Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод конечных элементов

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

8.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Глава 7. МАССИВЫ

§ 25. Основные гипотезы. Функционал потенциальной энергии

Рассчитывая массивные тела методом конечных элементов, ис пользуют зависимости, для трехмерного напряженного состояния. Эти зависимости наиболее общие, так как свободны от различных гипотез и предпосылок, характерных для некоторых частных задач (гипотеза плоских сечений для стержня, гипотеза прямых норма лей для изгибаемых пластин, гипотеза о нулевых напряжениях, ортогональных к плоскости системы, для плоского напряженного состояния и т. п.).

Функционал потенциальной энергии (1.35) для трехмерного на пряженного состояния записывается в следующем виде:

	П =	~2 ^ (^х^х “Ь Оу^у ~Ь 026г “1” ^хуУху			^хгУхг "Ь
		2
		+ V » ) d Q	— 2J (Рх“ + Pvv +	P*w) dQ<		(7.1)
где ох,	ау, стг, хху,- кхг, %иг — нормальные			и	касательные	напря
жения;	гх,‘ ги,	ег, Уху, ухг,	ууг— соответствующие им относитель

ные и сдвиговые деформации; и, v, w — перемещения точек трех мерного тела (массива) по направлениям осей х, у, г соответ ственно; рх, ри, рг — внешняя нагрузка по направлениям осей х, у, z соответственно.

Все зависимости удобно представлять в матричной форме:

			Ох		Ч
и	'		Оу			г у
v	1 [ р )		Ог	•;	1е} = <	е,
v	1 [ р )	•Р у \ ; 1?) = { «Г*		•;	1е} = <	Л)
сЬ		к )	1ху			Уху
сЬ		к )	^XZ			Ухг
			^XZ	j		Ухг
			%уг	j	1 У у г 4

где {и}, (р), (о), (е) — соответственно векторы перемещений, внешних усилий, напряжений и деформаций. Тогда основные соотношения теории упругости приобретут вид

{о} = [Е] (е); (е) = [D] (ы),

(7.3>

где [£] — матрица упругости; [D] — матрица дифференцирования.

Матрица упругости для изотропного тела

%+ 2v	%	х	0	0	0
%	%-f- 2v	X	0	0	0
%	X	A, + 2v	0	0	0
0	0	0	V	0	0
0	0	0	0	V	0
0	0	0	0	0	V

где х = (Т Т р Г ^ р ) ; v = г о т т о _ коэффициенты ЛамеМатрица дифференцирования

	а_	0.	О
	дх
	О	Щ О
		Щ О
	о	0	i
[D]	д_		(7.5)
		1	-о
	О	L	JL
	а	дг	ду
	а	о	£
	дг	о	£

Функционал полной потенциальной энергии для трехмерного тела теперь можно представить в достаточно компактной форме:

П = у J И	» dQ - J	(«} dQ.	(7 6)
S	2

Это выражение лежит в основе построения матриц жесткости для КЭ трехмерных тел.

§ 26. Конечный элемент в форме тетраэдра

Тетраэдрический КЭ для пространственной задачи — аналог треугольного КЭ для плоской задачи теории упругости.

Предположим, что перемещения вдоль осей х, у, г распреде ляются по линейному закону:

и (х, у, г) =	щ	+	а гх +	а Зу +	a4z;
v (х, у, г) ==■ а 5		+	а вх +	о^у +	а 8г;	(7.7)
w (х, у, г) =	а* +		ащХ +	а г{у + а^г.

В этом аппроксимирующем полиноме 12 независимых коэффициен тов. Сопоставив им такое же количество степеней свободы, полу

чим, что в каждом узле тетраэдра необходимо иметь по 3 степени свободы. Естественно связать эти степени свободы со значениями трех узловых перемещений в каждом узле по направлениям осей х, у и z (рис. 61).

Для построения матрицы жесткости необходимо аппроксима

цию полиномами (7.7) получить в явном виде,

т. е.

