Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн
..pdf
|
|
|
Факторы |
|
|
|
Значения выхода пиперазина, % |
|||
Номер |
|
|
|
|
|
|
опытные |
|
|
расчетные |
опыта |
Х 0 |
X t |
|
*3 |
*4 |
|
1 Уг |
1 Уг |
У |
А |
|
|
Ух |
||||||||
|
|
|
|
|
|
У |
||||
1 |
+1 |
—1 |
—1 |
- 1 |
—1 |
20,4 |
22,2 |
18,7 |
20,43 |
17,30 |
2 |
+ 1 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
—1 |
46,9 |
44,2 |
45,0 |
45,37 |
44,72 |
3 |
+ 1 |
—1 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
24,0 |
24,5 |
26,1 |
24,87 |
26,18 |
4 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
—1 |
—1 |
51,8 |
48,9 |
50,6 |
50,43 |
50.21 |
5 |
+ 1 |
— 1 |
—1 |
+ i |
—1 |
67,2 |
65,6 |
67,7 |
66,83 |
65,65 |
б |
+ 1 |
+ 1 |
- 1 |
+ i |
—1 |
68,3 |
67,2 |
66,1 |
67,2 |
64,02 |
7 |
+ 1 |
—1 |
+ 1 |
+ i |
—1 |
76,4 |
73,2 |
75,0 |
74,87 |
74,56 |
8 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+ i |
—1 |
69,1 |
68,9 |
66,9 |
68,3 |
69,52 |
9 |
+1 |
—1 |
- 1 |
—1 |
+ 1 |
20,7 |
21,0 |
22,7 |
21,47 |
20,95 |
10 |
+ 1 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
46,9 |
48,7 |
48,2 |
47,93 |
48,40 |
11 |
+ 1 |
—1 |
+ 1 |
—1 |
+ 1 |
26.8 |
26,7 |
25,1 |
26,2 |
29,86 |
12 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
—1 |
+ 1 |
54.2 |
53,1 |
53,0 |
53,43 |
53,89 |
13 |
+ 1 |
—1 |
—1 |
-hi |
+ 1 |
70,8 |
68,8 |
69,1 |
69,57 |
69,33 |
14 |
+ 1 |
+ 1 |
—1 |
+ 1 |
+ 1 |
72,1 |
70,6 |
68,6 |
70,43 |
67,70 |
15 |
- h i |
—1 |
+ 1 |
+ 1 |
+1 |
80,1 |
77,4 |
78,2 |
78,57 |
78,24 |
16 |
+ 1 |
+ 1 |
+ 1 |
+1 |
+ 1 |
74,7 |
71,3 |
68,0 |
71,33 |
73,19 |
17 |
+ 1 |
—1,414 |
0 |
0 |
0 |
52,3 |
52.1 |
53,3 |
52,57 |
53,18 |
18 |
+ 1 |
+1,414 |
0 |
0 |
0 |
67,8 |
66,0 |
67,5 |
67,10 |
69,02 |
19 |
+ 1 |
0 |
—1.414 |
0 |
0 |
54,1 |
56,2 |
58,3 |
56,20 |
64,24 |
20 |
+ 1 |
0 |
+1,414 |
0 |
0 |
84,3 |
86,0 |
68.8 |
79,7 |
74,16 |
21 |
+ 1 |
0 |
0 |
-1,414 |
0 |
35,7 |
37,8 |
32,1 |
35,2 |
34,20 |
22 |
+ 1 |
0 |
0 |
+1,414 |
0 |
79,9 |
78,0 |
78,2 |
78,7 |
82,20 |
23 |
+ 1 |
0 |
0 |
0 |
-1,414 |
71,2 |
72,0 |
70,4 |
71,2 |
75,63 |
24 |
+ 1 |
0 |
0 |
0 |
+1,414 |
82,8 |
83,6 |
81,9 |
82,77 |
80,83 |
25 |
+ 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
85,0 |
87,1 |
81,8 |
84,63 |
80,00 |
Соответственно найдены среднеквадратические от клонения коэффициентов регрессии
5 = 0,597; |
s = 0,667; |
s = 0,93, |
ь,- |
ьц |
ьа |
и по формуле (1.90) рассчитаны значения ^-критерия. Оценка значимости для /т=2,01 ( f o = 50, <7=0,05) пока зала, что коэффициенты Ьп, &2 з> Ьц, Ьц, Ьз4, Ьц незначи
мы. Дисперсия s2b — 3,133 найдена по формуле (1.170),
О
а 60 = 79,93 — по формуле (1.173). Свободный член ока зался, естественно, значимым.
