Механика композитных материалов 2 1982

Рассмотрим вывод дисперсионного уравнения для случая, когда ре­ шение уравнений (2.6) — (2.10) имеет вид

В выражениях (2.11) —(2.15) /„(a), Nn(a), 1п{а), Кп(а) — цилиндри­

ческие функции Бесселя.

Подставляя (2.11) —(2.15) в уравнения (1.1) —(1.6), после неслож­ ных преобразований получаем систему девяти линейных однородных алгебраических уравнений. Из условия существования нетривиального решения выводим дисперсионное уравнение, описывающее распростра­ нение волн в предварительно напряженном полом несжимаемом ци­ линдре, содержащем вязкую сжимаемую жидкость в виде

«1з(/п, In+i, yi2,R — h) = ik{2yin\2h3~2(R — h)~4n+i[yi (R —Л)] +

+[2р12Хз-’2 (R —h) ~2n (1 —ra) + (—2A.3-2pi2—Хз—2А12+Яз—2Оц—Язр,1з)у12+

+р(02—(Язр1з+сгзз0)^2]/п[у1 (R—h)]};

au=ai3( —Kn+i,Kn,yi2,R —h)-, 'ai5=ai3(—Jn+u Jn, —y22,R —h); ai6=ai3( - N n+uNn, - y ? ,R - h )\

«17= - { 2p*y4/n+i [У4 (R ~ h)} + [ 2p*n (R - h) ->- i - v*p*0y42+

.+ 4 V pV 2- 4 v*Va0-4ak2+ 4 v*X*a0- 2/coy42- p*0to -

- Г а 0-2со2 ]/„[у4(R -h)]} /со;

.«is= —2ц*п (R —h) -•to { (га — 1) (R - h)-Чп [ys {R ~ h) ] +

+Т5^п-н[у5(^—Л)]}; ai9 = +2р*£со| J n2(R —h )-2 — n(R — h)~2+

а31 (/п+ь /п, уз, R — h) = р12Х3- 2{[2га (R -h) ~2- 2 п 2 (R - h ) ~ 2+ + Уз2]/» [уз (R — h)]—2у3 (R - h)-Чп+i [уз (R-h)]};

аз2=а31(Nn, Nn+Uу3, R — h); а33(/„, In+u yi, R — h) =

= - 2li l2nikK3- 2 {(R - h) -2 (1- n) In[y, (/?- A)]- y, (R - h) —*/n+i[yi (R - h) ]};

аз4= «зз(Ап, —Kn+uyu R — h); a35= a33(Jn, —/п+ь y2, R — h);

а 3б=а3з(Л/п, - N n+uy2,R - h ); a37= 2p*ra/co{(ra-1) {R -h)~2In[yi{R-h)] +

~ ~ 2 + ъ ? \ / n [ v s ( ^ - Л )] + Y s ( ^ - Л)- ^ n + i [ T S (i ? — Л ) ] } ;

Нетрудно видеть, Что если тело не взаимодействует с жидкостью, то (4.2) переходит в уравнение для волн Рэлея

В случае идеальной сжимаемой жидкости из (4.2) получаем уравне­ ние для определения скорости волн Стоунли:

Сравнительный анализ уравнений (4.1) и (4.2) показывает, что для реальных высокоэластических материалов, допускающих большие на­ чальные деформации, определение величин скоростей волн должно про­ водиться в рамках модели предварительно напряженного тела, так как для таких материалов возможны значительные изменения их величин под действием начальных напряжений.

В заключение заметим также, что из уравнений (4.1) и (4.2) следует, что в отличие от волн Рэлея и Стоунли волны в системе упругое тело— вязкая жидкость обладают дисперсией и являются затухающими.

fluid contained in an initially stressed elastic tube. — Biophys. J., 1966, vol. 6, p. 481—503.

5.Ранее А. И. Распространение пульсовой волны в артериальных сосудах с уче­ том предварительных напряжений и мышечной активности. — Механика полимеров, 1978, № 2, с. 301—311.

