Метод конечных элементов
..pdf«1 |
f ' R x , |
|
»i |
ЛХУ1 |
|
и, |
Rx2 |
(4.28) |
и3 |
{R) = < Ryi |
|
Rxz |
|
|
V3 ) |
Ryz i |
|
Следовательно, для треугольного |
К.Э размер матрицы |
жесткости |
будет 6 x 6 . |
|
|
Представим аппроксимирующие функции перемещений в виде (4.12), т. е. свяжем независимые коэффициенты аппроксимирующих
функций со степенями свободы КЗ. Координаты х\, у1 1-го |
узла |
|
подставим в (4.27). Тогда |
и (л:, у) ~ Ui• Аналогично поступим со |
|
2-м узлом [и (х, у) — и2] и |
с 3-м [и (х, у) — и3]. В рёзультате |
сфор |
мируется система трех линейных алгебраических уравнений отно сительно постоянных коэффициентов ои (t = 1, 2, 3):
(“х1 |
1 |
*1 |
У\ |
fa l |
|
1 |
*2 |
Уг |
«2 |
||
«2 = |
|||||
« а ) |
У *з Уэ_ ( а 8. |
||||
или в компактной записи: |
|
|
|
|
|
W) = |
[C ]la}- |
(4.29) |
|||
Вид системы линейных алгебраических уравнений .(4.29) отно сительно а с (i = 1, 2, 3) показывает, что перемещения и (х, у) вдоль оси х зависят только от горизонтальных перемещений и1у иг, и3. Разрешая систему уравнений (4.29) относительно а по правилу Крамера, найдем, что
«1 |
*1 |
(/! |
1 |
«1 |
У1 |
1 |
Х1 |
и г |
|
1 |
Х1 У1 |
|
и2 |
х г |
Уг |
1 |
«2 |
У2 |
1 |
х 2 |
и 2 |
|
1 |
х2 у2 |
|
"з |
*з |
Уг : CU = - 1 |
“ з |
Уз : |
1 |
Х3 |
и 3 |
А = |
||||
|
|
|||||||||||
си = |
|
|
1 |
х3 У» ’ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.39) |
|
где А — удвоенная |
площадь треугольника |
1 — 2 — 3, |
а прямые |
|||||||||
скобки |
обозначают |
определитель. |
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим полученные коэффициенты в выражение (4.27). При этом сгруппируем коэффициенты при одноименных узловых пере мещениях, раскрывая определители (4.30) по минорам. Тогда
аппроксимация |
горизонтальных перемещений и (х, у) |
принимает |
|
вид |
|
|
|
и (к, у) = |
(ах + Ьгх + |
сгу) иг + (^ + Ьгх + сгу) и2 + |
|
|
+ (‘ 3 + |
b3x -f- с3у) и3, |
(4.31) |
где ar = |
Х3 |
Уг |
• Ьл |
1 |
1 |
Уг |
Сл |
1 |
Хг |
Значения |
|
|
|
|
|
=* - г |
|
||||
х з |
У3 |
д |
|
Уз ’ |
1 |
д |
1 Х3 |
|
||
|
1и1 |
1 |
|
o2, b2, с2, а3, b3 и с3 определяются с помощью круговой пере становки индексов узлов.
Функция v (х, у) зависит от перемещений vlt v2, v3 аналогично, что следует из характера аппроксимации функциями (4.27):
■V (х, у) |
=* (а{ + Ьух + |
+ (а2 + |
b2x + с2у) v2 + |
|
(а3 + Ь3х + c3y )v s. |
(4.32) |
|
Элементы |
матрицы жесткости |
находят |
формальным приложе |
нием ранее полученной формулы (4.18). Выведем, например, вы ражение для реакции, возникающей в узле/ по направлению оси х от единичного перемещения узла 2 по направлению оси у, т. е. для элемента ku = kulV2. Нумерация степеням свободы и узловым реакциям дается в порядке их записи в столбцах (4.28).-Следова тельно, при обращении к формуле (4.18) i = 1, / = 4.
