- •АКАДЕМИЯ НАУК ЛАТВИЙСКОЙ ССР
- •механика
- •материалов
- •СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ, ПРОСТРАНСТВЕННО АРМИРОВАННЫХ КОМПОЗИТОВ*
- •const3
- •КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ В ВОЛОКНИСТОМ КОМПОЗИТЕ
- •РАЗРУШЕНИЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ УГЛЕПЛАСТИКОВ И РЕАЛИЗАЦИЯ В НИХ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ ВОЛОКОН
- •УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХ волокон В МАТРИЦЕ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДОКРИТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
- •РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ВОЛН СДВИГА В ОРТОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТАХ
- •УСТАНОВКА ДЛЯ ИСПЫТАНИЯ КОМПОЗИТОВ ПРИ ОБЪЕМНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
- •МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТА С ХРУПКИМ ВОЛОКНОМ
- •ОБ ОЦЕНКЕ АНИЗОТРОПИИ УСТАЛОСТНОЙ ПРОЧНОСТИ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
- •ТЕРМОУПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ЛОКАЛЬНО НАГРЕВАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ ИЗ СЛОИСТОГО МАТЕРИАЛА
- •НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ НАЛИЧИИ ЗОН НЕИДЕАЛЬНОГО КОНТАКТА СЛОЕВ
- •ОПТИМАЛЬНАЯ ВРАЩАЮЩАЯСЯ ОБОЛОЧКА ИЗ КОМПОЗИТА, НАПОЛНЕННАЯ ЖИДКОСТЬЮ
- •МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КЛАПАНО-АОРТАЛЬНОГО КОМПЛЕКСА ЧЕЛОВЕКА
- •ИССЛЕДОВАНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МИОКАРДИАЛЬНОЙ ТКАНИ
- •шшшпттд
- •Кинетические уравнения. В нашем случае кинетические уравнения
- •СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРОВ УЛЬТРАЗВУКОВОГО И ОБЫЧНОГО РЕЗАНИЯ МЯГКИХ ТКАНЕЙ
- •ДИАГНОСТИРОВАНИЕ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ГИБРИДНОГО КОМПОЗИТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ МЕХАНИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
- •ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДАМИ СПЕКЛ-ГОЛОГРАФИЧЕСКОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ
- •ДИНАМИКА РАЗВИТИЯ ТРЕЩИНЫ И ЭФФЕКТЫ ПОЛЯРИЗАЦИИ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛАХ
- •ВОПРОСЫ ЗАИМСТВОВАНИЯ
- •ТЕРМИНОВ И ТЕРМИНОЭЛЕМЕНТОВ
- •ТЕПЛОФИЗИКА ПОЛИМЕРОВ
Тогда |
вероятность всем старым связям не разорваться в |
агрегате я=* |
|||
= 1 + р |
равна |
|
|
|
|
|
1 — a (n—i)i |
f ТТ Г |
1 - а ( n - t ) t |
у |
|
|
1—а ( / —i)i |
J -Ц 1 l —a(p — i)i |
J ' |
||
|
|
1=1 |
л |
' |
|
Выражение для полной вероятности прочности образовавшегося агре гата имеет вид
^ Рт= ( ^ Р пГА .р "= |
( ^ 5 |
) 2 [1 оь/р]2X |
|
||
Ш |
1—а ( п - i)i у |
ТТ |
Г |
l - a ( n - i ) i |
Т |
1—a ( i —i)i -I |
■“ |
L |
1—a(p —i)i |
J |
Поскольку |
— мюмш юраметр, выражение 1 —<x(n—tn) m можно ап' |
||
ирокшмшрошатпь эгшшшештой^ тогда для dnp/^o будем иметь |
|
||
|
1C |
ехр { - а ( п - т ) т } . |
(2) |
|
3.5 |
|
|
Ошмкепгащ, чпк® |
тага® |
аппроксимация оказывается |
вполне ра- |
зумшщ, лшгашшку «шкшшйчает получение бессмысленного ответа ^нрМ)< пщрш 5 ш шашшшг экспоненциально малую ошибку при п >
>шшаж{{/г^=Ж.
Иоятшшщя! щрадшжшшшунФ аппроксимацию, получаем
Щ л Г - ) ехр { —арIn).