связать коэф

фициенты <х1 полиномов (7.7) со

степенями свободы. Эту опера

цию проведем по методике, опи

санной в гл. 2. Будем считать,

что перемещения а

вдоль оси х

зависят

только

от горизонталь

ных перемещений и1у и2у иЗУ«4;

перемещения вдоль оси у зави

ся! только от vl9 v2y v3y ц4 и т. д.

Тогда достаточно будет опреде

лить коэффициенты

а\ — а4, а

коэффициенты а ь — ая и а9 —

взять по аналогии. Матрица [С]

строится

на основе

того,

что если

подставить

полиномы

(7.7)

координаты

;q, уХ гг

1-го

узла, то и =

и1у если

подставить коор

динаты х2у у2У *2 2-го узла, то и =

и2,

и т. д., т. е.

« 1

■ 1

* 1

У\

« 2

У2

г2

« 2

и 3

хэ

у3

« 4

_ 1

* 4

У4

г 4 -

а 4 ,

Обратив матрицу [С],

получим

йх

Ct2

Ct±

а2

«2

а з

«3

а4

d4_

«4

С помощью процедуры § 13 приходим к следующей

аппроксима

ции горизонтальных перемещений и (хуууг) в

КЭ в явном виде:

и (х, ууz) =

(а{

bxx +

сху +

d1z) u1 +

(а2 +

b2x +

с2у +

+ d 2z) и2 +

(а3 -f b3x +

с3у + d3z) и3 +

(а4 + b^x +

с^у +

d^z) и4,

(7.8>

где

У2

X»

Уз

;

x 3

ci — д

Уь

У4

	_i	1	X2	Hi		1	Xi Ух zx
di					A	1	*2 Уг		z2	(7.9)
	д	i	*3	Уз ;		1	*э	ft	г3
		1	x4	y4
						1	*4	1/4	г4
Значения с2, 62, с2, d2 и т. д. определяются								с	помощью круго
вой перестановки	узловых			индексов. Выражения для						v (х, у, г)
и w (х, у, г) полностью			аналогичны выражению (7.8),							т. е.
v (х, у, г) =	(% +		ьгх	+ сху + d4z) щ +				(аа + Ьгх +
+ с ау + d2z) v2 + (as + bsx +					с3у + dsz) v3 +				(д4 +	b4x +
+ с 4у + d4z) v4,						'				(7.10)

« то же для w (х, у,г).

Построим, например, один из элементов , матрицы жесткости:

реакцию,

возникающую

1-м

узле

по

направлению

оси х

от единичного перемещения этого же узла

по направлению

оси у,

т. е. элемент k12 — kUlVl. Сначала

построим

вектор

(е}01,

соот

ветствующий перемещению щ, когда

все

остальные

перемещения

узлов равны нулю. На основепринятых

предпосылок

перемеще

ния по области КЭ имеют вид

и (х, у,

г) =

0; v (х, у

, г) =

(аг +

Ь4х

сгу

djz) 1^;

W (X, у, z) =

(7.11)

Компоненты вектора деформаций найдем,

используя соотношение

<7.3):

диUU

UUди

UUUdw

Л.

ди

| дх)

Е* = Т Х =

еу = ду ~ °lVl’

г* у = Г у +

Т х = Ь^ ’

du .

(7.12)

У* =

dz +

~~ dlVl]

^ dz

0 -

Таким образом, вектор

le}£, = (0; СхОь 0;

b ^ ;

dл ;

0).

Теперь построим вектор

соответствующий

перемещению

Ui узла 1 по направлению оси х, когда

все

остальные

перемеще

ния узлов равны нулю. В данном случае

перемещения

по

обла-

вти КЭ

и (х, у,

г) =

(а{

btx

+ сгу +

djz) мх;

v (х, у,

г)

= 0;

w (X, у, г) =

Компоненты

вектора

напряжений

найдем,

использовав

соотно

шение (7.3):

ох =

(К

2v) гх -f- Кеу -4- Хв2 =

(к -f- 2v) Ui, оу — 0;

at = 0; Оху =

vCiUii ауг =

аХ1 =

v d ^ .