Первым построим вектор деформации (e}j = (е}Ы1, который со ответствует деформированному состоянию по области КЭ от еди ничного перемещения их, когда все остальные узловые перемеще
ния равны нулю. В этом случае вектор |
аппроксимирующих |
функ |
|||||||
ций (4.12) образуется из |
(4.31) |
при |
Uj = 1, |
и2 = |
и3 = 0 и (4.32) |
||||
при Vy = |
v2 = v3 = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (х, у) =з (аг + |
Ьух + |
Суу)\ |
|
|
(4.33) |
|||
|
v (х, у) = |
О, |
|
|
|
|
|
||
или в развернутом виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« (* . |
У) = у {х2у3 — х3у2) — ^ (у 3 — у2) х + j-(x a — х2) у, |
||||||||
|
|
v(x, |
У)** 0. |
|
|
|
(4.34) |
||
Тогда вектор деформаций |
{е}х, |
формирующейся |
в соответствии |
||||||
с выражением (4.4), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— ^ (У з — Уа) |
|
|
|||
|
le)i = I |
■*= - |
|
0 |
|
|
|
||
|
\уХУ, |
|
J - (X 3— X2) |
|
|
|
|||
В той же последовательности строится вектор |
деформаций |
(е)4 = |
|||||||
=? (е}„г, |
который соответствует деформированному |
состоянию по |
|||||||
области КЭ от единичного перемещения v2, |
когда все остальные |
||||||||
узловые перемещения равны нулю: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
е* |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
— Г (*з — * i) |
|
|
||||
|
1*}4 |
Rv |
|
|
(4.36) |
||||
|
|
\ |
|
|
|
|
|||
|
|
Уху |
|
|
Ут) |
|
|
|
|
|
|
|
д (Уа |
|
|
|
|||
kU “ h Ж - Г=75- |
/Г (уа — Уг) [ |
£ (*а — ХХ) ] + |
Q |
|
|
2 (М-Р) [ Д" |
~ Х^ Д" ^ 3 |
У*),'} |
где dQ — бесконечно малый элемент площади треугольника. После
необходимых преобразований, |
учитывая, |
ч т о ^ 4 £ 2 = А и хх = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t/x =■ 0, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
(Уз |
У2 ) Х3 + |
G |
( Л’з |
Х 2 |
||
Аналогично строятся |
и остальные |
элементы матрицы жесткости |
||||||||
треугольного КЭ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К г = |
^ |
|
|
(У2 ~ Уз)2 + |
£ ( * 3 - |
x 2f ] ; |
||||
^12 — 2Д |
|
|
^ |
3 |
|
^ 2) (Уг |
У*)] * |
|||
“ 4 [т ^ ? ^ ~ ^ уз—6 (Хз ~ |
Ха!5 |
|||||||||
klb “ |
& |
[т~ р * |
^ 3 — ^ |
У2 + |
0 (*3 “ |
*») Хз] J |
||||
^1в = |
2Д [ I — (х* |
—:Уз) *2 |
|
G(х3 |
х2) г/2] I |
|||||
Кг = |
4 |
[т ^ Г 5 ^ 3 ~ |
|
+ |
0 (^2—i/a)2] ; |
|||||
К з |
2Д [ | И_ ц,2 ( х 3 |
* 2) У з |
|
® (У г |
У з ) * ] I |
|||||
^24 *=* 2Д [ |
1 __1^2 С*2 |
Xg}X3 + |
G (у 2 |
Уз) У3 J J |
||||||
Кь - |
й |
[ у ^ г |
(*« — *») У2 |
+ |
|
G (у г — Уз) Jf*l 1 |
||||
^23 |
2Д [ |
i __J j i |
(Хз |
Хг^ Xi |
|
^ |
У^ ^ aJ ^ |
|||
|
|
|
*33 = |
^ |
[ r = ^ |
I ? |
^ |
+ |
G * s ] l |
|
* з« в 4 1 ( т ^ + ° ) < - * * * Ф
к |
— — |
1 |
0208— G*4X3V. |
||
*35 — 2Д |
Г |
|9 |
|||
кз« = М [т“ |
Р Х*У* + ° ХзУг\ 5 |
||||
^44 = 2Д [ 1 — (X» *з + |
Gt/3J ; |
||||
^ 4 5 |
= |
2 Д |
[ l |
|Х* Х * У 2 |
G x * > ] > |
kia ~ |
2Д [ |
1_jx* *2*з |
^sf/sj ; |
||
|
^55 = |
2Д f 1 — (i2 Ц |
’ |
||
л- в н [(т^ * + ° )( - э д ];
Аи==я [ г ^ дс* + С|'*]*
И. тогда
( RX^ |
|
^11 ^12 |
^13. |
|
&15 |
^16 ' |
(r« i ' |
|
|
Ryi |
|
^22 |
^23 |
^24 |
^25 |
^26 |
|
|
|
Rx2 |
>= |
|
^33 |
‘^34 |
^35 |
^30 |
u2 |
> |
(4.37) |
1 R |
|
< 2 |
|||||||
Ку2 |
|
|
|
fe44 |
^45 |
^40 |
|
|
|
Rxз |
|
Симметрично |
|
^55 |
^60 |
«3 |
|
|
|
vRy3 . |
_ |
|
|
|
^00 w |
U3 |
j |
|
|
Определив узловые перемещения, подсчитывают напряжения по области треугольного КЭ. При этом следует иметь в виду, что пер вые производные аппроксимирующих функций (4.27) — константы. Поэтому напряжения по области КЭ также постоянны. Принято относить их к центру тяжести КЭ.