6.Багно А. М. О распространении малых возмущений в системе предварительно напряженный несжимаемый цилиндр—жидкость. — Прикл. механика, 1980, т. 16, № 6,

с.40—45.

7.Багно А. М. О распространении продольных волн в предварительно напряжен­

ном сжимаемом цилиндре, содержащем жидкость. — Прикл. механика, 1980, т. 16,

№8, с. 30—34.

8.Гузь А. Н. О задачах аэрогндроупругости для тел с начальными напряже­

И.Конин Н. Е., Кабель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М., 1948.

Ч.Ц 539 с. Ч. 2. 612 с.

12.Седов Л. И. Механика сплошной среды. М., 1976. Т. 2. 576 с.

13.Гузь А. Н. О представлении общих решений линеаризированной теории упру­

гости несжимаемых тел. — Докл. АН УССР. Сер. А, 1975, N° 12, с. 1092—1095.

14. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математиче­ скими таблицами. М., 1979. 830 с.

звуковым методом; исследовали степени ориентации на основе диаграмм рентгеновской дифракции.

При термообработке предварительно невытянутых волокон, находящихся в свобод­ ном состоянии, в интервале различных температур наблюдали спонтанное удлинение образцов до — 10% при температуре 160° С. У термообработанных волокон отмечено увеличение упорядоченности структуры по сравнению с исходными образцами (рис. 1). Исходный образец имеет смектическую структуру, и поэтому на основе рентгеновских измерений нельзя судить о степени его кристалличности и о размерах кристаллитов. Но у термообработанных образцов наблюдаются явные кристаллические рефлейсы. На рис. 2 показано изменение степени кристалличности образцов волокна А, определенной на основании разных методов. Можно предйоложить, что увеличение кристалличности в значительной мере связано с явлениями спонтанной ориентации. Для объяснения ме­ ханизма этого процесса изменение ориентации было исследовано различными методами.

Об изменении ориентации с увеличением температуры термообработки судили по показателям двойного лучепреломления и динамического модуля упругости. Затем на основе рентгенограмм под большим углом рассчитывали фактор кристаллической ориен­ тации (рис. 3—а). Полученные значения динамического модуля упругости и фактора кристаллической ориентации были использованы для определения степени ориентации аморфной составляющей структуры (рис. 3—б) [2].

Из сопоставления результатов получаем, что после термообработки волокна ориен­ тация как в кристаллической, так и в аморфной области структуры значительно увели­ чилась по сравнению с исходным образцом волокна.

С учетом того, что термообработку проводили без приложения внешнего механиче­ ского поля, можно предполагать, что возрастание ориентации связано в основном с воз­ никновением в волокне направленной кристаллизации и перекристаллизации. Значитель­ ную роль в этом процессе играют ориентированные зародыши кристаллитов, образовав­ шиеся первоначально при формовании. Именно поэтому при термообработке в свобод­ ном состоянии кристаллизация и перекристаллизация протекают направленно. Следует отметить, что в исходном состоянии аморфные цепи были ориентированы перпендику­ лярно оси волокна, а при возрастании температуры термообработки направление ориен­ тации изменилось и стало параллельным оси волокна.

Для подтверждения нашего предположения о роли ориентированных зародышей был исследован процесс самопроизвольной ориентации у невытянутых волокон, имею­ щих различную первоначальную ориентацию. Для этого эксперимента волокна изготов­ ляли из гранулята с меньшей молекулярной массой, причем скорость намотки изменя­ лась, т. е. менялась кратность вытяжки при формовании.

Для наблюдения за процессом спонтанной ориентации применяли метод двойного лучепреломления (рис. 4). Полученные данные показывают, что первоначальная ориен­ тация в волокне сильно влияет на увеличение степени ориентации при последующей термообработке. Волокна с большей первоначальной ориентацией при термообработке испытывают большую самопроизвольную ориентацию.

