Метод конечных элементов

Изгибающие моменты и поперечные силы в узлах расчетной схемы опре­ деляют так же, как в примере 7. Так, для КЭ (/)

О\ 11,94 кН Г

Эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил представ­ лены на рис. 34,д—ж.

Глава 4. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

§ 11. Основные гипотезы. Функционал полной потенциальной энергии

Плоская задача теории упругости рассматривает два частных случая напряженно-деформированного состояния — плоскую дефор­ мацию и плоское напряженное состояние. В обоих случаях все па­ раметры напря>кенно-деформированного состояния зависят лишь от двух координат, т. е. рассматриваемая область двумерна. Посколь­ ку основные соотношения плоской деформации и плоского напря­ женного состояния отличаются лишь упругими константами, решение плоской задачи теории упругости методом конечных эле­ ментов рассмотрим на базе плоского напряженного состояния.

При расчете пластин, нагруженных в своей плоскости, МКЭ исходит из общепринятой гипотезы об отсутствии напряжений в плоскостях, нормальных к срединной плоскости пластины. Тогда функционал (1.30) полной потенциальной энергии для плоского напряженного состояния записывается в следующем виде [(1.35)]:

нейные перемещения точек срединной плоскости пластины по направлению осей х и у соответственно; рХУ ру— компоненты век­

тора внешней нагрузки по направлениям осей х и у соответственно; dQ, dL — бесконечно малый элемент двумерной области, контура.

Для плоской задачи теории упругости векторы перемещений и внешней нагрузки двумерны, а векторы напряжений и деформа­ ций содержат по 3 компонента:

Уху

Для изотропного материала основные соотношения плоского напряженного состояния можно представить в матричном виде:

Соотношения (4.3) и (4.4) компактно записываются в матричных символах:

где [Е ] — матрица упругости; ID] — матрица дифференцирования. Теперь функционал полной потенциальной энергии пластины, на­ груженной в своей плоскости, можно представить в компактной

форме:

ВL

Выражение (4.6) кладут в основу построения матриц жесткости КЭ двумерных тел в плоском напряженном состоянии.

§ 12. Прямоугольный КЭ

Простая геометрическая форма прямоугольного КЭ (рис. 35) представляет значительные выгоды при решении задачи о построе­ нии матрицы жесткости. В этом случае выражения для коэффи­ циентов функций, аппроксимирующих перемещения вдоль коор­ динатных осей, становятся намного удобней, а сами эти функции

легко представить в виде набора координатных функций простой структуры.

Как уже известно, для построения матрицы жесткости нужно задать аппроксимацию перемещений по области КЭ и увязать ее со степенями свободы. По виду функционала полной потенциальной энергии (4.1) и (4.6) можно заключить, что для его существования функции перемещений и (х, у) и и (х, у) должны содержать члены не ниже 1-го порядка. Линейный полином от двух переменных включает в себя 3 члена. Сопоставив форму КЭ, где естественно назначить 4 узла в вершинах прямоугольника, с необходимым чис­

КЭ следует составить из восьми компонентов, которым приводятся в соответствие 8 узловых реакций в дополнительных связях по на­ правлениям степеней свободы (рис. 35):

Матрица жесткости КЭ будет содержать коэффициенты соотноше­ ния между вектором узловых реакций и вектором узловых переме­ щений:

Следовательно, для построенного прямоугольного КЭ пластины

выполнить то же Для 2-го узла и последующих, то в результате сфор­ мируется система четырех линейных алгебраических уравнений относительно постоянных коэффициентов осt (i = 1, 2, 3, 4):

Вид системы лилейных алгебраических уравнений относительно a? (i = 1, 2, 3, 4) говорит о том, что аппроксимация перемещений (4.7) содержит еще одно допущение: перемещение и (х,у) зависит лишь от горизонтальных перемещений узлов их, и2, и3, ы4, а пере­ мещение v (х, у) — лишь от vlt v2, v3, у4. Поэтому достаточно опре­ делить коэффициенты а с (t = 1, 2, 3, 4), а коэффициенты функции

Операция (4.11) позволяет выразить аппроксимирующие функции (4.7) в виде, удобном для получения коэффициентов жесткости в соответствии с выражением (2 .22):

координатные функции, которые являются переменными коэффи­ циентами при степенях свободы, полученными в результате под­ становки решения (4.11) в выражение (4.7). Каждая из таких функ­ ции описызаег распределение перемещений по области КЭ, когда соответствующее узловое перемещение равно единице, а все осталь-

В старой системе координат после подстановки соотношений (4.14)' в выражение (4.16)

Нетрудно убедиться, что полученная координатная функция от­ вечает всем исходным предпосылкам: достаточно сопоставить функ­ ции (4.13) и (4.17). Функции вида (4.17), образованные как произ­ ведения линейных многочленов, будем называть полилинейными. Аналогично можно получить и остальные координатные функции. При этом следует помнить, что в силу исходных предпосылок ко­ ординатные функции при узловых перемещениях в направлении оси у повторяют форму тех же функций при узловых перемещениях в направлении оси х.

Построение аппроксимирующих перемещений в форме (4.12) Представляет собой наиболее ответственный этап вывода матрицы жесткости и решения всей задачи о напряженно-деформированном состоянии пластины из изотропного материала в плоском напря­ женном состоянии. Затем можно пол\чигь коэффициенты жестко­ сти — путем формального приложения ранее полученного выраже­

маций (4.4) по области КЭ в случае, когда узловое перемещение под номером i равно единице, а все остальные степени свободы равны нулю; {г}/ (/ ==■ 1, 2, ..., 8) — вектор деформаций (4.4) по области

.КЭ в случае, когда узловое перемещение под номером / равно еди­ нице, а все остальные степени свободы равны нулю.

Выведем, например, один из элементов матрицы жесткости: реакцию, возникающую в узле 1 по направлению оси х от единич­

= (е}И1, который соответствует деформированному состоянию по области КЭ от единичного перемещения иъ когда все остальные уз­ ловые перемещения равны нулю. В этом случае вектор аппроксими­

Как видно из соотношений (4.25), напряжения по области КЭ являются линейными функциями координат. В центре тяжести КЭ

§ 1 3 . Треугольный КЭ

Как ранее было отмечено, для существования функционала полной потенциальной энергии аппроксимирующие функции пере­ мещений,должны содержать члены не ниже 1-го порядка. Линейный полином от двух переменных содержит 3 члена. Это число хорошо согласуется с числом вершин тре­

угольного КЭ (рис. 37).

Примем линейный закон распре­ деления перемещений вдоль коор­ динатных осей Ху. у и зададим аппррксимирующие функции переме­ щений в виде линейных полиномов:

треугольного КЭ следует иметь по 2 степени свободы. Эти степени свободы получают четкий физический смысл: линейные перемеще­