Механика композитных материалов 1 1979
..pdfПосле аналогичных преобразований имеем:
Uc = Cl2T7 + C22T8+ A l2T9 + A22Tu)+ B l2Tu -\-B22Tl2 + 2(C2B2Txz- C xBxT{A)\
(1.9)
цш= (Сх2 + С22)Т]5 + {А{2 + А22) Т ]6 + {B12-\-B22)T17 + 2( A1CI +А2С2) Г18-
— 2(В\С\— В2С2) Т19;
здесь
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т г - г |
£ |
[ |
( J |
|
E |
^ |
+ Zi{zf) |
)ш%„г + ^ а |
, , - ] |
|
|
|
|||||
Гв= г |
£ |
{ [ |
|
|
|
|
+ г(г,Ч г] m W |
+ |
г . - ^ . , » |
}; |
г — g ^ - ; |
|||||||
Z\ = EicFtc\ |
z 2 |
GicIKp.cl |
; |
an/1= j'js in 2/!^,-; |
g»,2 = |
V 1 |
cos2/iB.: |
|
||||||||||
= — |
— J— |
/ , |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^9= ^ , 2Zim2a„/2; 7,0= ^ |
|
zz{m2ani]\ |
Tn = |
zz2mzaniu, |
^12= ^ |
|
zz2m2onl2\ |
|||||||||||
1=1 |
<S |
|
|
|
/=1 |
|
Z |
|
|
/=!' |
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш/ |
/ |
|
|||
Т\з= 2 |
|
zz2m2noni2\ Г и -2 ]Т , |
гг2 т2пап,'\Тм = гл |
У*. { [ — |
|
|||||||||||||
|
i |
Н Л . Ш |
( 1 - |
|||||||||||||||
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
/ = 1 |
|
|
|
|
/=з |
|
|
|
Я2 |
|
|
- n 2) 2 + |
г 4 ( 1 - д 22 /ш ) 2 ]| Om/1+ 2 5m 2;i2g m/2 |
г 3 = |
^ ^ - ; |
|
ZA= E IWF Iui\ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
_/ |
|
|
4 |
|
|
||
^■5= |
^ |
|
|
0>n/1 = X |
sin2ma,-; |
|
|
7,16Tifi= 2 |
i^5/J2a)),r; |
|||||||||
|
|
|
a,„r = 2 |
jCOs2ша,-; |
||||||||||||||
|
Я2 |
|
|
|
J |
|
|
|
|
^ j c o |
|
|
У*, |
|
|
|||
|
|
|
1 = 1 |
|
|
|
|
1=1 |
|
|
/= 3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
^17= ^ |
23z4« 2<W; |
7i« = 2 V , z ^ m |
n 2G m, 2\ |
Г,9 = 2 |
У ,г 3гЛ 1- л 2г/ш) но,,,/1 |
|||||||||||||
1 = 3 |
|
|
|
|
|
|
1= 3 |
|
|
|
|
1= 3 |
|
|
|
|
|
С учетом (1.1), а также соотношений для перемещений срединной по верхности обшивки выражение, характеризующее работу внешних сил, значительно упростится и после интегрирования приобретет вид:
где |
|
|
|
А = — С\2оТ2Q— С^оТ2\, |
|
( 1. 10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
бш4 |
т2 |
|
FfOru2', |
_ |
бш2л |
ш |
|
7го= ——— Ь- |
4RMp |
“ |
Г 21 |
= — г"----- Ь |
2/?'ф |
X J |
||
|
4\|э |
|
|
4-ф |
||||
|
|
|
/=1 |
|
|
|
/=i |
|
После подстановки (1.8) |
—(1.10) в |
(1.2) |
и применения обычной проце |
дуры энергетического метода задача отыскания критических напряжений общей потери устойчивости подкрепленной композитной оболочки сво дится к решению относительно а двух уравнений:
«11 |
«13 |
«15 |
|
«22 |
— «13 |
«15 |
«13 |
«33 |
«35 |
= 0; |
— «13 |
«44 |
«46 |
«15 |
а 35 |
«55 — 2 о Т 2о |
|
«15 |
«46 |
а 6б - 2 а Г 21 |
7* |
|
|
|
|
|
99 |
Здесь приняты |
обозначения: |
ап =2(7'I H-T9H-7'I6) ; |
axz= —2TA\ ai5 = |
|
= — 2 ( Г 5 — Т |
; |
а22 = 2 ( Г 1+ Гю + Т'ie); ^33 = 2 (T,2 + 7,II + 7 I7); CL^ = 2 ( T Q~ |
||
— Тц — Т19); |
044 = 2 (Г2 + Г 12 + Г 17) ; |
046= —2(Гб —Г13 — |
; 055 = 2(7’з+ 7’7 + |
+ Г15); абб = 2(Гз + Г8 + Г15). Из уравнений (1.11) определяем два возмож ных решения, характеризующих величину а, соответствующую условию потери устойчивости системы:
O55 (я11Язз—я1з2) + 2а1За 15035 —а 11а352 —а35а 1s2 27^20 (^i 1^33 —^i32)
|
( 1. 12) |
|
o'zi |
^6б(^22а44—ai32) —2ai3ai5a46—а22а462—Я440152 |
|
-------------------------------------------------------------2Г21 (a22^44—a132) |
||
|
Взависимости от соотношений между числом подкрепляющих ребер
ипараметрами волнообразования возможны /( = 15 случаев потери устой чивости многослойной подкрепленной композитной оболочки. Подробно