Учитывая, что расчетные значения /-критерия для ко эффициентов Ъ12 и & 4 4 мало отличаются от /т, принимаем решение считать их значимыми коэффициентами. Тогда уравнение регрессии примет окончательный вид
у = 79,93 -f- 5,6*1 “Ь 3,6*2 + 16,92*з + 1,84*4 — 0,853*1*2 —
— 7,30*1*з — 9,46*2 — 5,40*2 — 10,90*2 — 0,884*2.
Адекватность проверяется в соответствии с формула
ми (1.92), (1.93), (1.94) (расчетное |
= 18,14). В соот |
|
ветствии с формулой (1.95) |
|
|
18,14 |
= 2,55. |
|
Fp = -----— |
|
|
7,123 |
|
|
Учитывая, что /ад= 25—4=21, f0 = 3—1 = 2, находим |
||
по таблице (см. приложение |
5) для |
<7 = 0,05 FT= 19,45, |
т. е. FP< F T, а значит уравнение регрессии адекватно экс периментальным данным.
Для окончательного решения основной задачи — до стижения оптимума — воспользуемся каноническим пре образованием уравнения регрессии и, в зависимости от вида поверхности отклика, решим, какой метод поиска оптимума использовать.
Воспользуемся алгоритмом 2.6.3. Перенесем начало координат в новую точку факторного пространства S. Для этого продифференцируем уравнение регрессии и решим систему относительно XiS:
ду
— — = 5,6 — 0,853*2 — 7,30*3 — 9,46.2*1 = 0;
d*i
ду
0,36 — 0,853*, — 5,4 • 2*2 = 0;
дх2
dy_
= 16,92 — 7,30*1 — 10,9-2*3 = 0;
dx-.
dy |
1,84 — 0,884-2*4 = 0; |
|
|
= |
|
||
<3*4 |
|
|
|
XIB = —0,0163; * 2S = |
0,334; |
* 3S = 0,781; |
* 4S = 1.04. |
Расчетное значение выхода пиперазина в новом цен тре координат ys = 88,06%.
Оси в новом центре необходимо повернуть до совме щения с.главными осями поверхности функции отклика. Для этого составим характеристический детерминант
to к
Ьп —В |
0,5612 |
0,5613 |
0,56и |
0,5^21 |
622-- В |
0 , 5 6 2 з |
0,5624 |
0,563i |
0,5632 |
&зз — В |
= о. |
0 , 5 6 3 4 |
|||
0,5&41 |
0,5642 |
0,564з |
644 — 6 |
лз него найдем значение коэффициентов 5ц, В22, 5зз, 1
—9,46 — 6 ) |
—0,426 |
—3,635 |
0 |
-0,426 |
(—5,40 — 6 ) |
0 |
0 |
|
|
(— 10,90 — 6 ) |
= 0; |
-3,635 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
(—0,884 -- В ) |
|
(—9,46 — В) |
—0,426 |
—3,635 |
|
||
-0,884 — 6 ) |
—0,426 |
|
( - 5 , 4 - 6 ) |
|
0 |
= 0; |
|
—3,635 |
|
0 |
( - 1 |
0 ,9 - -В) |
|
|
|
В44 = |
—0,884. |
|
|
|
(—9,46 — В) (—5,4 — В) (— 10,9 — В) — 3,6352(—5,4 — В) — |
|
|||||
|
— 0,4262(— 10,9 — В) = |
0; |
|
|
||
|
В3 + 25,76В2 + 199,72В + 483,72 = 0. |
|
|
|||
Корнями этого уравнения будут |
|
|
|
|||
В,, = |
— 13,97; |
В22 = |
—6,15; |
В33 = |
—5,64. |
|
Таким образом, уравнение поверхности отклика при водится к такой канонической форме-:
у — 88,06 = . —13,97*2 — 6 ,1 5 * 2 |
2 |
— 5 64*2 _ |
о,884*2. |
1 |
3 |
4 |
В соответствии с классификацией (см. табл. 2.9) по верхность отклика представляет собой действительный гиперэллипсоид и, следовательно, выход продукта в его центре максимальный (г/тах=88,06%). Отсюда следует, что каноническое преобразование уравнения регрессии позволило определить оптимум процесса, не прибегая к методам оптимизации.