Чтобы воспользоваться формулой (4.23), аппроксимирующие функции (4.31) и (4.32) записывают в матричной форме:
“ (*. |
0)\ |
_i fli + |
Ьхх + |
сху |
0 |
а2 + |
Ь2х + c2t/ |
» (*, |
У) I |
д |
О |
ах + |
Ьхх + |
сху |
О |
|
|
|
|
|
|
|
(и х |
|
|
О |
а3 + |
Ь3х + с3у |
|
О |
. |
|
|
|
■(4.38) |
||||
|
а 2 ~Ь У2 Х4~ съУ |
|
0 |
ci3-f- Ь3х -)- с3у |
|||
|
|
|
|||||
v j
О» |
Е |
5to ? |
со |
|
а Уи |
Ц(«/2 — Уз) |
|||
( 1 - ц 2)Д |
||||
~ |
|
|
||
У (х3— х2) (х3 — х2)
х*«
(У3 — У1)
^(Уз — Уг)
(*з — *i)
(х3— х2) • 2 Ц(Уз Уз)
р (хг — х3) |
(iji — Уг) |
(*i — х3) |
р(У1~Уг) |
Х=^- { У з — У\) ■ ~2~ (Х2 * l )
'«1
Vi и2
X< v2 >.
и.
У(х2 — Х1)
(X.2— Xl)
-1тг(У2—У1)
(4.39)
V3
§14. Примеры расчета балок-стенок
Пример |
9. Применение построенных в §13 треугольных КЭ покажем на |
||||||||
простом |
примере |
расчета |
квадратной балки-стенки. |
Последовательность |
|||||
и приемы расчета любых сколь |
|
||||||||
угодно сложных двумерных об |
|
||||||||
ластей |
практически |
не будут |
|
||||||
отличаться |
от |
показанных |
на |
|
|||||
столь- |
простом |
примере. |
З а |
|
|||||
труднения |
могут |
возникнуть |
|
||||||
при наложении сетки КЭ на |
|
||||||||
фигурную |
многосвязную |
об |
|
||||||
ласть, |
в особенности |
у контура, |
|
||||||
где |
нужно |
совместить |
линию |
|
|||||
контура |
и |
сторону |
КЭ. |
Это |
не |
|
|||
всегда |
возмож но, |
если |
исполь |
|
|||||
зовать |
только |
прямоугольные |
|
||||||
КЭ. По сравнению с ними тре |
|
||||||||
угольные КЭ обладают важным |
|
||||||||
достоинством |
— треугольники |
|
|||||||
покрывают любую |
плоскую об |
|
|||||||
ласть |
с необходимой |
степенью |
|
||||||
приближения. Ч асто |
применя |
|
|||||||
ются |
и сочетания в одной расчетной схеме треугольных К Э с прямоугольными. |
||||||||
И так, |
рассмотрим квадратную свободноопертую балку-стенку под дей |
||||||||
ствием |
сосредоточенной |
силы в середине верхней стороны |
(рис. 38). Материал |
||||||
балки-стенки изотропен, коэффициент Пуасрона |Л= -g -.