они рассмотрены в3. Здесь же отметим, что так как величины a(j) зависят и от величин входящих в (1.12) параметров т 0, п, то критическое напря жение aiKp, соответствующее всем рассмотренным выше случаям потери устойчивости, находим как минимальное значение о по параметрам вол нообразования mo, я и /1:
aiKp = min min min (a<J>), |
(1-13) |
(M(m0, n) (j=I, 2) |
|
где a(j’) определяем из (1.12). При определении критических напряжений осевого сжатия для подкрепленных композитных оболочек, усиленных ребрами достаточно большой жесткости, кроме случаев деформации, описываемых формулами (1.12), (1.13), необходимо рассмотреть и мест ную потерю устойчивости полимерной панели, когда последняя защем лена либо на «сильных» ребрах — случай t= 1, либо на «слабых» — / = 2. Для нахождения величин критических нагрузок, соответствующих этим двум случаям деформирования, воспользуемся изложенной ранее методикой, принимая для компонент перемещений следующие выра жения3:
и = A sin 2dta(\ —cos 2М/(3); |
v = B (1 —cos 2dta) sin 2 |
|
|
|
( l . H ) |
w = C( 1—cos 2dta) (1 —cos 2n<(3), |
||
где dt= jitys2+t{k2+t + 1); |
kt |
|
nt= st -^\ s2=/b kxsb\ s4=^= (k{ + l)s6; s,,s2, ,sc = |
||
= 1,2,3,.. |
|
|
Используя формулы |
(1.2) — (1.6) |
и выполняя преобразования, анало |
гичные ранее рассмотренным, получим выражения для определения вели чины критического напряжения «панельной» потери устойчивости под крепленной композитной оболочки:
|
|
a' 11 |
я'12 |
a'13 |
|
|
|
a'12 |
a' 22 я'23 |
(1.15) |
|
02= min Gt\ |
|
я' 13 |
я'23 |
я'зз |
|
<Jt |
|
||||
a'зз(а/ца/12 — |
|
||||
(f= l,2) |
|
|
|
a'i22 |
|
100
Здесь приняты следующие обозначения: |
я'и —3— Сц (dmt)2 + С66(п,)2Х |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
X ( - | ) |
+ I |
J [ |
|
(rfm«)2CT,„ ] |
+ ^ - ( и , ) 2 1 1 |
С/Ш/1ф.ц/ |
|
C L' 22 = |
||||||||||||
|
|
|
Я2 |
СГгпг; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/(бб |
, |
У^е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=" ^ [ ЗС2!(л' ) 2 + ( Си+ |
2 «66 |
+ " ^ ) |
(dm,)2] + |
^ |
G| ^ |
|
— |
х |
||||||||||||
X(dm,Vo2n + 2 2 J |
[ - ^ ) Е‘mF‘m(ni) 'OimJ |
|
|
|
|
|
|
Л |
Г , ^11 |
, , |
ч. |
|
||||||||
|
|
|
а ' 33— |
|
|
|
|
+ |
||||||||||||
|
|
|
/=3 |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е)о2 |
|
Z)g6 |
( ^ |
|
9 |
/ |
2/Со2 |
|
^ |
- |
\ |
D\2 |
|
|
|
|||||
+ 12-J-(/2<)4+ |
1 |
8 ^ |
) 2 + T |
( C 22 + - ^ |
|
+ |
|
) |
+ 8 - ^ Х |
|
|
|||||||||
У?2 ч" 1/ |
‘ |
” |
R 2 |
|
|
|
|
|
У? |
|
|
R2 |
I |
' ~ R2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
К\2 |
D12 |
) _ 6 |
К22 |
+ |
D-J |
|
|
|
|
|
|||||
X { d m i n i ) 2 - Q ( d m t ) 2 |
( |
^ . |
^2 |
( _ ^ * |
|
Л2 |
) |
(Л,)2 ] |
|
|
|
|||||||||
|
Л |
|
|
|
+ щ |
х |
||||||||||||||
X Y |
[ ( |
^ с/из.сг |
|
|
|
|
|
G/c/кр.сг |
|
1 |
|
4л |
|
|||||||
£ 'д Г С' +zi?EfF? |
){dmty o ,„ + |
|
R2 |
(dmirii)202n J |
+ - ^ - X |
|||||||||||||||
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X Y J [ 2 («<)4 (г,ш£ 1ш/г1ш + £ 'Ш^ ‘'ЗШ) -(«< )2( Е ^ г Г + |
Е{*‘™** ) + |
|
||||||||||||||||||
1=3 |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
8л |
/л |
|
„ чя^ шЛ{р.шг |
а |
33 = |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
oi»i4 |
FT^LJ |
\dmt^t) |
|
У?2 |
02m i |
|
|||||||
+4 ( |
|
|
|
|
|
|
] |
|
я " 1=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
