Механика композитных материалов 1 1979
..pdfМЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 1, 79—85
УДК 624.074.4:678.5.06
А. Ф. Крегер, Г А. Тетере
ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ
В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ
Дальнейшее повышение устойчивости конструктивных элементов из композитов связано с разработкой и оптимизацией пространственных схем армирования, которые могут устранить ряд существенных недостат ков традиционных двухмерно-армированных композитов, в частности слабое сопротивление слоистых пластиков межслойному сдвигу и попе речному деформированию. Наряду с решением технологических задач важное место в этом направлении занимает развитие методов расчета и оптимизации пластин и оболочек из композитов с пространственной схе мой армирования. Решение поставленной задачи принципиально невоз можно на базе классической теории Кирхгофа—Лява, так как гипотезы этой теории приводят к плоскому, двухмерному напряженному состоя нию, что вызывает потерю информации о пространственной работе ма териала. Только уточненные теории, учитывающие поперечные сдвиги1-4 и деформирование в поперечном направлении4, могут служить основой для оценки эффективности пространственного армирования.
В настоящее время точныё методы определения деформативных характеристик пространственно армированного композита по известным характеристикам его компонентов отсутствуют. Однако в работе5 пред ложен соответствующий приближенный метод; сопоставление теоретиче ских расчетов, проведенных по этому методу, с результатами экспери ментов6 позволяет сделать вывод о применимости его для определения деформативных характеристик композита с произвольным пространст венным армированием прямыми или кусочно-прямыми волокнами.
В данной работе на основе теории устойчивости трехмерных деформи руемых тел4, уточненной теории устойчивости оболочек из композитов1-3 и метода определения деформируемости пространственно армированных композитов усреднением жесткостей5 решены некоторые задачи оптими зации структуры материала в пластинах, оболочках и трехмерных телах, причем считается, что потеря устойчивости наступает раньше, чем разру шение материала.
1. Деформативные характеристики композита произвольного про странственного армирования прямыми волокнами определяем при по мощи математической модели, в которой каждое отдельное направление армирования представлено стержнем соответствующей ориентации5. Объем такого однонаправленно армированного стержня определяется как сумма объема арматуры данного направления и расчетного объема связующего. Принято, что общее количество связующего распределяется по отдельным направлениям пропорционально объему арматуры соот ветствующего направления. Жесткость композита AapV6 определяется пу тем усреднения жесткостей отдельных стержней, приведенных к выбран ным осям композита х, у, z :
N
А (1)а руб' l-Hi
где |Х2= 2 \L i\ \ц=Ув.м/У\ A a № {i)=AkimTi(i)lhJifilmvln6\ k,l,m,n 1,2,3 — t'= 1
79
|
|
оси, связанные с |
направлением |
||||
|
|
армирования; |
а, (3, у, 6= х, у, z |
— |
|||
|
|
оси, неподвижно связанные с ма |
|||||
|
|
териалом; N — количество диск |
|||||
|
|
ретных |
направлений |
армирова |
|||
|
|
ния; р,г |
коэффициент объемного |
||||
|
|
армирования |
i-ro |
направления; |
|||
|
|
РЕ — суммарный объемный коэф |
|||||
|
|
фициент |
армирования; |
Ра(1) |
— |
||
|
|
объем арматуры t-ro направле |
|||||
Рис. 1. Ориентация |
однонаправленно |
ния; V — объем композита; lha |
|
||||
армированного стержня |
в пространстве. |
косинус угла между осями k и а. |
|||||
|
|
Амтп^ |
определяется (теоретиче |
ски1 или экспериментально) из соответствующих свойств матрицы и арматуры (*'-го направления) как для однонаправленно армированного композита при коэффициенте армирования, равном р^.
Задачу оптимизации свойств материала сформулируем следующим образом: для заданных усилий и геометрии изделия следует определить необходимое количество направлений армирования N, их ориентации (0 фг) в пространстве л;, у, z (рис. 1) и объемные коэффициенты армиро вания pi таким образом, чтобы данная конструкция в определенном смысле была бы оптимальной. В данной работе оптимальной будем счи тать такую структуру, которой соответствует максимальное значение кри тической нагрузки.
Рассмотрим 11 различных структур композита, показанных на рис. 2, и их сочетания. Первые три структуры — Sb S2, 53 — представляют
Рис. 2. Схемы армирования.