Ввиду |
симметрии можно |
рассматривать половину области, |
которая р аз |
||
делена |
на |
4 треугольны х КЭ |
(рис. 38). Номерами в скобках обозначены КЭ; |
||
узлы пронумерованы от1 до 6. |
На рис. 39 |
показаны отдельные КЭ |
с коорди |
||
натами узлов, записанными |
в порядке |
их обхода при выводе |
матрицы жест |
||
кости. |
Координаты узлов каж догоКЭ определяются в собственной системе |
||||
координат. Неизвестными перемещениями будутvx\v2\ и3; v3; и4\v4\vb\ил.
При этом учитывается условий симметрии — горизонтальные перемещения
узлов, леж ащ их иа |
вертикальной |
оси симметрии, равны нулю. Коэффициен |
||||||||||||||||
ты ж есткости конечных |
элементов, |
показанных на рис. 39, |
определяются |
иэ |
||||||||||||||
выражения |
(4 .3 7 ). |
|
|
|
|
|
|
линейных |
уравнений |
равновесия |
для |
|||||||
Покаж ем |
порядок формирования |
|||||||||||||||||
узла 4 .(рис. |
38). Ф ормирую тся |
векторы узловы х |
перемещ ени& тех |
КЭ, |
кото |
|||||||||||||
рые примыкают к узлу4 [К Э |
(2), |
3)(< |
и (4)]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
г ? |
|
|
|
|
г о |
' |
|
|
ГО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' ►1 |
|
|
0 |
|
|
<^4 |
|
|
(4 .4 0 ) |
|
|||
|
|
|
{9}.(2) - |
v8 |
{?}(3 ) = < |
* 1 |
{<7}(4) = |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
«4 |
|
|
|
|
и4 |
|
|
«в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
k ° |
J |
|
|
|
|
П оскольку |
в узле4 о.ба перемещения |
(н4 и и4) неизвестны, |
следует" составить 2 |
|||||||||||||||
уравнения |
равновесия, |
из которых51-е будет суммой проекций |
всех сил ву $л е |
|||||||||||||||
на ось * , |
а 2 -е — на |
осьу. В |
узле4 внешних сил нет, поэтому уравнения будут |
|||||||||||||||
содерж ать |
только реакции |
|
в дополнительных свя зя х . Начнем с элемента |
(2). |
||||||||||||||
Реакция |
в узле4 элемента 2( ) в направлении осих ( /? ^ ) |
возникает вследствие |
||||||||||||||||
шести перемещений |
узлов |
/ ,3 и 4. |
Составляющ ие |
этой |
реакции |
получаю т |
||||||||||||
умножениемна перемещения той |
строки |
матрицы |
ж есткости элемента |
(2), |
||||||||||||||
которая |
соответствует |
перемещению |
узла4 в |
направлении осих (и4). В КЭ |
|
|||||||||||||
|
|
|
xs-0;ys-O; |
|
|
хг‘° .У Г 1 - |
лз 2 ■У,-—?' |
|
|
|
|
Х3‘?'У,~2 |
4 |
’У-0- |
х - l- |
■u~-L |
h J 2 ’У6‘ ° |
2 |
'Ц |
хч 2 |
'У* 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 39 |
|
|
|
|
(2) узел 4 имеет индекс3. Поэтому |
в матрице ж есткости КЭ |
(2) для |
умноже |
|||||||||
ния |
выбирают |
строку, |
соответствую щ ую |
перемещениюи3 |
[пятая |
строка |
||||||
в матрице |
ж есткости |
(4 .3 7 )]. Поэтому |
|
|
|
|
||||||
|
|
*53 = |
(*5l)(2> •0 + |
( W |
2) »,'+ (*»»)(2)«. + Vh4><2) |
+ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
+ |
(Aoo)(2)« « + ( A |
5o)(2 ,t'4. |
|
|
(4 . |
|
Перейдем |
к |
КЭ |
(3). В |
этом |
КЭ узел4 такж е |
имеет индекс 3. |
Поэтому |
из |
мат |
|||
рицы |
ж есткости |
КЭ |
(3) |
(4 .37) |
выбираем |
пятую строку |
и аналогично |
(4 .4 1 ) |
||||
получаем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
^ |
= |
(*6l)<3> •0 + |
(^ 2 )<3) О» + (*53)(3) ‘ 0 + (ki4f > |
V! + |
|
|
||||
+ (*б6) (3Ч + ( / < 0. ) (3Ч . |
(4 |
Л ля |
КЭ |
4)( |
узел 4 |
имеет |
индекс |
|
2. |
|
Поэтому |
в |
матрице |
жесткости |
4)КЭ ( |
|||||||||||