Экспериментальное определение выхода пиперазина в условиях, заданных координатами центра, показало со впадение опытных и расчетных данных (опытное значе ние выхода пиперазина составляет 85,2%).
Таким образом, оптимальный режим процесса катали тического синтеза пиперазина в экспериментальном ре акторе, при котором был достигнут ВЫХОД t/max=85,2%, определяется следующими значениями факторов: темпе ратура — 180°С, давление 4,5 МПа, время пребывания — 2,7 ч, мольное отношение аммиака к ДЭТА — 3,5.
Приложение 1
Некоторые сведения по математической статистике
Величина X, которая при повторяющихся условиях опыта при нимает то или иное значение, заранее не известное, называется с л у ч а й н о й в е л и ч и н о й . Случайная величина называется дискрет ной, если между любыми двумя ее значениями лишь конечное число других случайных величин. Непрерывные случайные величины пред ставляют совокупность случайных величин, которые плотно заполня
ют некоторый промежуток. |
значений случайной |
величины |
||
Совокупность всех возможных |
||||
для всех возможных |
условий опыта |
называется |
г е н е р а л ь н о й |
|
с о в о к у п н о с т ь ю . |
Совокупность |
ограниченного |
числа |
. значений |
случайнбй величины, полученных в результате эксперимента, назы
вается в ы б о р к о й |
из генеральной совокупности. Если N выбороч |
||
ных значений Х\, х2, |
xN случайной величины X получены для N |
||
независимо |
изменявшихся условий опыта, то хи x2t..., |
xN можно |
|
рассматривать как N независимых случайных величин. |
возможны |
||
Всякое |
соотношение, устанавливающее связь между |
ми значениями случайной величины и соответствующими им вероят
ностями, называется з а к о н о м |
р а с п р е д е л е ни я. |
|
||
Для количественной характеристики свойств генеральной сово |
||||
купности используется ф у н к ц и я |
р а с п р е д е л е н и я |
случайной |
||
величины X, которая равна вероятности принятия случайной величи |
||||
ной значения, меньшего чем X |
|
|
|
|
|
F(x) = Р ( Х < х). |
|
||
Общие свойства функции распределения: |
функция |
|||
1. Функция |
распределения |
F(x) |
есть неубывающая |
|
своего аргумента, т. е. при х2> х { |
F(x2).>F(xl). |
|
||
2. F(—°°) «= 0. |
|
|
|
|
3. F(+°°) = |
1. |
|
|
|
Производная функция распределения непрерывной случайной величины X называется п л о т н о с т ь ю р а с п р е д е л е н и я
f(x) =F' (x) .
Вероятность нахождения величины X в интервале от а до b вы ражается через плотность распределения
Р( а < х < b) = J f(x)dx
а
или через функцию распределения
ff(x)dx = F(b)^-F(a).
Основные свойства плотности распределения:
1.Плотность распределения есть неотрицательная функция
№> о.
2.Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределе ния равен единице:
f f ( x) dx = 1.
—оо
Центр группирования значений случайной величины X характери зуется числовой характеристикой — м а т е м а т и ч е с к и м о ж и д а н и е м М[Х]), которая определяется выражением
М[Х] = 2?piXi i=1
для дискретной случайной величины и
М[Х] = f°°xf(x)dx
— ОО
для непрерывной случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1) |
М[с\ = |
с, если с = |
const; |
2) |
М[сХ] |
= сМ[Х]\ |
|
3) |
М[ Х + У] = М[ Х ] |
+ М[У]; |
|
4) |
M[a + |
bY] = а + Ш [У]; |
|
5) |
M[XY] |
= M{X]M[Y], |
если X и У — независимые случайные величины.