Тагам ©(браэши,, тшршоть (шбэражшания долгоживущего агрегата п из аг-
1
%,^гн"=“2” |
K i , p W itPn fifp = |
Ц-р=п |
|
|
ехр { —a pln}fifP9 |
где КипР— константа скорости эффективных столкновений [4]. |
|
С к о р о с т ь р а с п а д а д о л г о ж и в у щ и х |
а г р е г а т о в . Долгоживущие агрегаты |
могут уходить единственным способом — через образование в конечном счете других долгоживущих агрегатов. Для нахождения константы ско рости этого процесса найдем вероятность того, что столкнувшиеся два агрегата 1\\ р (мы следим за распадом агрегата /) не распадаются с об разованием нового агрегата такой же длины /. Эта вероятность равна вероятности того, что. образовавшаяся связь является прочной, умножен ной на вероятность того, что связь р, отсчитанная от конца I агрегата
л = /+ р , тоже не разорвется |
(рис. 2). |
|
|
|
|
|
В случае, если мы рассматриваем столкно |
||||
вения с р < /, искомая вероятность будет: |
|
||||
I |
|
|
|
|
|
шшшпттд |
Wp,l=pl,pn (4к р Р )п 2 |
|
|||
|
Р<1 |
( < w |
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 2. Схема для расчета |
|
|
\ —а(п —р)р |
у |
|
константы распада агрега |
( - f 5 - ) 2 [ l - a ( « - p ) p ] 2[ |
|
|
||
тов. |
1—« ( / —р)р |
У |
|||
|
|
н е
В противоположном случае (/< р ) |
(<W)n2 |
Wi,v= Pi,Pn |
|
l<v |
М р2 |
= ( " i s ) n - « ( « - / > ) p ] 2[ |
1 - g (n -p )p у |
||
1 —a |
{p —l)l |
||
|
Наконец, в случае p —l вероятность равна
W ,j=P ,j*= |
) 2[ l - a / 2]2. |
Теперь, замечая, что при столкновении I с р = 1 происходит уход из системы сразу двух агрегатов I, и используя аппроксимацию (2), можем записать скорость ухода агрегатов I в следующем виде:
г-i
» Г = X J \ - ^ T ) K i,pexp{-2ap(/+p)}fpfl+
|
р - | |
^ |
|
+ 2 |
N |
|
exp { - 2 a / 2} ft2. |
, -yg- )( K I.P exp { - 2al (р + / fifP) } + 2 ( - у у ) |
Скорость двухстадийного образования агрегатов. В рассматриваемой трактовке процессов образования и разрушения агрегатов оказывается возможным еще один механизм образования долгоживущих агрегатов. Схематично этот процесс изображается следующим образом: /+p-»-rt*->- -+k + m. Возможность этого механизма непосредственно следует из уже ранее отмеченного факта, что растягивающие напряжения, действующие на каждую отдельную связь, в объединенном агрегате превышают нап ряжения, которые действовали на растяжение тех же самых связей в необъединенных агрегатах (см. рис. 1). Звездочка над п означает то, что агрегат п* является короткоживущим (т. е. живет не дольше одного его периода вращения вокруг центра масс в сдвиговом потоке).
Найдем скорость образования долгоживущих агрегатов в этом про цессе. Потребуем, чтобы короткоживущий агрегат п* = 1+р распадался с появлением т . Это требование заключается в следующем: все связи в агрегате п* прочные, кроме связей т и (п* —т ), одна из которых должна
порваться. Вероятность того, что все связи, |
кроме т и (гг*-т ), доста |
|||||
точно прочны, есть |
|
|
р-1 |
|
|
|
|
1 —а(м* —t)t |
|
1 —a(n * —i)i |
|
||
(W i.sY = Л ,Р" |
|
|
О) |
|||
' 1—а(/ —/)/ |
Г1Г[ |
1 —а(р —/)/ Г |
||||
|
|
где штрих у произведения означает исключение из произведений членов / = /п, i = n* —m. Чтобы получить интересующую нас вероятность, надо (3) домножить на вероятность распада хотя бы одной из связей т или (п* —т ) . Окончательное выражение должно иметь вид
|
|
|
/—I |
l - a ( / - / ) t J |
И - |
|
|
|
|
|
П[i= 1 |
1 —a (n* —i)i |
|
||
|
WP,in'-+m=Pi,T |
1 |
—a (n.*—t) t I2 |
ТТ |
Г * » - |
||
|
|
|
|
1 —а (р —/)/ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
В |
(4) произведения уже не содержат штрихов; множитель, учитываю |
||||||
щий это, |
перенесен в ХрЛт ’ которую будем |
вычислять для |
различных |
||||
случаев: |
1) m<Cl, т^>р', 2) ш > /, р > ш ; |
3) |
ш < /, ш <р; 4) |
т~>1, т > р ', |
|||
5) |
p + l = 2m, р^1- |
|
|
|
|
|
Рассмотрим случай 1) т < / , т > р : множитель, обусловленный сня тием штрихов у произведений и входящий в %p,i,m , есть
|
Г |
|
\ —a ( l —m)m |
I2 |
Г |
1 - a (n *- tn ) (l- n * + m) |
V |
|
|
|||
|
1- |
|
1 —а (я* —т ) т |
J |
L |
|
1 —а (я* —/я)/га |
-I |
|
|
||
Вероятность |
того, что связь т |
или (п* —т ) порвется в я*, равна |
|
|||||||||
Г |
|
Г |
1 —а{п* —т ) т |
|
I21 |
Г |
1 —а(п* —т ) т ______I2 |
|
||||
I |
*■ |
1 —а (1—т ) т |
|
J / |
I' |
1 —а ( / + т —я*) (я* —/га) |
J |
|
||||
J j |
|
Г_____ 1—а (п* —т ) т |
|
I2 \ |
Г |
1—а (п —т ) т |
I2 |
|
||||
|
|
I- |
1 —а(1—п* + т ) (я* —т ) J / |
L |
1—а (l—m)m |
J |
(5) |
Первый член в выражении (5) дает вероятность того, что порвется
только т -я связь, а второй — только |
(я* —/га)-я. Полное выражение для |
||||
%p,i,т приобретает вид |
> |
ГГ |
|
||
%р,1,т |
1 —а(1—т ) т |
, - а (п - - т ) ( т - Р ) |
|||
\ —а{п* —т ) т |
J |
U. |
1—а (п* —т ) т |
||
|
Аналогичным образом получаем %р,1,т для других четырех случаев соотношений между р, /, т .
