механика композитных материалов, m2., м 1, с. 145—149

УДК 620.1:678.067

В. М. Антоненко, А. Н. Подлипенец, Н. А. Шульга

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ВОЛН СДВИГА В ОРТОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ КОМПОЗИТАХ

При исследовании распространения упругих волн в регулярно-слоис­ тых композитных материалах в точной постановке трехмерной теории упругости рассматривались [1, 2] лишь композиции из изотропных чере­ дующихся слоев. Однако для композитных материалов характерной яв­ ляется анизотропия образующих материал слоев [3]. В настоящей статье

врамках такой модели исследуются объемные волны сдвига (5Я-волны)

вортотропных регулярно-слоистых композитных материалах.

Для исследования объемных волн сдвига (антиплоская деформация) в слоистом композитном материале рассмотрим неограниченную среду —о о< х , у, 2< + оо, образованную повторением порождающего слоя тол­ щины А, состоящего в свою очередь из Q ортотропных слоев различной

причем модули сдвига G2j и плотность р принимают различные.значения для каждого <7-го слоя (q= 1 ,..., Q).

При гармонической зависимости а, оух, оу2 от координаты х предста­ вим их, согласно уравнению (1), для каждого слоя зависимостями

V(x, z) = h[B(n-l)Q+q sin Qq{Z-Zn,q) +

Zntq-\<Z<Zn,q\ n = 0, ±1, . . . ; 9=1, ...» Q; Zn,o = Zn-l,Q .

Здесь fi(n-i)Q+g(i) — неизвестные постоянные; dq = QqG2z,q; при pg(o2 —

Pgco2—G2i>gA2< 0 полагаем Qq = i (G2\)(2k2 —рдсо2) G2ztq-l= Qq и e g= + l ив формулах (2) заменяем тригонометрические функции на гиперболиче­

ские: sin Qg(z—Zn,g)-^sh Qq(z —zn>q) ; cos Qq(z —zn>(Z->ch £lq(z —zn,q).

В результате подстановки решения (2) в условиях сопряжения v(x,zn,q-0) = y (x ,2 n>g + 0); oyz{x,zn,q-0) =Gyz(x,zn)q + 0) получим беско­ нечную систему однородных алгебраических уравнений относительно не­ известных

N (du 0) B(n-i)Q+i = A^(d2, 02) B(n-i)Q+2;

Вычислив ht>Qпо формуле (8), найдем оба характеристических числа xv (v= 1,2):

Правомерность формулы (8) для KQq подтверждается переходом в реше­ нии для кусочно-однородной среды к частному случаю однородной среды. Положив G2j,i= ••• = G 2j,Q = G2j, p i= ••• = P Q = P , найдем, что bQ= cos Ш , На основании формулы (8) определяем h^Q:

два принципиально различных случая [4], которые охватывают решение

(2). Во-первых, это распространение волн вдоль плоскостей раздела слоев материала; при этом k является подлежащим определению волно­

ров со, k выделяет зоны пропускания волн; однозначная зависимость вол­ нового числа k от частоты со выделяется лишь при фиксированной перио­ дичности решения по координате z (заданием величины £Q). Во-вторых,

где (nXiq\ tiZtq) — направляющие косинусы нормали к фазовой плос­ кости, связанные зависимостями nX)q2+ n Ztq2= l\

СФ,Я=21/ (^21 ,qftx,q2-\~ G2^tqtlZiq2) рq 1

фазовые скорости объемных волн в материале q-ro слоя. Первое из этих условий представляет собой закон Снеллиуса [4]. Среди пХА (q= 1 ,..., Q) будут величины, как меньшие, так и большие единицы, т. е. среди =

= y i — n Xtq2 могут появиться мнимые величины. В СЛОЯХ С МНИМЫМИ n Ziq будет наблюдаться эффект просачивания волны через слой [4].

Согласно зависимостям (2), (4), (9) экспоненциальные множители

ось Oz. Фазовая и групповая скорости, а также направление распростра­ нения этой волны определяются обычным образом [4] через частоту и волновой вектор (£$,£)• Отсюда в частности следует, что при распростра­ нении огибающей волны вдоль оси Ох (вдоль плоскостей раздела слоев) необходимо положить £Q= 0, т. е. дисперсионное соотношение (7) для этого случая принимает вид bq{k, со) = 1. А это значит, что период реше­ ния по оси Oz совпадает с периодом структуры и равен h. Волновое дви­ жение в направлении оси Ох, периодичность которого отлична от А, можно организовать суперпозицией решений с экспоненциальными мно­

жителями exp(±ih^Q) ) exp ( —J7I£Q).

В длинноволновом приближении дисперсионное соотношение (7) при­ нимает вид

G 23£Q 2 = рсо2 - G 21 k 2y ( H )

где (?2j, p — приведенные модули и плотность, определяемые но теории

Pi = 0,7 (см. рис. 2—а). Отношение этих параметров выбрано характер­ ным для стеклопластиков со слоями, армированными вдоль оси Ох (пер­ вый слой) и вдоль оси Оу (второй слой). Сплошными линиями отмечены границы этих зон Ь2= + \, а штриховыми — границы b2= —1. Безраз­ мерная частота hk2\i2 = fml/^2IG2\^.

При & >m ax(£2i,i;£21,2), где ^2i,g= ^Vpg/G2i,9, коэффициент b2> 1 при всех со> 0 и допустимые решения уравнений Ь2(со,k) = ± 1 ограничены ус­

= -r^-hk2\,2, где C2i=yG 2i/p — определяемая по теории эффективных мо­

дулей скорость распространения волн ядоль структуры материала. Сов­ падение этой границы с ее приближенцЬш значением для данного мате­ риала наблюдается на большом участие безразмерной частоты hk2,f2. С ростом параметра Pi плотность зон пр0ПуСкания волн уменьшается, а сами они расширяются.

Рис. 2. Пояснения в тексте.