Степень рассеивания значений случайной величины вокруг цент ра группирования характеризуется дисперсией. Для непрерывной случайной величины дисперсия равна
D[X] = f ~ ( x - M [ X ] m x ) d x ,
для дискретной
а д = 2 ~ ( * - в д ) ’р,-.
i = 1
Дисперсию можно рассматривать как математическое ожидание квадратов отклонений
D[X] = М(Х — М[Х])2.
Свойства дисперсии:
1) D [с] = 0, если с = const;
2)D[cX] = сЮ[Х]\
3)D[X] = М[Х2] — (М[Х])2;
4)D[X + Y] = D [ X ] + D[Y],
если X и У — независимые случайные величины.
Величина, равная квадратному корню из дисперсии, называется с р е д н и м к в а д р а т и ч е с к и м о т к л о н е н и е м .
Если значение случайной величины есть результат действия многочисленных независимых и примерно одинаково малых факто
ров, то случайная величина характеризуется |
н о р м а л ь н ы м з а |
||
к о н о м р а с п р е д е л е н и я . |
Плотность |
вероятности нормального |
|
распределения имеет вид |
(х-m |
)2 |
|
|
|||
1 |
- |
2а2 |
|
/(*)= - |
|
|
|
ах]/2я
где тх— математическое |
ожидание |
генеральной |
совокупности; |
||||
о2— ее дисперсия. |
|
|
|
|
|
|
|
Численные параметры |
тх и о2 полностью |
характеризуют гене |
|||||
ральную совокупность нормально |
распределенной |
случайной |
вели |
||||
чины. Многие технологические переменные, определяющие |
работу |
||||||
химико-технологических объектов, |
имеют распределение, близкое к |
||||||
нормальному. |
|
|
|
|
|
|
|
Характеристики распределения, полученные по данным выборки, |
|||||||
называются в ы б о р о ч н ы м и |
о ц е н к а м и . |
Выборочные |
оценки |
||||
алг являются случайными |
величинами |
и зависят |
от |
распределения |
|||
случайных величин X, числа опытов N. |
Выборочная оценка обладает |
практической ценностью, если она характеризуется свойствами: не смещенностью, состоятельностью, эффективностью.
Оценка а называется несмещенной, если при любом N ее мате матическое ожидание равно истинному значению параметра а:
M[aN] = а.
Оценка aN параметра а называется состоятельной, если при не ограниченном увеличении N ее значение с вероятностью, равной еди нице, стремится к истинному значению параметра а:
lim Р{[ал — а] < е} = 1.
Оценка aN называется эффективной, если среди прочих оценок того же параметра она обладает наименьшей дисперсией
D[ctN] = Amin-
Оценка математического ожидания (средняя) для дискретной случайности величины определяется по формуле
- |
1 * |
|
|
|
х = |
— V Хи. |
|
|
|
|
N ^ |
|
|
|
|
u = i |
|
|
|
Оценка дисперсии вычисляется по формуле |
|
|
||
1 |
* |
|
|
|
s2 = — ------ ^ ( х и - х ) 2, |
|
|
||
N — 1 ti«=i |
- т |
( Ь |
) ’] |
|
N Ы |
^ |
|||
или |
|
|
|
|
Знаменатель выборочной дисперсии равен разности между объ емом выборки и числом связей, наложенных на эту выборку. Эта разность f называется ч и с л о м с т е п е н е й с в о б о д ы вы б о р к и .