' X i |
^ |
С0Г>" ; |
|
( |
р |
|
( |
|
|
|
У? |
|
|
|
|
|
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ф |
|
|
C l 2 + l |
f |
) |
(dml) - 2 ^ - { d M ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X {dmtfii2) ] |
----- ^ — Y ' i \ ( d m , ) 2ZicE i cFi co \ n \ + 4 { - ^ i |
X J |
(d mt n t2) X |
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
^ |
Ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
1-3 |
|
|
|
|
ОЛЛф.ш1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
; |
а'23=2 |
( |
T |
) [ |
т ( C22+_X " ) |
,1' _ 6 |
( ~ 7 Г ) (п,)3 |
" |
|||||||||
Кев |
D66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|||
( n td mt 2) |
— 2 |
^12 |
( t lt dmt ) 2 |
j + |
|
|
|
|
|
X |
|
|||||||||
А |
R |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101
|
G f l w J |
*» |
|
|
|
|
|
I J |
й^(п,У+ |
Ы Е ^ ] а 1т-, |
a,„ = |
||
X |
|
°2' |
||||
|
1=3 |
|
|
|
||
|
|
|
ft. |
|
|
|
= |
^ |
sin2 2/i,pt-; |
0 2 n— |
cos2/г,р,-; aim= |
sinin2 dml&i- |
02»i — |
|
|
|
i=l |
|
г=1 |
|
LC O S 2 d m t O L i .
Таким образом, параметр критического напряжения потери устойчи вости подкрепленной многослойной композитной цилиндрической обо лочки находим как минимальное значение Огкр:
|
Окр= |
min (OiKp) |
|
|
||
|
|
|
(i=l,2) |
|
|
|
или с учетом соотношений (1.13), |
(1.15): |
|
|
|
||
|
o/Kp= min[min |
min min aj, |
min |
min a<], |
(1.16) |
|
|
(fj) |
(m 0,n ) ( j = l ,2) |
(1 = 1 ,2 ) |
(m 0 , n ) |
|
|
где выражения для a' и ot задаются формулами |
(1.12) —(1.15). |
|
||||
2. |
Переходим к оптимальному проектированию оболочек. В качестве |
функции цели при нахождении оптимального проекта выбираем минимум массы конструкции — М. К параметрам оптимизации отнесем толщину оболочки б и ее s композитных слоев б,-, а также геометрические харак теристики подкреплений. Естественно, что при этом найденный оптималь ный проект будет иметь смысл лишь тогда, когда полученное решение не противоречит возможности его реализации. С этой точки зрения при на личии перекрестной полирегулярной системы ребер нельзя в качестве параметров оптимизации подкреплений задавать их высоту и толщину. Это объясняется тем, что при численной реализации такие характерис тики ребер большей жесткости, как Fсй, /„З.сб, /кр.сб, Ешб, /из.шб, /кр.ш6 включают соответствующие величины как «сильных», так и «слабых» стрингеров и шпангоутов, т. е.:
/У5= /V + f 2с; Fшб = /Vй + /74ш; /иэ.с6= /из.с(1)+ /из.с(2);
( 2. 1)
1 1 1 3 . = I из.ш^* Ч- I и з . ц Ч ^ / к р . с 6 = - Л ф .с ^ Ч- Л ф . с ^ > ^кр.ш ° = /к р .ш ^3^ 4 “ /к р .Ш ^ -
Поэтому необходимо в этих сечениях применять подкрепления, характе ризующиеся, как минимум, тремя параметрами (например, уголкового сечения). Таким образом, оптимизация предлагаемой модели осуществ ляется в два этапа. На первом этапе, полагая, например, что ребра имеют прямоугольную форму, находим величину функции цели с учетом всех ограничений. Затем, считая размеры, число, а следовательно, и пара метры F2‘, Е4Ш, . . . , /,ф .с(2), /кр.ш(4) подкреплений найденными, переходим к определению геометрических характеристик ребер большей жесткости, для чего задаем их форму в виде уголкового профиля, удовлетворяющего уравнениям (2.1). Разрешая эти уравнения относительно неизвестных, обеспечивающих изготовление данного профиля (размеры полок, тол щина), затем полностью определяем искомый проект.