Таким образом,

в результате

получим

((А, +

2v) их\ 0;

ых;

v d ^ } .

Зная (сг}и, и {e)Ul, по формуле (2.22) определим коэффициент k12:

^12 ^	^ ^	l°}«i I6}»»	^ i ^ i	^ VCX&XS2,
	2		J 2
где Q =	— объем тетраэдра.
Подставляя сх и Ь{		из выражений (7.9),		окончательно получим

kи,»,	Е	1	1	Уъ %2
kи,»,	12(1 + ц)	Д	1	Уз 2з
			1	У& ZA

1 х2 2а

со	QO
*
1 ЛГ4	24

Аналогично строятся и остальные элементы матрицы жест кости для тетраэдрического КЭ.

§ 27. Конечный элемент в форме параллелепипеда

Этот КЭ — аналог прямоугольного КЭ для плоской задачи теории упругости, где аппроксимация перемещений принималась по полилинейному закону.

Для трехмерного случая та кая аппроксимация имеет вид

и {х, у, г) =			а х + а гх + а эу +
+	а 42 +		а ьху +	а Йхг +
	+	<х7гу + а вхуг\
v (х, у, г\ = а 9 +				а 1ох +
+	“ iiУ +		а х„2 +	а 13х у +
+	а 14л:2 +		а и гу + а и хуг;
w (х, у,		г)	= а 17 -н а 18х +
+	а 19у	+	а 20г +	а 21ху +
-f a 22xz +			cio-jzy + a 24xyz.
				(7.13)

По сравнению с тетраэдром количество членов полинома, аппроксимирующего каждый вид перемещения, увеличи лось. до 8. Но и количество узлов в параллелепипеде по сравнению с тетраэдром также

увеличилось до 8. Это позволяет сохранить в каждом узле такой же естественный состав перемещений, как и для тетраэдра (рис. 62). Если для тетраэдра переход от неявного представления аппрокси мирующих функций к явному проводился при помощи обращения матрицы [С], то здесь ввиду простой геометрической формы эле мента это можно сделать проще: на основе того, что полилинейная аппроксимация является произведением линейных полиномов. Тогда

(7.14)

где
к = ~ьс (а — х)(ь — у )(с^ гу ,	=	— y)(c — z);
f* = i у ( fl - * ) ( c - 2 ) ;	/4- = i	xy ( C - 2);
	f» =	Wcx z(b -y )>

и = - к у г (а - х У' f« = i ^ 2-

Сравнивая аппроксимирующие полиномы (7.14) для параллеле

пипеда с аппроксимирующими полиномами (7.7) для	тетраэдра, ви
дим, что первые содержат четыре дополнительных	члена, следо
вательно, аппроксимация ведется о более высокой	степенью точ
ности. Об этом говорит и тот факт, что деформации	и напряжения

по области параллелепипеда переменны, в то время как для тетра эдра они постоянны.

Матрица жесткости строится по методике, описанной в гл. 2, на основе выражения (7.6) для функционала потенциальной энер гии, выражений (7.3) для векторов напряжений (а) и деформаций (е), а также выражений (7.14) для аппроксимации перемещений.

Для примера построим один из элементов матрицы жесткости, представляющий собой реакцию узла 2 по направлению оси х от

перемещения этого же узла по этому же	направлению	(ри'о. 62).
Перемещения по области КЭ от иг
«(* , У, г ) = ^ с х (Ь—'У)(с — г)и2-, о(х, у,	г) = 0; w(x,	у, г) = 0.

Используя геометрические соотношения (7.3), получим компоненты вектора деформаций, соответствующие перемещению и2 при всех остальных нулевых перемещениях:.