80
собой однонаправленное армирование вдоль соответствующих осей. Сле дующие три схемы — S4,S5,5б— предполагают перекрестное армирова ние под углом ± а в каждой из трех плоскостей. Схемам S7 и 58 соответ ствует материал с плоскостью изотропии 1,2 и 2,3. Последние три схемы являются пространственными: S9 — пространственно хаотическое арми рование; Sio — армирование вдоль пространственных диагоналей куба; 5 ц — армирование по направлениям образующих конуса с продольной осью х. Материал, армированный по схеме 5ц, является монотропным с плоскостью изотропии, перпендикулярной оси х. В рассмотренных ниже задачах пространственные схемы армирования создаются путем сложе ния отдельных схем, приведенных на рис. 2. Приняты следующие свойства исходных материалов: £ а= 4 000 000 кгс/см2; va= 0,2; £ с = 30 000 кгс/см2; vc = 0,4.
2. Рассмотрим устойчивость бесконечно длинной в направлении Oz пластинки толщиной h и шириной / (рис. 3) при сжатии ее вдоль оси Ох усилиями интенсивности <71. Критическое усилие данной пластинки с уче том пространственного напряженного состояния дается зависимостью4
Ц \ к р — |
Cj\ ЭЛ |
(1 —Ф2 |
1 |
6/г —2Л12^66 |
15 |
^ 22^66 |
|||
где cj\ эл—з”^.Д ' ^ —^411^22 Л122; |
Ф |
xci(); —27»А\\—/4Хххх> ^22 —Ауууу, |
||
А \2 = АХхуу, А6б = АХуху |
— |
компоненты |
тензора жесткости композита в |
осях х, у, z. Найдем схему армирования, при JULS= 0,60, которой соответ ствует максимальное значение <71 Кр. Результаты расчета приведены в табл. 1. Лучшие результаты оптимизации дало применение схемы S4; при ф = 0,05 было получено, что максимальному значению q\ кр соответст
вует а=11,6° |
С утоньшением пластинки |
(ф-»-0) угол а для |
схемы S4 |
||||
также стремится к нулю. Сочетание схем S\, S4, S3 привело к значению |
|||||||
f7i Кр, близкому |
к таковому |
для схемы S4 |
(ос = 11,6), |
причем |
в процессе |
||
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 1 |
Критические напряжения сжатия |
q\ „р для бесконечно длинной пластинки (см. рис. 3) |
||||||
|
|
для разных схем армирования |
|
|
|||
Сочетания структур и относительное количество |
Ф |
У г о л a, |
^1кp• |
||||
арматуры в отдельных структурах |
град |
кгс/см2 |
|||||
5 ,= 1 |
|
|
|
|
0,05 |
|
8 409 |
S2 = 1 |
|
|
|
|
0,05 |
— |
1 402 |
S3= l |
|
|
|
|
0,05 |
— |
943 |
Si = 0,5; |
S2 = 0,5 |
|
|
0,05 |
— |
7 374 |
|
S4= 1 |
|
|
|
|
0,05 |
45 |
1289 |
S4= l |
|
|
|
|
0,05 |
11,6 |
14 560* |
S4= l |
|
|
|
|
0,04 |
10 |
10071* |
S4= l |
|
|
|
|
0,03 |
7 |
6 108* |
S4= l |
|
|
|
|
0,02 |
5 |
2 918* |
S4= l |
|
|
|
|
0,01 |
0 |
778* |
S7= l |
|
S4 = 0,152; |
S3 = 0,000 |
0,05 |
— |
7 139 |
|
S, = 0,848; |
0.05 |
45“ |
14 349* |
||||
S, = 0,892; |
S4 = 0,108 |
|
|
0,04 |
45“ |
9941* |
|
S, = 0,936; |
S4 = 0,064 |
|
|
0,03 |
45“ |
6 050* |
|
S, = 0,980; |
S4 = 0,020 |
|
|
0,02 |
45“ |
2 907* |
|
S, = 1,000; |
S4 = 0,000 |
S3 |
= 0,050" |
0,01 |
45" |
778* |
|
S, = 0,808; |
S4 = 0,142; |
0,05 |
45“ |
13 705* |
|||
S, = 0,768; |
S4 = 0,132; |
S3 |
= 0,100** |
0,05 |
45“ |
13 060* |
Примечания. цг = 0,60. Данные, помеченные одной звездочкой, получены путем опти мизации. Величины, помеченные двумя звездочками, не варьировались. ф = /г/2 /.