Таким образом, задаваясь величинами Я* = /io76of (h0— высота, а 6о толщина соответствующего модельного ребра) в качестве параметров оптимизации ребер достаточно выбирать площади их сечений — Fic, /V,
102
Ft"1, F4Ш. Пренебрегая величинами более высоких порядков малости, по лучаем выражение для целевой функции G(x):
|
s+l |
|
G{x)=L ( 2лR2 Z Xi\i + |
z z Xs+i+iyf |
+ |
i=i |
1=1 i=l |
|
' s+3 |
|
|
+ 2л Z J Z*»+4+JY1ш(К + г1ш), |
( 2.2) |
|
1 = 3 1 = 1 |
|
|
где G(x)=M/pi; p,- — удельные плотности полимеров, из которых изго
товлены слои оболочки; |
х={х\,Х2 , , л:й+8} — вектор |
параметров опти- |
|
6 |
б' |
*= 2’3’ • >5: **+i =k\\ xs+2 = k2\ |
xs+3 = kz\ JCs+4 = |
мизацни; |
Xi = ^~ |
||
=h\ xs+5 = Fle\ |
X s+6 = F2v\ X s+7 = Fz™- xs+&= F4m\ (у,-, YC,Уш} |
pi
3. На оптимизируемую функцию G(x) накладываются ограничения трех типов — устойчивости, прочностные и геометрические (к последним будем относить и ограничения технологического порядка). В общем виде эти ограничения запишутся следующим образом:
Ограничение по потере устойчивости рассматриваемой конструкции, с учетом соотношений (1.16), запишется в виде:
____________ N_______ _____
#1 = 1 — |
(3.1) |
СГкр ( 2 j l R X [ + X , S+ I A:.S+ 5 + |
X S-|-2X,S-H5) |
где N — величина сжимающего осевого усилия. Оптимизацию будем про водить для оболочки, «сильные» ребра которой имеют уголковый про филь, а сечения слабых являются прямоугольными. Так как ограничение местной потери устойчивости многослойной композитной панели вклю чено в соотношение (3.1), то перейдем к выводу ограничений по местной устойчивости аксиальных ребер. Для этого достаточно вывести ограни чение, характеризующее местную потерю устойчивости «слабого» стрин гера.
«Слабый» стрингер будем рассматривать как сжатую в одном направ лении длинную пластинку, три стороны которой закреплены шарнирно, а четвертая свободна. Подробно эта задача рассмотрена в6. Здесь же приведем вытекающее из ее решения ограничение по местной потере устойчивости аксиального подкрепления:
(7t2c)2(l-V2c2)jV |
(3.2) |
|
# 2 = 1 - 2 , 6 7 |
|
|
(2 jt/? X i + X I+ S,V5-|.S + |
A:2+.SA:6+S ) Е 2е |
|
В постановке задачи уже отмечалось, что оптимальный проект будем отыскивать для композитной оболочки, материалы слоев и подкреплений которой работают в упругой области. В связи с этим естественно при оптимизации ввести в рассмотрение и ограничение по прочности на тор цах системы. Однако в случае, когда оболочка изготовлена из композит ных материалов, вывод общих соотношений, характеризующих границы их упругого поведения, сопряжен со значительными, а порой с нераз решимыми трудностями, так как в настоящее время не существует при емлемой общей теории, описывающей предельное состояние композита2. Поэтому, решая оптимизационную задачу на устойчивость многослойной подкрепленной композитной оболочки, ограничимся случаем, когда
103
оптимальном проекте реализуется уже не один из частных, а общий слу чай потери устойчивости системы, что и позволяет получить значительный выигрыш в массе. Полученные результаты убедительно свидетельствуют о целесообразности проведения комплексных исследований по оптимиза ции композитных тонкостенных конструкций, усиленных различными системами подкреплений.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Рикарде Р. Б., Тетере Г А., Цыпинас И. К. Синтез оптимальных цилиндрических оболочек из армированных пластиков при внешнем давлении и осевом сжатии. — Меха ника полимеров, 1972, № 2, с. 301—309.