нужно взять строку, соответствующ ую |
перемещениюи2 [третья |
строка |
в мат |
|||||||||||||||||||||
рице |
ж есткости |
(4 .3 7 )]. В |
результате |
умножения |
вектора |
{ ? } , |
, |
на |
3-ю |
строку |
||||||||||||||
матрицы ж есткости получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
= ( * 3 l) (4) • 0 + |
( £ 32) ^ |
V5 + |
(^Зз)^4^ 4 + (^34)^4^4 + |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
н- (*35)<4)«e + |
(*зв)(4> * 0. |
|
|
|
|
|
|
(4.43) |
|
|||||||
При |
этом |
следует |
иметь |
в виду, |
что |
|
коэффициенты |
из матрицы |
жесткостй |
|||||||||||||||
(4 .3 7) |
вычисляются |
для |
каж дого |
КЭ отдельно с учетом |
координат узлов (рис. |
|||||||||||||||||||
39). Суммарное усилие в узле 4 в направлении осих образуется |
сложением |
|||||||||||||||||||||||
сил (4 .4 1) |
— (4 .4 3) |
и после подстановки |
исходных данных |
по условию |
равно |
|||||||||||||||||||
весия |
приравнивается |
к |
нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
— 0 ,3 ^ |
— 0,214w 3 ~ |
0 ,0 8 6 0 8 + |
1 ,4н456+ |
О,304 + |
0,30* |
— 0 ,2 1 4 « б |
= |
0. |
|
|||||||||||||||
У равнение |
равновесия |
бсех |
сил |
для |
узла4 в проекции |
на |
осьу |
формируют |
||||||||||||||||
аналогично. При этом из матрицы жесткобти |
(4.37) |
выбирают |
строки, |
соот |
||||||||||||||||||||
ветствую щ ие вертикальным |
перемещениям тех |
же узлов. |
составления |
урав |
||||||||||||||||||||
П осле |
обхода всех |
узлов расчетной |
схемы |
(рис. 38) |
и |
|||||||||||||||||||
нений относительно неизвестных перемещений в описанном |
порядке (см. § |
10) |
||||||||||||||||||||||
формируется система линейных уравнений метода перемещений. |
Матрица |
ко |
||||||||||||||||||||||
эффициентов системы уравнений |
(табл. |
7) является матрицей |
жесткости |
си |
||||||||||||||||||||
стемы. |
Тогда |
|
|
|
|
[ * ] { ? } = { Р } , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где [& ]— матрица ж есткости |
системы; q} {— вектор |
неизвестных |
перемещений |
|||||||||||||||||||||
системы; |
{ Р |
} — |
вектор |
внешних |
узловых нагрузок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 7 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правая |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
часть |
|
|
|||
1,456 |
— 0,514 |
0,3 |
|
|
0 |
— 0,3 |
— 0,428 |
— 0,514 |
0 |
|
|
|
0. |
|
||||||||||
|
|
0 ,7 2 8 |
— 0,086 |
- 0 ,2 1 4 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0,5Р |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eh |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0,728 |
|
|
0 |
|
— 0,214- 0 ,2 1 4 |
" |
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0,728 |
- 0 ,0 8 6 |
- 0 ,5 1 4 |
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
Симметрично |
|
|
1,456 |
|
0,3 |
|
0,3 |
— 0,214 |
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
1,456 |
0 |
— 0,086 |
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ,7 28 |
|
— 0,214 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ,7 28 |
|
|
0 |
|
|
||
Решением системы |
уравнений |
|
(4 .44) |
является |
вектор |
узлЬвых |
перемеще |
|||||||||||||||||
ний: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
= |
I* ]"1 Р{ }• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.45 |
|||
Гvx |
|
' |
Г |
1,2728 |
' |
|
|
|
0 2 |
|
|
|
1,9033 |
|
|
|
«3 |
|
|
Р |
— 0 .0692 |