6 — 2748 |
81 |
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 2 |
оптимизации структура S3 была све |
||||||
Критические напряжения сжатия |
q\ кр |
дена к нулю. С уменьшением тол |
||||||||||||
для цилиндрической |
полости в полупро |
щины пластинки (при ф= 0,01) прак |
||||||||||||
|
|
странстве |
|
|
|
|
тически сохраняется только струк |
|||||||
Сочетания структур |
и от |
|
|
|
|
тура Si, которая соответствует одно |
||||||||
|
|
41к р• |
направленному армированию вдоль |
|||||||||||
носительное |
количество |
Угол |
р, |
|||||||||||
|
структур |
|
град |
кгс/см- |
направления |
действующей |
силы. К |
|||||||
арматуры |
отдельных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подобному |
результату |
для |
данного |
||
5, |
=1 |
|
|
|
|
|
24 618 |
случая приводит оптимизация с ис |
||||||
|
|
|
|
|
пользованием зависимостей |
на базе |
||||||||
S8 |
=1 |
|
|
|
|
|
23 538 |
гипотезы Кирхгофа—Лява для всех |
||||||
S9 |
=1 |
|
|
|
30 |
|
114 505 |
|||||||
5ц = 1 |
|
|
|
|
131 245 |
значений ф. |
|
|
соответ |
|||||
S8 =0,000; |
5Э= 0,405; |
|
45 |
|
134 742* |
Полученные результаты |
||||||||
S, |
5,, = 0,595 |
|
|
45 |
|
139 794* |
ствуют бесконечной пластинке |
при |
||||||
=0,157; |
5 Э= 0,070; |
|
|
действии только силы qj, однако в |
||||||||||
|
5, ,=0,773 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
реальных условиях, очевидно, будет |
|||||
|
Примечания. |
|д,е= 0,4. |
Угол |
|3 не |
необходимо |
также |
армирование |
|||||||
|
вдоль оси 2. Размещение небольшого |
|||||||||||||
варьировался. Звездочкой |
помечены дан |
количества арматуры вдоль осп 2 |
||||||||||||
ные, полученные |
путем |
|
оптимизации. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приводит |
к |
несущественному |
сни |
||
|
3. |
Рассмотрим |
задачу |
|
жению <7iKp |
(см. табл. |
1). |
|
|
|||||
|
пространственного |
армирования трехмерного |
трансверсально-изотропного тела, плоскость изотропии которого совпа дает с плоскостью х = const, имеющего цилиндрическую полость с круго вым поперечным сечением радиуса R, ось которой совпадает с осью Ох. При сжатии тела вдоль оси Ох критическое напряжение при образовании большого числа выпучин вдоль образующих и в случае полости большого радиуса дается выражениями4
|
|
|
|
|
</'11Ф= а2[ - 1 + У 1+ |
^ - ] |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 ) |
|
q" 1 к р = |
|
—;— |
|
[ — (ki + А\<?+ 2А\2 + 2Л |г/1бб) + 2 (Л I2+ .4G6)V&I] |
||||
|
|
|
|
/1кк |
|
|
|
|
|
. |
- |
„ |
\ |
. |
|
(k\ —A\22)2 |
лд |
из |
положительных значений в |
где R\=AUA22 |
«2= —пи л----- • |
Меньшее |
|||||||
(1) q' 1кР и |
q"1Кр дает критическое значение |
г/\щ, (см.4) Найдем такую |
Рис. 3. Схема бесконечно длинной сжатой пластинки.
Put. 4. Схема оболочки, нагруженной сжатием вдоль оси 0.v(r/,) или наружным давле нием (<7 з).
