
rp |
A(t) =
T21
|
A > h » -(t)xz _ А Ц Х+c.(,)=a2 |
+ ° М ‘) + Ж |
+£й, |
|||
tt |
2IT |
T |
w |
|
IT |
p |
т.е. получаем уравнение |
|
|
|
|
|
|
где |
v tt = д2ухс + /(*>')> t > 0 ’ 0 < X < 1 , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
/ |
М - Zfe)+ " ( |
' ) ) |
- C-(,)-vl <b . d ! ) ^ |
+ А й х . |
||
J X ' ’ p |
IT |
w |
21T |
T |
|
|
Причем выберем C(f) таким образом, чтобы |
|
|
||||
|
с .м |
F (') |
| а г(у(<)+^(0) |
|
|
|
|
w |
р |
IT |
|
|
|
|
С(,)= |
ooL |
'P |
d^dr. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда для нахождения v(x,f) получаем задачу |
|
|
||||
|
vtt = а |
vxx ~ |
А ) * А > ) л | р У ) д. |
|
||
|
21Т |
Т |
’ |
|
||
|
|
|
|
|||
|
^ м ' т 1 м х> _ м м х |
|
||||
|
1/=о |
|
2IT |
Т |
5 |
|
|
У(| |
w |
21Т |
Т |
|
|
|
' |/=0 |
|
|
|||
Решение ищем в виде v(x,r)= |
Для нахождения X получаем |
|||||
задачу Штурма - Лиувилля. |
|
|
|
|
||
|
|
fX ' +AX = 0, |
|
|
|
|
\х'(0)= Х '(})= 0.
Получаем собственные |
значения |
Лп =j^y-J |
и соответствующие |
|
собственные функции |
|
|
|
|
»»• / |
\ |
ДЛХ |
Л^ _ |
|
X„(x) |
= cos— |
, п = 0,1,2,..., |
|
|
Далее ставим задачу для нахождения T(t):
Т" 1 i a m S \ T - (f ' X n)
"Ь J - > . Г
Гв(о) = |
|
Гп(0) = f c ^ . |
. |
IKII2 |
IKII2 |
1) л * 0 ,
J/(x,f)cos——dx = j[a(/)x2 + fi(t)x\cos^^-dx =
о |
1 |
|
о |
|
1 |
= (2a(f)x + y 9 ( 0 ^ j |
c o s— j - | j y ) |
2 a ( r ) s in ^ y |
|||
( v{t)+M{t)Y |
м Щ |
i |
\ 2 |
nhx |
2 г |
|
|
||||
|
|
|
|||
IT |
т А ль |
|
cos- |
|
|
|
|
|
|||
|
у(о)+До)х2 |
, До) |
I ЛЙХ , |
a n = T (M *b |
2/f |
Г |
I cos—-—ш = |
|
|||
rchx |
21 |
|
|
= y M x)cos—-—dx |
|
|
|
|
{nhf |
|
|
A - f j r [ f « « ¥ < V - |
^ (ov(o))| - |
Т.е. получаем задачу для определения Т: |
|
|
|||||
|
|
|
f anh^2 |
r . - e . w |
|
||
|
|
|
= |
J |
|
||
|
|
|
V I |
|
|
|
|
|
|
Т„(0) = а„, |
Г„(0) = Д . |
|
|||
nhat |
_ . nhat |
|
|
|
|
_ |
|
Тп =Ап cos |
+ 5„sin—-— |
- решение однородного уравнения. Далее |
|||||
~ ~ Г |
|
|
|
|
|
|
|
строим частное решение неоднородного уравнения, получаем |
|
||||||
_ / \ |
nhat |
_ |
. |
nhat |
, |
/Л |
|
Тп \П=ап cos— |
+ р п sin — |
+ hn {t) , |
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
« » = у /»>(<)«» т |
" 1d ( - ^ |
H |
i - v<°)■л 4 |
р-2-4> |
|||
А - —
яия; |
/ |
(nhfaT |
||
fr»(0= |
Jsin |
|
^ [(-i f v ' ( r ) ~ ; |
|
2) n=0 |
|
|
|
|
^ { ,Xf |
= у j[a W*2 |
+ |
= -g-[3v(0+ 2^W ]= g o (0 , |
|
|
'.* o )~ l |
I |
) K - |
No) - 2/<(0)] = « 0. |
|
= J |
|
||
|
l*< |
|
|
|
|
s ) ] r (& { ~ |
M O - 2^ (0)]. A. |
||
|
Foil |
0 |
|
|
|
|
{To - |
So(t)> |
|
|
|
F o ( 0 ) = a 0, |
Зо(о)=Д0; |
|
/
таким образом, TQ(t) =a 0 + flQt + Jg0(7Xr ~ TY T