Для определения |
точности |
оценки |
ajv |
пользуются |
д о в е р и |
||||||||
т е л ь н ы м и н т е р в а л о м |
ajv±e, |
а |
для определения |
надежнос |
|||||||||
ти — д о в е р и т е л ь н о й в е р о я т н о с т ь ю |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Р (aw — 8 < а < |
CLN + |
е) = |
ре, |
|
|
|
|
|
||||
т. е. неизвестное значение параметра а с вероятностью |
ре попадает |
||||||||||||
в доверительный интервал алпЬе. В |
технических |
расчетах |
обычно |
||||||||||
рг = |
0,95. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функцией распределения системы двух случайных |
величин |
(X, |
|||||||||||
Y) называется ф у н к ц и я |
д в у х |
|
а р г у м е н т о в |
F(x, |
у), |
равная |
|||||||
вероятности совместного выполнения двух неравенств: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
( Х < х , |
( Y < y ) , |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Р(х, |
У) = P [ ( X < x ) ( Y < y ) ] . |
|
F(x, у) |
по х |
||||||||
и у |
Вторая смешанная частная производная функция |
||||||||||||
называется п л о т н о с т ь ю |
р а с п р е д е л е н и я |
с и с т е м ы |
|||||||||||
|
|
Цх, у) |
= |
F"Jx, у). |
|
|
|
|
|
|
Случайные величины X и Y называются независимыми~ если за кон распределения каждой-из них не зависит от того, какое значе ние приняла другая. В противном случае величины X и У называют ся зависимыми. Для характеристики системы случайных величин,
описывающей связь между |
ними, |
используется к о р р е л я ц и о н |
ный м о м е н т . Для дискретных |
случайных величин корреляцион |
|
ный момент выражается формулой |
|
|
Rxy = T l i ] |
(*< — т *) - mv)Pii> |
ij
адля непрерывных случайных величин
+00 + оо
Rxy = |
/ jf (х — тх) (у — ту)f (х, |
у) dxdy, |
||
|
|
—оо—оо |
|
|
где тх, ту — математические |
ожидания соответственно случайных |
|||
величин X и У. Характеристика |
|
|||
Гух |
_ |
Rxy _ |
М{(х — пгх) (у — ту)} |
|
-------------------------- |
OxGy |
:---------- |
:----- |
|
|
|
СТх(Уу |
|
где ох, оу— средние квадратические отклонения, |
называется к о э ф |
ф и ц и е н т о м к о р р е л я ц и и в е л и ч и н X |
и Y. Для независи |
мых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю.
Свойства коэффициента корреляции:
1) коэффициент корреляции изменяется от —1 до + 1
—1<гух< 1;
2) коэффициент корреляции симметричен относительно исследу емых случайных величин
Гух — гху\
3)если гху> 0, то случайные величины X и У с точностью до случайных погрешностей одновременно убывают или возрастают; если гжу< 0 , то величини X и У одновременно изменяются в проти воположных направлениях;
4)коэффициент корреляции характеризует степень тесноты ли нейной зависимости между случайными величинами.
|
Некоторые сведения по теории случайных функций |
|
|||||||||||
|
Функция, значение которой при каждом значении |
аргумента |
|||||||||||
(или нескольких |
аргументов) является случайной величиной, назы |
||||||||||||
вается с л у ч а й н о й |
ф у н к ц и е й . |
Конкретный вид, принимаемый |
|||||||||||
случайной функцией в результате опыта, называется |
р е а л и з а ц и |
||||||||||||
ей |
с л у ч а й н о й |
ф у н к ц и и . |
Случайные |
функции |
принято обо |
||||||||
значать так: X(t), |
Y(t), |
|
Z(i) и т. д., |
где t — а р г у м е н т |
с л у ч а й |
||||||||
ной |
ф у н к ц и и |
(в частности, время). |
X(t) |
при |
фиксированных |
||||||||
|
Полное |
описание случайной |
функции |
||||||||||
значениях |
аргумента |
t |
дает о д н о м е р н ы й |
з а к о н |
р а с п р е |
||||||||
д е л е н и я |
возможных |
|
значений |
случайной |
функции |
при |
этом |
зна |
|||||
чении аргумента, описываемый функцией распределения |
Fi(x, |
t) |
|||||||||||
или плотностью распределения / \(х, |
t). |
для |
двух |
фиксированных |
|||||||||
|