82
схему |
армирования, |
которая |
|
|
|
|
|
|
Табл. 3 |
|||||||
при |
заданном |
коэффициенте |
Критические |
напряжения |
сжатия |
<71кр |
||||||||||
армирования дала бы наиболь |
|
трансверсально-изотропной оболочки |
||||||||||||||
шее значение q1Кр и в то же |
Сочетания |
структур п |
Коэф |
|
||||||||||||
время соответствовала бы усло |
фици |
Угол |
|
|||||||||||||
виям |
монотропии |
материала. |
относительное количество |
ент |
*|К |
|||||||||||
арматуры |
в отдельных |
арми |
в. |
|||||||||||||
Результаты |
оптимизации |
при |
|
структурах |
|
рова |
град |
кге/ |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
ведены в табл. 2, из которой |
|
|
|
|
на я |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
видно, |
|
что |
пространственное |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
армирование |
(схемы |
S9, 5ц п |
S, = 1 |
|
|
0,7 |
|
11 753 |
||||||||
их комбинации с Si и S8) дает |
л. = |
1 |
|
|
0,6 |
— |
9 287 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
S, = 1 |
|
|
0,5 |
— |
7 451 |
|||||||||||
значения q\ кр примерно в пять |
Sg = |
1 |
|
|
0,5 |
— |
5 461 |
|||||||||
раз большие, чем плоские схе |
5 g = |
1 |
|
|
0,5 |
— |
7 378 |
|||||||||
мы |
армирования |
(Si, S8). |
В |
S n = |
1 |
|
|
0,5 |
10 |
7 188 |
||||||
приведенных |
расчетах |
проч |
S n = |
1 |
|
|
0,5 |
30 |
5 576 |
|||||||
S n = |
1 |
|
|
0,5 |
45 |
3 761 |
||||||||||
ность |
материала |
условно |
во |
5 ц = |
1 |
S 9 = 0,811 |
0,5 |
60 |
3 404 |
|||||||
внимание не |
принята. |
|
|
|
S B = 0 ,1 8 9 ; |
0,5 |
— |
7 472* |
||||||||
4. |
|
Найдем |
оптимальное, |
сS 9 = 0 ,5 0 3 ; |
S tl = 0 ,4 9 7 |
0,5 |
10 |
9611* |
||||||||
точки зрения устойчивости, ар |
S, = 0 ,5 1 0 ; |
S 9 = 0 ,4 9 0 |
0,5 |
— |
9914* |
|||||||||||
S 8 = 0,465; |
S |i = 0,535 |
0.5 |
10 |
11 393* |
||||||||||||
мирование трансверсально-изо |
S, = 0,5 3 9 ; |
Ss =0,461 |
0.5 |
— |
11 744* |
|||||||||||
тропной |
цилиндрической |
обо |
|
Примечания. |
Угол |
р |
не варьировался. |
|||||||||
лочки, |
сжатой |
вдоль |
оси |
Ох, |
|
|||||||||||
считая, что ось изотропии со |
Звездочкой помечены данные, полученные пу |
|||||||||||||||
тем оптимизации. |
|
|
|
|
||||||||||||
впадает |
с осью |
Ох. |
Критиче |
|
|
|
|
|
|
|
ское усилие в случае осесимметричной деформации и при образовании большого числа выпучин вдоль образующей дается выражением4
_ |
2Лц |
1/ |
1 |
А44 ( |
f |
Л\22 |
А44 ^ |
Ч'™~ |
R |
I |
~3 |
'л У '. |
“ |
/4 „Лв |
Л^Г/ |
Схема оболочки и направления осей показаны на рис. 4 (73 = 0). Ре зультаты максимизации <71 кр в зависимости от схемы армирования даны в табл. 3. Рассмотрены схемы армирования, удовлетворяющие условиям монотропии — четыре плоские схемы (S[,S8) и десять пространственных (сочетания схем Si, S8, S9, Sn). Данные табл. 3 показывают, что про странственное армирование (S i+S8) приводит к значению 71 ир более чем в полтора раза большему, чем плоская схема Sb при том же ps = 0,5. Практически одинаковые величины q\ кр для упомянутых схем можем по
лучить с увеличением |
для схемы Si до значения 0,7, что приводит к |
|||||||||||||||
увеличению массы и перерасходу материала армирования. |
|
|
|
|||||||||||||
|
5. |
Проведем оптимизацию ортотропной цилиндрической оболочки при |
||||||||||||||
действии внешнего давления |
(см. рис. 4; .71 = 0; 73=т^0). Критическая на |
|||||||||||||||
грузка для данного случая определяется зависимостью3 |
|
|
|
|
||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
q2up= qs(h/R)'2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
^31 ^23 |
|
|
|
|
Ь2\Ь$2—ЬмЬ |
|
|||||
|
— b\2B\ —Ъ13^2—b14^41/^44 |
|
33 |
|
|
|
||||||||||
|
Ьч\Ь |
|
|
|
|
31^22 |
||||||||||
q = |
|
|
|
Ъ\ |
|
В г = - |
|
|
|
|
в , = - Ь23Ь32 —^33Ь |
|
||||
|
|
|
|
|
^32^23—Ь22^33 |
|
|
|
|
33^22 |
||||||
b1= 12 р—2 p2—1; |
|
b\\ = —b\q\ |
bi2 = £iprt-2 p2- 1 + Езр- 1 р2 - 1 |
|
+ 2 |
^6 p_ 1 p2 _1; |
b13 = |
|||||||||
= ^2 Р- 2 пр2 - 1 + Ь Л_1 Р2 _| + 2 |
^6 ^_ 1 Р2 -1 ; Ь1 4 = |
1 2 /г—-р2—1; |
b2i = |
— 1 2 g5 p- 1 p2-1 ; |
Ь2 2 |
= |
||||||||||
= ^I + ^GP~2« 2+ |
1 |
2 |
^5 р—2 pi— |
Ь22 = р - 'п (1 з + |
1б)\ |
&3i = |
— 1 |
2 |
^4 /г—'р2—1; Ь32= |
(Ез-Ь |
||||||
~Ь$б)я- 1 р; Ь3 3 |
= |
£ |
2 -Ь£бР2 ^ ~ |
2 + 1 |
2 £4 /г- 2 р2-2 ; |
Ь^\ = |
—п |
-р2 |
*; |
= со |
’£i !р |
-/i2 |
+ |
|||
+ b - 1to-1p2H-2- 2 b E r 1E2_1w_l + S6_l; |
р= тср1; |
|
|
|
R |
|
h |
; |
||||||||
Pi = -j—\ |
Р2= |
6 * |
83 |
Табл.