Для упрощения формы окончательного результата введем обот
значения |
|
~\2 ~1; |
|
|
|
|
]2J -1; |
, ч |
[ 1—а(х —т ) т |
, ч |
f 1 - а ( т —х)(п* —т ) |
||||
|
' в м = |
{ ' ' ^ 0; |
|
( 1 |
при |
i = k; |
|
|
th |
to |
при |
i=J=k. |
|
||
|
|
О, х<0; |
|
||||
Функция xp,i,m во всем диапазоне имеет вид |
|
|
|
||||
%p,l,m—(1 — бр,тп) (1 —6l,m) £ (1 — 6p+l,2m) {[gl (О +§2(Р) ]® |
Р) + |
||||||
+ |
[£i (p )+ g 2 (/) ] 0 (р - /) + tei (0 + g i (Р) ]Q (l-m )@ (p -m ) + |
||||||
|
+ tea ( О +g2(p)]®(tn —l)Q(m—p ) } + 25t+p,2m(l —&i,p) X |
|
|||||
|
X t e i ( O 0 ( ^ - P ) + g i ( p ) 0 ( P - O ] |
] • |
(6) |
Теперь выражение для константы скорости образования долгоживу щего агрегата через распад короткоживущего агрегата с учетом аппрок
симации (2) |
имеет вид |
|
|
Gi,pn*-*m = Ki,p (- ^ г ) |
exp {-alpn}%p,i,m\ |
gi (х) = exp {2 а(я *- х)т ) - 1; |
g2(х) = ехр{ 2 а ( п * - т ) х } - 1 . |
|
% P ,i,m определяется формулой (6). |
|
|
Скорость |
двухстадийного прихода агрегатов длиной /га равна |
|
»а ,т+ = 4 - £ |
Gi,Pn' ^ mfifp. |
|
!,р
/+Р>7П
Кинетические уравнения. В нашем случае кинетические уравнения
сводятся к уравнению баланса агрегатов длины п:
|
|
^2,п++ ^1,п = vn ; |
(7) |
|
|
2iV |
<-1 |
|
|
|
|
|
||
|
о |
К рл—р ехР { — |
( t ~ р) t}%ptt-p,nfpft-p■+ |
|
|
f = n + l |
p = l |
|
|
|
|
Kp,n-p exp { —an(n —p ) p }fPfn-p = |
|
|
|
|
n—1 |
|
|
|
|
= j^_j TCn.p exp { |
2a (/i+ p )} fnfp + |
|
|
|
P = I |
|
|
|
N |
|
|
|
+ |
TCn.pexp {- 2 a (n + p )n }/nfp + 2/Cn>nexp { - 2 a n 2}fn2. |
(8) |
||
|
p*n+1 |
|
|
|
Если функция распределения имеет максимум при достаточно больших п (п ^ 1), то очевидно, что отбрасывание последнего члена в правой части уравнения не может внести в решение большую ошибку, поскольку это эквивалентно отбрасыванию всего лишь двух слагаемых из суммы. Для коэффициентов Ki,P может быть использовано выражение, рассчи танное по модели жестких столбиков [4], а %p,i,m задается формулой (6). Верхний предел суммирования N есть максимально возможное число эритроцитов в долгоживущем агрегате. При данной скорости сдвига оно
N2
определяется из условий 1=а-^- Вся зависимость от скорости сдвига в
уравнениях (8) содержится в а.
Полученные кинетические уравнения можно численно решать мето дом итераций. Таким образом, получены кинетические уравнения, позво ляющие рассчитывать функцию распределения агрегатов по длине.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Chien S., Jan К. Ultrastructural basis of the mechanism of rouleau formation —
Microvasc. res., 1973, vol. 5, N 2, p. 155—166.
2 Chien S. Blood rheology. — In: Quantitative cardiovascular studies. Baltimore,
1979, p. 241—287.
3. Попель А. С., Регирер С. А., Шадрина H. X. Об уравнениях кинетики агрегациоииых процессов в суспензии. — Прикл. математика и механика, 1975, т. 39, вып. 1,
с.130—143.
4.Зайко В. М., Зарецкая Ю. В. Определение констант скоростей эффективных
столкновений эритроцитарных агрегатов в крови. — Механика композитных материа лов, 1981, № 3, с. 522—526.
Научно-исследовательский институт |
Поступило в редакцию 19.03.81 |
трансплантологии и искусственных органов |
|
Министерства здравоохранения СССР, Москва |
|