Значения случайной |
функции |
X(t) |
значений аргумента t{ и t2 образуют систему двух случайных вели
чин |
Uf[/i], X[t2]} с д в у м е р н о й |
п л о т н о с т ь ю |
р а с п р е д е л е |
|||
ния |
f2 (xu х2, *i, У - Ее знание достаточно для нужд так называемой |
|||||
к о р р е л я ц и о н н о й т е о р и и |
с л у ч а й н ы х |
ф у н к ц и й , |
хотя |
|||
можно рассматривать и УУ-мерные плотности распределения. |
|
|||||
X(t) |
М а т е м а т и ч е с к и м |
о ж и д а н и е м |
случайной функции |
|||
называется случайная функция mx(t) аргумета t, которая |
при |
каждом данном значении аргумента равна математическому ожида
нию значения случайной функции |
при том |
же |
значении |
аргумента |
|||||
|
|
mx(t) = |
+°° |
|
|
|
|
|
|
|
|
J xfi(x, t)dx. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
—oo |
|
|
|
|
|
|
ная |
Д и с п е р с и е й |
случайной |
функции X (t) |
называется |
неслучай |
||||
функция Я*(0 |
аргумента /, которая при каждом |
данном значе |
|||||||
нии |
аргумента равна дисперсии |
значения |
случайной |
функции при |
|||||
том же значении аргумента |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ас(0 = |
|
|
|
О**. |
|
|
||
|
|
—00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для учета связи между значениями случайной функции при раз |
||||||||
личных значениях |
аргумента |
используется |
к о р р е л я ц и о н н а я |
||||||
ф у н к ц и я — это |
неслучайная |
|
функция |
двух |
аргументов tx и t2 |
kxVu У» которая при каждой паре значений t\ и t2 равна корреля
ционному моменту соответствующих значений случайной функции
Rx{tu h) = |
f |
J1 [Х( — mx(;,)] [X2 — mx(t2)]f2 (xh |
x2, tu |
t2)dx\dx2. |
||
|
— oo |
— oo |
|
|
|
|
Аналогично |
можно найти корреляционную функцию связи или |
|||||
в з а и м н у ю |
к о р р е л я ц и о н н у ю ф у н к ц и ю |
двух |
случайных |
|||
функций X(t{) и Y(t2) |
|
|
||||
Rxy(tu h) |
= |
jf |
/ |
[ X - m x{ t { ) } [ Y - mv(t2)]f{x, |
у, tu |
t2)dxdy. |
|
_ |
OO |
_ |
oo |
|
|
В теории случайных функций широко распространена теория стационарных процессов — принимается, что ее математическое ожи дание и дисперсия зависят только от разности аргументов
mx(t) = const, |
At (0 = const; |
Rxx(tb ^2) = Rxx(t2 — ^1) = |
^2— ^1 == |
Основные свойства корреляционной функции стационарной слу чайной функции:
1) дисперсия стационарной случайной функции постоянна и рав на значению корреляционной функции в начале координат
Л«(0) =D x(t);
2) корреляционная функция стационарной случайной функции является четной
Rxx{—т) = Rxx{т) |
3) на практике широко используется нормированная корреляци онная функция
Rxx(Т)
* (т)
Dx(t) :
4) R* (т) является коэффициентом корреляции для случайных
величин, разделенных временем
R* (0) = 1.
X X |
' |
Основные свойства взаимной корреляционной функции:
1) у Я х * ( 0 ) - у я та(0) > | / г * , ( х ) | ;
2) Ryx{т) =*/?„*(-т);
Ryx(т)____
3) RUт)
yDx{t)-']/Dy{t)
4) tf*x(0) = 1.
Большинство стационарных случайных функций обладает важ ным для практики э р г о д и ч е с к и м с в о й с т в о м , сущность которого заключается в том, что по достаточно длинной одной реа лизации x(t) можно судить о всех свойствах случайной функции, не
прибегая к анализу всех ее реализаций. Тогда все характеристики случайной функции можно получить в соответствии с формулами
|
|
|
|
|
г |
|
|
mx(t) = lim |
|
^x(t)dt; |
|
|
|
|
00 |
—т |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
Dx(t) = |
lim - i - |
|
f И 0 —mx(t)]4t-, |
|
|
|
г-» 2T |
|
J |
|
|
|
т |
—т |
|
|
|
|
|
|
|
R*с(т) |
= |
lim — |
Г [*(f) —mx(t)] [x(f + т)— mx(t)]dt\ |
||
|
|
г-*« 2Т |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
Rvx(i) |
= |
Пт |
[Х(0— mx(/)] [y(t + T,)—my(t)}dt, |
||
|
|
Т-+оо |
- Т |
|
|
|
|
|
|
|
где x(t), y(t) — реализации случайных функций.