1 |
|
< |
Vo . |
1,1090 |
(4 .4 6 ) |
||||
и4 |
f = ~пй<\ |
0,0066 |
' |
||||
|
|
Eh |
|
||||
|
0 4 |
|
|
|
0,7772 |
|
|
|
0 6 |
|
|
|
-1,0109 |
|
|
. ив J |
| |
0,3909 |
j |
|
|||
Н апряж ени я, отнесенные |
к'центрам |
тяж ести |
|
КЭ балки-стенки (рис. 38), |
|||
определяю тся |
из |
(4 .3 9 ). В |
качестве |
примера вычислим напряжения в центре |
|
тяж ести |
КЭ |
(4). |
Вектор |
узловы х |
перемещений КЭ формируется в соответ |
ствии с |
(4 .28) |
из (4 .4 6): |
|
|
|
|
Гиъ |
( |
О |
|
|
|
|
|
иА |
Р_ |
1.0109 |
|
|
|
< |
0,0066 |
|
(4.47) |
||
М ( 4 ) |
Eh 1 |
' |
||||
|
|
04 |
0,7 77 2 |
|
||
|
|
“в |
|
0,3909 |
|
|
|
|
VQj |
, |
о |
|
|
П одставляя вектор (4:4 7) |
в |
соотношения |
(4 .3 9 ), следует |
учесть, что |
область |
|
балки -стенки делится на |
8 |
треугольны х |
КЭ одинаковой |
площади, |
следова |
|
тельно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ а |
|
|
|
|
|
|
Д = 2т |
4 |
* |
|
|
Узловые координаты КЭ(4) принимаем в соответствии с рис. 39. В результате
получаем
|
|
1 |
0 |
|
0 |
|
/ |
/ |
|
4,114Е Р |
2 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
/ |
0 |
|
0 |
/ |
/ |
||
~ |
/ а h |
|
||||||
|
|
2 |
|
'2 |
||||
|
|
— 0 ,2 08 / — 0,206/ |
|
|||||
тху , |
0 |
0 |
0,208/ |
0 ,2 0 8 /, |
||||
|
, |
0 |
|
|
0,538 |
|
|
|
|
|
1,0109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0066 |
|
Р_ |
— 1,465 . . |
|
|
|
|
|
0 ,7 77 2 |
|
lh |
— 0,536 |
|
|
|
|
|
0,3909 |
|
|
|
|
|
|
0
Пример |
1 0 . Области прямоугольной |
формы хорош о описываю тся прямо |
|||
угольными |
КЭ. Важ но отметить, что по общему числу |
степенен |
свободы пря |
||
моугольный |
КЭ превосходит треугольны й, а это предопределяет лучш ее при |
||||
ближение |
к |
действительному напряженно-деформировацному |
состоянию . |
||
Если в треугольном КЭ деформации |
постоянны, |
то в прямоугольном они |
|||
являются линейными функциями координат. Поэтому для получения той же
точности можно обойтись |
меньшим |
числом прямоугольных КЭ. |
В то же время, чтобы |
получить |
сколько-нибудь удовлетворительные ре |
зультаты , нужно значительно сгустить сетку по сравнению с примером 9 даж е при прямоугольной разбивке. Сгущение сетки оборачивается стремительным повышением порядка разрешающей системы уравнений. Ф ормирование так ой системы и решение ее целесообразно и в большинстве случаев единственно возможно лишь на ЭВМ .
И так, двумерную область квадратной балки-стенки расчленяем на квад ратные КЭ (рис. 40). Номерами в скобках обозначены КЭ, узлы и КЭ,прону мерованы в восьмиричной системе счисления. Т акая нумерация предназна чена для введения исходных данных в программу автоматизированного рас-
, m I п /\ \г г т
25 |
26 |
|
21 |
|
,30 |
31 |
(15) |
|
(/б) |
22 |
(П) |
|
(20) |
20 |
21 |
|
23 |
|||
НО |
14 |
(12) |
/5 |
03) |
|
(14) |
13 |
|
|
16 |
|||
(5) |
|
(6) |
10 |
(7) |
и |
(10) |
6 |
7 |
|
|
|
||
1 (П |
2 |
(2) |
3 |
(3) |
4 |
(V |
Jк |
|
|
1 |
|
|
ц |
|
|
Рис. 40 |
|
|
||
| и и I I i щ |
|
I I и I |
||||
м1и*й9
|
|
Рис. 42 |
Рис. |
43 |
чета |
«Супер-76». |
М атериал балки-стенки |
изотропен; |
коэффициент Пуассона |
(ы = |
0 ,1 ; модуль |
упругостиЕ = 104 МПа. |
|
|
С учетом граничных условий и симметрии системы вектор неизвестных узловых перемещений содержит 24 компонента. Коэффициенты жесткости
рассчитываю тся по т^бл. 6 при отношении сторон = — = 1.