Критические внешние давления <7ЗКр для ортотропной цилиндрической оболочки
Угол, |
град |
^Зкр> |
Сочетания структур и относительное коли |
Количе |
|
чество арматуры отдельных структур |
ство |
кгс/см3 |
a |
В О ЛН n |
|
3 |
|
S , = 1 |
|
0,4 |
|
_ |
7 |
147 |
|
s 2 = |
1 |
|
0,4 |
— |
— |
5 |
425 |
S 4 = 1 |
|
0,4 |
45 |
— |
9 |
672 |
|
5s = 1 |
|
0,4 |
— |
— |
11 |
355 |
|
|
|
|
|
|
|
||
5 6 = 1 |
|
0,4 |
— |
— |
5 |
252 |
|
5 7 = |
1 |
|
0,4 |
— |
— |
8 |
588 |
S 9 = 1 |
|
0,4 |
— |
— |
7 |
537 |
|
S io = 1 |
|
0,4 |
— |
— |
8 |
692 |
|
5 ц = |
1 |
|
0,4 |
— |
30 |
10 |
507 |
5 , i = |
1 |
|
0,4 |
— |
45 |
9 |
707 |
5 ,, = |
1 |
|
0,4 |
— |
60 |
7 |
654 |
S 4 = 0 ,7 5 4 ; |
S 9 = 0 ,2 4 6 |
0,4 |
45 |
— |
8 |
753* |
|
S 4 = 0 ,5 1 1 ; |
5 ц = 0,489 |
0,4 |
45 |
45 |
9 |
758* |
|
S 4 = 0 ,8 7 0 ; |
5 S = 0 ,0 0 0 ; 5 6 = 0,13 |
0,4 |
45 |
— |
8 |
787* |
|
5 4 = 0 ,6 8 4 ; |
S 10 = 0,316 |
0,4 |
45 |
— |
8 |
797* |
|
5 , = 1 |
|
0,6 |
— |
— |
7 |
232 |
|
S 2 = 1 |
|
0,6 |
— |
— |
5 |
662 |
|
5 , = 0 ,5 0 0 ; |
5 2 = 0 ,5 0 0 |
0,6 |
— |
— |
5 |
499 |
|
5 4 = 1 |
|
0 , 6 |
45 |
— |
9 |
1043 |
|
5 7 = 1 |
|
0 , 6 |
— |
— |
8 |
906 |
|
5 , o = |
1 |
|
0,6 |
— |
— |
8 |
1039 |
5 , o = |
1 |
|
0,68 |
— |
— |
8 |
1195 |
Примечания. Углы а и р не варьировались. Звездочкой помечены данные, получ ные путем оптимизации.
•S—У^11^ 22| |
|
^ 2 2 |
|
52= ----- ; |
|
|
|
S |
ls = ■^66 |
(0=1 — л . |
п — количество волн по окружности. |
S |
ь ь |
|
Расчеты были проведены при следующих значениях параметре pi = 2; р2 = 0,05.