2.Рикарде Р. Б., Тетере Г А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. Рига, 1974. 308 с.
3.Устойчивость при осевом сжатии цилиндрической оболочки, усиленной двумя пере
крестными системами ребер. — В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений, 1976, вып. 28, с. 17—28 (Киев). Авт.: И. Я. Амиро, Г И. Диамант, В. А. Заруцкий,
В.И. Мацнер.
4.Амиро И. Я-, Заруцкий В. А., Поляков П. С. Ребристые цилиндрические оболочки.
Киев, 1973. 213 с.
5. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 448 с. |
|
6 . Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М., 1967. 984 с. |
для опти |
7. Волынский Э. И., Почтман Ю. М. Алгоритм метода случайного поиска |
мизации стержневых и континуальных систем. — Строит, механика и расчет сооружений, 1974, № 5, с. 27—30.
Днепропетровский инженерно-строительный |
Поступило в редакцию 24.05.78 |
институт |
|
УДК 624.074.4:678.5.06
М. А. Колтунов, Б. И. Моргунов, Л. Ф. Петров
ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОРОТКОЙ ВЯЗКОУПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
Рассмотрим короткую цилиндрическую оболочку, выполненную из ортотропного материала, наследственные свойства которого описываются линейной теорией вязкоупругости1. Торцы оболочки считаются жестко защемленными и закрытыми заглушками. Эта конструкция подвергается действию всестороннего внешнего давления, зависящего от времени по гармоническому закону. Для описания движения рассматриваемой обо лочки воспользуемся нелинейными уравнениями типа Кармана2. Приме нение метода Бубнова—Галеркина и замена упругих модулей времен ными операторами наследственной теории вязкоупругости позволяет свести рассматриваемую задачу к исследованию периодических решений следующего интегродифференциального уравнения:
ij(t) +o)o2f/= coo2f/Q cos (at— 26y — V\yz + |
|
|
t |
t |
|
+ v2 J R(t — s)y{s)ds + v2 J R(t — s)y3{s)ds. |
(1) |
|
—oo |
—oo |
|
Здесь со, Q — частота и амплитуда внешнего возмущения; б — коэффи циент, учитывающий потери энергии при колебаниях оболочки; со02, щ, п3 — постоянные, которые определяются при применении процедуры Бубнова—Галеркина к исходной системе уравнений; R — ядро релакса
ции вида3:
R(t)=Ae~litta- 1; 0 < а< 1 ; Л > 0; |3>0. |
(2) |
Наше рассмотрение относится к случаю, когда в (1) слагаемые в пра вой части малы по сравнению с левой частью, т. е. принимаются малыми амплитуда возмущения Q, коэффициент б, а также вязкость материала оболочки.