	Яп	Яге»
ди	. dv	1	/	v
V *v = ry + T x =		- Z F c X(c -		z) u>’
dv	. ди	1 , и		ч

Применяя физические соотношения (7.3), получим компоненты вектора напряжений, соответствующие перемещению м2 при всех остальных нулевых перемещениях:

	E	(b — y) {c — Z)Ui\
° x	U + Ц) (1 — 2jx)abc	(b — y) {c — Z)Ui\

°i>~ -(1	-f ц) (1 — 2ц) abc ^	^ <C
(I	-Ц ц) (Ь— 2ц) abc ( b ~ ‘Mc~z)u,-,
*•» ”	2 (1 / ц , abcX(C~ ^ U‘' X»' = 0;
T» - 2~ 1+'Vi Ж *Q> -		y)U*'

Подставляя полученные выражения в формулу (2.22) при иг = 1, получим выражения для ки^'.

а Ь е

к и,и, =

(а) (е| dQ =

J J(охгх +

аге2 + т ,<,?*,, +

0 0

a b c

T^zV^2 +

%гхУгх) d x d y d z =

^ J f

-|_ ц) (l _

2JA) a2b2c2 X

0 0

№

y ) » ( c -

i )

» +2

( 1

+ ^

a-w

J;’

(‘: -

2 >’

+ 2 (1 +

Ц)«***«• x‘ (b ~ y ) ‘

f V

+ ?

+ T )-

Аналогично можно получить и остальные элементы матрицы жест кости .

Рассмотрим пример приведения местной нагрузки к узловой. Определим узловое усилие в узле 8 по направлению оси х (степень свободы ы8) от равномерно распределенной нагрузки рх (х ,у ,г) =

— рх. На основании выражения (2.24) получим

	abc
PX8=\j px (x, у, z) f sdQ = j		j j p ^ d x d y d z = рхЩ .
2	0	0 0

В данном случае этот результат, безусловно, можно было бы полу чить и на основе простых соображений о доле равномерно распреде ленной нагрузки, приходящейся на один узел. Но когда применение простых соображений затруднительно (внешние нагрузки р изменя ются по произвольному закону), узловые усилия можно получить по выражению (2.24). 4

Глава 8. ОБОЛОЧКИ

§ 28. Основные гипотезы. Функционал потенциальной энергии

Оболочки двоякой кривизны — один из самых сложных объек тов строительной механики. Это вызвано сложными геометриче скими и физическими соотношениями для оболочек. (Далее в главе

используются соотношения технической теории пологих оболочек для построения векторов (а) и {е)).

Вектор {е} состоит из шести компонентов: гх, гу, гху, хх, ху,

хху. Здесь ъх = д^ + KiW — относительная

деформация срединной

поверхности вдоль

оси х\

+ K 2W— относительная

дефор

мация срединной поверхности вдоль оси у\

гку * 1 ^ + ^ + 2/С12^ —

деформация сдвига

срединной

поверхности;

кх ■«

— деформа-

ЦИЯ кривизны ВДОЛЬ ОСИ Х\

Ху =

d2w

'ду2 —Деформация кривизны вдоль

оси у\

— смешанная деформация

кривизны. В

этих

вы-

„

д гг

г, .

д 2г

„

д 2г

ражениях Дх =

2 =

’» Л12

— кривизны оболочки,

характеризующие

ее геометрию.

Вектор напряжений {о} также состоит из шести компонентов:

Nx, Ny, S, Мх, Ми,

Мху. Здесь

Nx =

(е* +

ре,,)— погонные

напряжения вдоль оси у,

1 ~

^ y — r^— t(^y +\i£x)— погонные напря-

жения

вдоль

оси х\

еху— сдвиговые

погонные

на

Ь = ^

пряжения ; Мх =*=

t2 (f

„*)' (х* +

W*y) — Погонные

моменты отно-

сительно оси

х\

Му — ^ ^Eh*

(ху +

\х.у.х) — погоннЪге

моменты

относительно

оси у\

Мху =*= ■^

Eh3 g

хху _

погонные крутящие

моменты; h — толщина

оболочки;

Е — модуль продольной упру

гости; р — коэффициент Пуассона.

Для оболочки вектор внешних усилий {р} состоит из трех

компонентов: рх (х,

у),

pv(x, у),

pz (x,

y)t а вектор

перемещений

{и} — из компонентов и, v, w.