Результаты выбора структуры армирования и оптимизации при! дены в табл. 4. Ввиду отсутствия расчетного максимального процен армирования для пространственно армированных материалов при ср< нении различных схем армирования было принято pis= 0,4. Результа табл. 4 показывают, что наибольшие значения критических нагруз дают схемы, приспособленные к восприятию сдвиговых напряжений, i пример, из плоских структур — схема 54(± а = 45°), а из пространств» ных — сочетание S4 и 5ю; последняя схема дает значение <73 кр пример в 1,2 раза большее, чем схема S4. Учитывая, что оптимальная величи pis для плоских схем больше 0,4, мы подсчитали ^ЗКр для этих схем г pis= 0,6. Согласно6 максимальное значение pis для схемы 5 !0 равно 0, и следовательно схемы S4 и Sio равноценны. Было бы желательно уста] вить максимальные значения pis и для других пространственных схем, 1 позволило бы создать более перспективные структуры армирования. С дует, однако, отметить, что увеличение pis, хотя и повышает ^3Kp, но в же время делает оболочку более тяжелой.
Таким образом, проведенный анализ показывает, что при задана геометрии и массе конструкции (pis = const) применение пространств ных структур армирования по сравнению с плоскими приводит к суще венному увеличению критической нагрузки.
84
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г А. Сопротивление жестких полимер ных материалов. Изд. 2-е. Рига, 1972. 498 с.
2. Тетере Г. А. Сложное нагружение и устойчивость оболочек из полимерных мате
риалов. Рига, 1969. 336 с.
3.Рикарде Р. Б., Тетере Г А. Устойчивость оболочек из композитных материалов. Рига, 1974. 310 с.
4.Гузь А. Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев, 1971. 276 с.
5.Крегер А. Ф., Мелбардис Ю. Г Определение деформируемости пространственно армированных композитов методом усреднения жесткостей. — Механика полимеров,
1978, № 1, с. 3—8.
6 . Жигун И. Г., Поляков В. А. Свойства пространственно-армированных пластиков.
Рига, 1978. 216 с. |
|
Институт механики полимеров |
Поступило в редакцию 13.06.78 |
АН Латвийской ССР, Рига |
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № /, 86—95
УДК 627.074.4:678.5.06
А. Н. Андреев, Ю. В. Немировский
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ СЛОИСТЫХ АРМИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕК
Вработе1получены нелинейные дифференциальные уравнения изгиба
иколебаний упругих многослойных анизотропных оболочек, слабо со противляющихся деформациям поперечного сдвига. В предлагаемой ра боте на основе этих уравнений построены линейные уравнения динамиче ской упругой устойчивости слоистых оболочек. Полученные уравнения использованы для решения задачи потерн устойчивости шарнирно-опер той слоистой армированной цилиндрической оболочки, нагруженной внешним равномерным давлением. Учтена неоднородность начального напряженного состояния слоистой оболочки. Оценено влияние попереч ного сдвига на величину критической нагрузки.
1.Нелинейные уравнения движения упругой многослойной оболочки имеют вид1:
VaT“P - b j'V aM™- XV+ b J Y “ =т0рз + hbjx** - т*рз; |
|
|||||
bap7'“p + VaVpMp“ —b ^ b ^ H ^ w + V p (Яарш,а) - |
УаУа = |
|||||
= G033 —a*33 —hVat *a3; |
|
|
||||