а
Автоматизированный |
расчет |
проведен |
по |
программе «Супер-76». В |
ре |
|||||||
зультате расчета на воздействие равномерно распределенной по верхней |
|
сто |
||||||||||
роне контура нагрузкир = |
100 кН /м при / |
= |
1 м и Л = |
0,1 |
м получены |
ис |
||||||
комые параметры напряженно-деформированного состояния |
(рис. 4 1). |
Н ор |
||||||||||
мальные |
напряжения в |
характерны х |
сечениях |
балки -стецк ц показаны |
для |
|||||||
центров тяж ести конечных элементов. |
довольно |
грубое |
приближение |
к дей |
||||||||
Сетка |
расчетной схемы |
4 X 4 |
дает |
|||||||||
ствительному напряженно-деформированному |
состоянию . |
Сходимость |
ре |
|||||||||
зультатов |
к точному решению подтверж дается |
расчетом |
п ри большей густоте |
|||||||||
разбивки на КЭ. Расчетная схема той же балки -стенки, расчлененная на 100
квадратны х КЭ |
(рис. 42), при'действии равномерно распределенной |
нагрузки |
|||||||||
той же величины приводит к картине напряж енного состояния |
(рис. |
4 3), |
ко |
||||||||
торую можно считать достаточно близкой к действительному |
состоянию , |
если |
|||||||||
Д л я М КЭ |
справедлив* известный |
критерий |
численных |
методов |
— |
||||||
при последовательном сгущ ении сетки |
разница |
результатов |
двух |
|
соседних |
||||||
шагов меньше, |
чем |
некоторая |
наперед заданная величина, расчет можно счи |
||||||||
тать выполненным |
с искомой |
точностью . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Глава 5. ПЛАСТИНЫ |
|
|
|
|
|
|
|||
§ 15. Основные гипотезы. Функционал полной |
|
|
|
|
|||||||
|
|
потенциальной энергии |
|
|
|
|
|
||||
Здесь рассматриваются |
тонкие жесткие пластины — пластины, |
||||||||||
толщина которых не превышает 1/5 наименьшего размера |
основа |
||||||||||
ния, а прогиб при изгибе — 1/5 толщины. На основе гипотез Кирх |
|||||||||||
|
|
|
|
гофа о пренебрежимо малой ве |
|||||||
|
|
|
|
личине напряжений, |
перпенди |
||||||
|
|
|
|
кулярных |
к срединной поверх |
||||||
|
|
|
|
ности пластины, и прямых норма |
|||||||
|
|
|
|
лях к той же поверхности |
по |
||||||
|
|
|
|
строена техническая |
теория |
из |
|||||
|
|
|
|
гиба |
пластин. Допущения, вы |
||||||
|
|
|
|
текающие из принятых |
гипотез, |
||||||
|
|
|
|
можно сформулировать следую |
|||||||
|
|
|
|
щим образом: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1. |
Напряжения о г% %хг, |
туя |
|||||
|
|
|
|
(рис. |
44) |
пренебрежимо |
малы |
||||
|
|
|
|
по сравнению с основными на |
|||||||
пряжениями |
о х, |
о у, чху. |
Поэтому при решении задач полагают |
||||||||
~^хг == ^уг = Q*
2.Перемещения в направлении оси z постоянны по толщине
пластины и равны прогибам срединной поверхности, которая не
испытывает деформаций в своей плоскости. Это |
допущение |
спра |
||
ведливо, если внешняя нагрузка ортогональна |
к координатной |
|||
плоскости пластины |
ху. |
|
|
|
Функционал полной потенциальной энергии (1.86) изгибаемой |
||||
пластины при таких допущениях принимает-вид |
|
|
||
n = i |
j (Мхях + |
Муку + 2МхукХу) dQ — jjp (х, у) wdQ, |
(5.1) |
|
2 |
g |
fi |
|
|