С учетом принятых обозначений и

соотношений

функционал

полной потенциальной энергии тонкой оболочки

п = у

dQ “

тг J

(Nxe,x +

Sexy +

Мххх + МуХу + 2МхухХу) dQ — \ (рхи + pyv +

pzw) dQ. (8.1)

§ 29. Прямоугольный КЭ оболочки двоякой кривизны

Для каждого из четырех узлов КЭ (рис. 63) примем 6 степеней свободы — 3 линейных перемещения и, ь, w соответственно по на правлениям осей х, у, г, 2 угла поворота « и 0 относительно осей

для прямоугольного КЗ плиты (полином 4-й степени, 3 степени свободы в узле).

Коэффициенты матрицы жесткости для оболочки двоякой кри визны в данном случае

а b

k(j =	[J (Nxfixi + Nyibyi -f -S bxy + M-xtY-xi +	M y i X y i +
0	0
	+ 2M xyiKXy i ) d x d y .	(8.4)

В качестве примера определим горизонтальную реакцию узла / по направлению оси у от вертикального перемещения этого же узла, т. е. элемент kVxWt. Сначала определим компоненты вектора дефор маций по области КЭ от перемещения Wy.

**Xxw x =			Sj/tW, =	^ г ^ З ^ З ^ Ъ
Ьxyxwx=	2 / C l 2 ^ 3 ^		3 ^^Xxwx1 ;	^ X3 Y3 Wi\
^У\^\ ^	X 3 Y 3	Wi\	Xxyxwt 3:53 ^ 3 ^ 3 ^ 1 »
Затем найдем компоненты		вектора напряжений от иг:
NXM =		vl*	Nytvx=	Х 1 Г 1Ч ;

N*VxVx — 2(Г + ц) Xi Yivi-

Здесь верхние индексы обозначают операторы дифференциро вания, т. е.

у Х Х

д % У

___ 1 2 д г — 6 а

V Y Y

д *

\2у — 6 Ь

Л з

В г 2 а з

„а

~ ^ а Т 3 “ "

Га

*»

Ь8

у Х

6ДГ®

\/-Y __ 0и \гv

6f/* — C'yb

л*

~ -A3

;

я7, *

/>8

’

X f = # X , = — -1- ; У

* - « У

, , ,

‘

ддг

a ’

Подставляя

значения

векторов

{а)„,

и {е}^

в формулу

(8.4) для

k(h получим

а $

kvxwx=

^ \{NXxvxtxxwx+ NylVliyxW+ NXyxVtyxytWx) dx dy =

о о

(l^l

K .X .Y , +j § p X tY \ K ,X ,Y ,+

j l

+ ■

X iY ^ K u X sY J dx dy =

(1 — H*)

2(1 +

H)'"1

[a (p/Ci +

A,) + M „ ( l

— p)].

Аналогично можно построить и остальные элементы матрицы жест кости. В рассмотренном примере считается, что кривизны Ki, Kt>

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202221.8 Mб28Металлорежущие станки..pdf
#
15.11.202221.04 Mб10Металлургия технология угля и неметаллических полезных ископаемых3..pdf
#
15.11.202214.65 Mб51Металлургия цветных металлов..pdf
#
15.11.202220.79 Mб60Металлургия черных и цветных металлов..pdf
#
15.11.202218.69 Mб57Метод конечных элементов. Основы.pdf
#
15.11.20228.24 Mб32Метод конечных элементов..pdf
#
15.11.202225.35 Mб35Метод проекций с числовыми отметками в решении инженерных задач..pdf
#
15.11.20221.4 Mб21Методика расчета многоступенчатой газовой турбины..pdf
#
15.11.2022971.33 Кб10Методические рекомендации по выполнению лаборатор- ных работ по дисциплинам «Основы эксплуатации автомо- бильных дорог» и «Дорожные условия и безопасность движе- ния».pdf
#
15.11.2022971.33 Кб2Методические рекомендации по выполнению лабораторных работ по дисцип..pdf
#
15.11.2022336.86 Кб1Методические указания к выполнению курсовой работы по дисц. «Экономик.pdf