Va5ap- QP - £P = - TctfVimfP ( h ) . |
|
( 1. 1) |
||||
|
|
|||||
Для системы (1.1) имеем граничные условия: |
|
|
|
|||
( R v l — R v t ° ) S u t = 0 ; ( t f w - t f v v 0 ) 6 « v = 0 ; |
( M vv — M w ° ) 6 r i v = 0 ; |
|||||
dMvt |
.. |
dw |
.. |
dw |
|
( 1. 2 ) |
|
|
|||||
vaVpMP“ "I-----^---- ‘+ Ht\ —^-----V |
|
- Y V- T VJ > - |
|
|||
dst |
|
dst |
|
ds% |
|
|
dMvt° |
“+ /lT /'tv3 j бш= 0; |
|
|
|||
dst |
|
|
||||
(Svt - Sw°) 6я/ = 0; |
(5w - |
Svv°) 6JIV= 0. |
|
|
||
Пусть наряду с основной равновесной формой иа, w, |
ТаР, |
сущест |
вует равновесная форма, характеристики напряженно-деформированного состояния которой имеют выражения
Ma+tt*a, Ш+ Ш*, Г“Р+7>Р, |
(1.3) |
Подставляя (1.3) в (1.1), (1.2), учитывая, что Г“Р, МаР,. удовлетво ряют ( 1.1), (1.2), а также пренебрегая нелинейными слагаемыми, содер жащими произведения возмущений, приходим к системе линейных диф ференциальных уравнений динамической упругой устойчивости:
Va7V*P - b J V aM ™ - X ^ + b JY*“ = 0; |
6ap7\“ P+ V aV PM*P“ - |
|
- bw btrH*fiw - bamb ^ H * W + V p (Я*“ РУ аш) + |
|
|
+ V p{H**Vaw*) ~ h - Va*v* = 0; |
VaS*“P- Q*P-Z*P = 0 |
(1.4) |
86
и к соответствующей системе граничных условий |
|
|
||||
(Rvt — Rvt°) Ьи*i+ R*vtbut = 0; |
(RV\ — Rvv°)6u*v-\-R*vv6uy, = 0\ |
|||||
|
(Mvv-Mvv°)6V v + M*vv6iiv= 0; |
|
(1.5) |
|||
[ v„ V ^ + ^ |
+ ^ |
+ «, |
dw |
|
dMvt° 1 |
|
ds |
- T v - r v3 ° - - ^ - |
6a>*+ |
||||
|
|
|
|
dst |
|
|
|
|
dw* |
|
dw rt |
dw* |
dw |
+ [vaV SM,P“ + - ^ - ^ + Wiv—------b H iv—--- b^w —т— |
H* |
|||||
|
|
|
|
dst |
dsx |
dsv |
— У % ] |
6 = 0 ; |
{Svt —S vt°)6K*t + S*vi6nt = Q\ |
|
(5Vv—5w°)6n:t:v + S:':vv6jT = 0.
2. В качестве примера рассмотрим шарнирно-опертую цилиндриче скую армированную оболочку длины I и радиуса R, нагруженную внеш ним равномерным давлением интенсивности Р. Пусть х = х 1 расстояние, отсчитываемое вдоль образующей от края оболочки, ц>= х2 — полярный угол. Для этого случая в переменных х, ср система уравнений устойчи вости (1.4) принимает вид:
dT*xx |
' I |
1 |
д Т \ х |
и» |
d r ЭСф |
|
1dT*фф |
1 |
дМ*хч> |
|
1 |
дАГфф |
|
|||||
dx |
R |
-ч |
|
dx |
+ R |
dcp |
+ R |
|
dx |
+ R2 |
dcp |
~ ’ |
||||||
|
dф |
|
|
|||||||||||||||
Г фф |
|
d2M \ x |
1 |
d*M\x |
|
1 |
d*M*X(l |
|
1 |
d2M* |
|
|
- H |
w |
|
|||
R |
+ |
dx* |
+ R" |
dxd'' cp |
+ |
”R |
dxd” cp +1R2 |
dcp2 |
|
ФФ£2 |
||||||||
|
- |
|
w* |
d |
/ |
dw |
\ |
1 |
d |
/ .... |
dw |
|
)+ |
|
|
|||
|
H1фф~W + ~dx\ |
H*xx dx |
} + R d7~x |
\ |
H* |
фд: dtp |
|
|
( 2. 1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
|
|
|
|
|
dw' |
+ |
|
# |
dcp |
' |
Л'Ф d* |
/ |
R* dcp |
\' " ф dcp |
'/ |
' |
dx |
\ |
|
xx |
dx / |
|||||
4 4djc («,px |
day* |
\ |
d |
/ |
„ |
ay* |
|
1 |
d ( |
„ |
day*w* ^ |
= 0; |
||||||
dcp |
, 1 ^ |
u |
dw* \ |
t \ |
H |
|
||||||||||||
/ |
+ tf"d ^ |
v |
:x<p dx |
/ |
1 |
tf2 |
dcp^" \ |
|
dcp |
|
||||||||
dS*xx |
|
dS* |
|
|
|
dS*xlp |
dS* |
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
+ — - ^ - - Q \ = 0; - ^ + 71 ^ 1^ - Q % = 0. |
|
|||||||||||||||
|
R |
dcp |
|
|
|
dx |
R |
dcp |
|
|
|
|
|
Здесь T*xx, T*x,r, . — физические составляющие соответствующих тен зоров, выражаемые через напряжения по формулам из1.