Как известно4, в системах типа (1) резонансные колебательные ре жимы, соответствующие минимальной амплитуде внешнего возмущения Q, возникают при выполнении резонансного соотношения
2 ( O ~ |
CL>O . |
( 3 ) |
Поэтому периодическое решение (1), соответствующее условию (3), бу дем искать в виде:
*/= /cos ( - |^ + ф)
где / и ф — амплитуда и фазовая расстройка резонансных колебаний. Ограничиваясь расчетом резонансных режимов в первом приближении, преобразуем интегральные члены в (1), используя процедуру заморажи вания5:
t
I R{t-s)y{s)ds = Rc |
^ |
(4) |
106
j R{t-s)y*(s)ds = y3Rc( ^ ) + ^ г » /3Я*( ^ - ) + —00
( 5 )
Здесь
Ле_р* |
Г (a) cos ^ aarctg — j |
<*- M1—a cos ptdt = A |
(p 2 + p 2 ) a / 2 |
f Ae~v |
Г (a) sin (aarctg-j* ) |
|
|
Rs(p)= J — j ^ — smptdt = A |
(P2 + p2)“/2 |
|
Г — гамма-функция-
Переходя в (1) от у и у к новым переменным f и ср и используя выра жения (4), (5), получим систему двух дифференциальных уравнений от носительно / и ф:
• |
2/ |
|
Г |
со2 |
1 |
2со°2 |
|
|
/ = ----sin ф cos ф |
ш02-------- |
+ -------р/ cos ф sin ф— |
|
|||||
|
со |
|
L |
4 |
J |
со |
|
|
|
2coo2/Q |
sin ф cos ф cos (at — 2bf sin2 ф+ |
|
|||||
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
2и4 |
|
|
|
со |
|
( 6) |
|
|
со |
Р sin ф cos3 ф+ 1'5----Р sin4 ф; |
||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
о Г о |
®2 |
1 |
2соо2 |
„ |
2coo2Q |
|
|
ф= — cos2 ф1 ©о2---- — |
J |
Н-------- р cos2 ф--------------- созфсозсо^ — |
||||||
со |
L |
4 |
со |
|
со |
|
|
|
|
|
|
2и4р |
|
v5рсо2 |
cos ф sin3 ф, |
||
—26 cos ф sin фН----------- cos4 ф— |
|
|||||||
где |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф- f - « |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D.= u ,-/? c(- ^ -)t> 3; |
vs= v3^ - R , ( ^ - ) |
|
|||||
28-28 + /?, ( Д |
) ^ |
8 + - ^ - р [ л . ( ^ - ) + « « ( - |) |
] |
Отметим, что правые части (6) являются малыми величинами, т. е. система (6) имеет стандартную форму4. Поэтому заменим ее правые части их средними значениями по быстрой фазе ф и получим усредненные уравнения первого приближения, соответствующие (6):
1 |
сoo2Qf |
cos |
|
|
3 |
. |
|
|
1 Г |
со2 I |
соо2р |
/ = |
------------со |
cpsincp-6/ + — |
у5со2/3; |
Ф= — [ 0)0 |
---- 4 ~ J + ' |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2coo2Q |
Г |
1 „ |
1 . 2 |
|
1 |
, 3 |
Г |
,7Ч |
|
|
--------- |
гл |
L |
— cos-cp----—sin2 ф |
J |
+ — v4---- |
со |
(7) |
||
|
|
|
4 |
4 |
|
4 |
|
107
Стационарные резонансные значения /о, Фо амплитуды колебаний f и фазовой расстройки ф приближенно определяются как точки покоя усред ненной системы (7):
шо2Q |
sin 2ф0 М -f-А7/о2 — 0; |
(002Q |
cos 2фо + Р + Qi/o2—О, ( 8) |
|
2со |
2ш |
|||
где |
|
|
Sv34(0 Rs ("2(О ); |
|
|
|
N = - |
|
|
|
4(0 |
(0 |
(T); |
|
|
4o)o2 —(й2 |
(00 |
|
|
3v3 |
(Oo |
|
|
|
Qi = |
|
|
|
|
4(o |
|
|
|
|
Решение системы (8) имеет вид: |
|
|
|
|
|
- (PQi+ЛШ) ±-|/^2(Af2+ Q12) _ (Q,M_iVP)2 |
|
||
|
|
N2 + Qiz |
|
|
|
(o04Q2 |
|
M + iVfo2 |
(9) |
|
|
|
||
|
4(o2 ’ |
|
P + Qifo2 )• |
|
С помощью соотношения (9) строятся амплитудно-частотные харак теристики (графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздействия) и исследуются зависимости резонансных колебаний от характеристик внешнего воздействия и от наследственных свойств материала оболочки. Результаты численных расчетов приведены на графиках.
На рис. 1 представлены амплитудно-частотные характеристики для различных параметров а трехпараметрического ядра (2). Кривые а, Ъ соответствуют значениям а = 0,2 и а = 0,4, кривая с изображает ампли тудно-частотную характеристику соответствующей (1) упругой задачи. При расчетах принималось 6= 0,01, Q=l,lQo (0,05; 0,2), где Q0(-^,a) — минимальная амплитуда внешнего возмущения, при которой уравнение
(1) имеет нетривиальное стационарное решение для заданных парамет ров А и а ядра (2). Исследование устойчивости найденных стационарных резонансных режимов показывает, что колебания, соответствующие верх ней ветви амплитудно-частотной характеристики, являются устойчивыми, а колебания, соответствующие нижней ветви, — неустойчивыми.
На рис. 2 приводятся амплитудно-частотные характеристики для различных значений параметра А ядра релаксации (2). Кривые а, b, с
Рис. 1. |
Рис. 2. |
108