Предположим, что оболочка собрана по толщине из пг слоев, каждый из которых армирован таким образом, что оси ортотропии совпадают с главными осями поверхности оболочки. Соотношения между средними напряжениями и средними деформациями &-го слоя имеют вид:
а**»] = fli iI«exxw + al2[h]evl[l,]; афф[*] = |
+ а221ЧеффМ; |
|
Тхф|ч = Озз,|'|у*»1''1; TI2l''l = c„IftlT*.-1‘l; |
тФг1‘1= си 1‘1тФг1*>. |
(2'2) |
Отметим, что величины аДЧ с,i[,l] при использовании моделей армирован ного слоя, предложенных, например, в2’3, определяются расчетным путем, являясь при этом функциями механических характеристик материалов, составляющих композит, а также структурных параметров армирования.
87
Физические составляющие тензора деформаций связаны с составляю щими вектора перемещений формулами
|
|
ГЬ1 дих |
|
d2w |
|
[Ь1 |
дп. |
|
|
&ХХ[к]= ---------- Z- |
„ „ ~+|Х ц1й1------ |
|
|
||||||
|
|
дх |
|
дх2 |
|
|
дх ’ |
|
|
-фф |
1 |
диц> |
z |
дгш 1 |
... длф |
w |
|
||
R |
ду |
R2 |
dq>2 |
|
|
дц |
+~R |
|
|
|
|
|
дпх (2.3) |
||||||
ди<р 1 |
|
дих |
4- |
d2w |
|
. |
djlm |
1 |
|
~dx~+ R |
|
- 2 |
дхдф |
+ Ц22[Й1—^-----b-jr-Цц[/11 |
дц> |
||||
|
дф |
/? |
|
|
ах |
R |
|||
yxz'w= |
П*)я* |
Уф2[ f t ] = - |
f'(z)n Ф |
|
|
||||
|
|
Си[ft] |
|
|
|
|
С22[/1) |
|
|
В соотношениях (2.3) отброшены слагаемые порядка h/R по сравнению с единицей.
К уравнениям (2.1)—(2.3) должны быть присоединены граничные условия, которые в случае шарнирного опирания запишем в виде:
при |
x = 0,l u*'P= T*xx= M*xx= w* = 7i*(p= S*xx= Q. |
(2.4) |
В силу замкнутости цилиндрической оболочки потребуем периодичности всех функций по координате с периодом 2л. Задача состоит в определе нии минимального значения давления Р, при котором однородные урав нения (2.1) — (2.3) допускают нетривиальное решение, удовлетворяющее однородным граничным условиям (2.4) и условию периодичности по ко ординате ф.
Для определения усилий и прогиба, входящих в уравнения (2.1) и от носящихся к основному состоянию, рассмотрим вначале задачу осесим метричного изгиба. Уравнения изгиба и граничные условия запишутся в виде1:
dTxx |
|
d2Mxx |
Тфф |
dSxx |
(2.5) |
|
dx |
~ ’ |
dx2 |
R ~ ’ |
dx |
||
|
||||||
при |
х = 0, l |
Txx=Mxx= Sxx= w = 0. |
( 2.6) |
Введем безразмерные параметры и переменные у = -^-;-у=б; i r c =Sh'
аит = Ек°Ьц»1; |
|
|
|
| £ |
= т»; |
р,= |
(/= О....... т ) ; х=Ц- |
||
Phv |
dYi |
= У2; |
М, |
= П; |
dY, |
Y4 , |
PI |
|
£ ,с |
w=-p-Yu |
d\ |
Ph2 |
d\ |
лх— »о Уб! |
пи' Ехх—У6, где |
||||
Еic |
|
‘ а’ |
*4’ |
h3 |
|
P/14 |
|||
(hj — hj-1) |
— толщина /-го слоя; /i |
— общая толщина оболочки, Ehc, |
|||||||
Eip — модуль Юнга связующего |
(арматуры) k-ro |
слоя, и примем: |
|||||||
f(z)= z3 — 3/2hz2. Исклю чая-^- |
из условия Тхх= 0 |
и подставляя в урав |
нения (2.5) вместо усилий и моментов их выражения через Уь У2, У5 и, кроме того, отбрасывая во всех соотношениях члены порядка h/R по сравнению с единицей, приходим к системе дифференциальных уравне ний изгиба, которую запишем в матричной форме:
, |
dY |
(2.7) |
Л |
_ = £ У + /. |
Граничные условия (2.6) в переменных Уг- ( t = l , . . . , 6) имеют вид:
У, (0) =У, (1) = У3(0) = У3(1) = У6(0) = У6(1) =0. |
(2.8) |
88