Получено, что кривая, определяющая изменение спонтанной ориентации в зависи­ мости от температуры термообработки, имеет максимум, однако волокна с малой пер-

Композитный материал получали уплотнением при повышенных температурах пакетов, набранных из однонаправлеино армированных полуфабрикатов. В качестве мат­ рицы использовали магниевый сплав МА8. Армирование проводили волокнами SiC диа­ метром 100 мкм, полученными осаждением на вольфрамовой нити диаметром 12 мкм. Объемное содержание волокон в композитном материале составляло 18%. Из армиро­ ванных пластин толщиной 1 мм электроискровым методом вырезали плоские образцы с сечением рабочей части 1X3 мм [3]. Испытания образцов на кратковременную проч­ ность при температурах 293—673 К проводили на шестипозиционной разрывной уста­ новке, а на длительную — на двенадцатипозиционной установке радиального типа [3]. Испытания при повышенных температурах осуществляли в атмосфере очищенного ар­ гона; во всех случаях нагрузка прикладывалась вдоль оси волокон.

Как показывают полученные результаты (рис. 1), в исследованном температурном интервале прочность композиций (ак) значительно выше прочности матрицы. Особен­ ностью исследованного армированного материала является то, что с ростом темпера­ туры испытания эффект упрочнения увеличивается. Так при температурах 293, 473 и 573 К прочность композиции соответственно в 1,5, 2,9 и 13 раз выше, чем у материала матрицы. С ростом температуры испытания пластичность композитного материала прак­ тически не изменяется (кривая 2” рис. 1).

Анализ поверхностей изломов образцов, испытанных на растяжение, показал, что при всех температурах испытания волокна SiC разрушаются хрупко, сколом. При по­ вышенных температурах наблюдается многократное дробление волокон в зоне разру­ шения образца. Разрушение магниевой матрицы при всех температурах присходит по вязкому механизму. ПовыЛёние температуры испытаний усиливает процессы пластиче­ ской деформации матрицы, и в результате этого степень деформации на границе раз­ дела волокно—матрица увеличивается, что приводит к дроблению волокон и снижению характеристик прочности данного материала. Пластичность лишь незначительно возрас­ тает, что связано, очевидно, с ограничением процессов скольжения в матрице, армиро­ ванной хрупкими волокнами.

На рис. 1 представлена также зависимость удельной прочности исследуемых компо­ зиций от температуры (кривая 2'). Как видно из этих данных, удельная прочность ис­ следованных материалов для всех температур испытания выше таковой сплава МА8 (кривая Г). С повышением температуры разница между величинами удельной проч­ ности композиций и исходного материала возрастает. Так, например, при 293 К удель­ ная прочность композиции в 1,2 раза выше, чем матрицы, в то время как при 473 и 573 К — в 2,4 и 11 раз соответственно.

б к/2Гк км

2'. Г).

Для несущих слоев используются гипотезы Кирхгофа—Лява. Уравнения равнове­ сия 6-го несущего слоя (6=1,2) имеют вид [5] (индекс 6 для простоты записи опущен)

Здесь Ti t Q, M\ — внутренние усилия и момент; qz+, qz~y qr+, qr~ — проекции поверх­ ностных нагрузок на оси z, г; R, t — радиус срединной поверхности и толщина несу­ щего слоя; 0 — угол поворота нормали к срединной поверхности несущего слоя. Удли­ нения еп, в22, угол поворота 0 и изменение кривизны к связаны с перемещениями и, до срединной поверхности соотношениями [5]

Зависимость между силовыми факторами и перемещениями в несущих слоях зада­ ется на основе тех же соотношений закона Гука для ортотропного тела, что и ранее для

Здесь (Trr, cTrz, wr, Uz — напряжения и перемещения в заполнителе на границе сопряже­ ния с 6-м несущим слоем. В соотношениях (5) индекс 6 для простоты записи опущен.

Граничные условия для системы дифференциальных уравнений в частных произ­ водных (1) — (4) на контурах z= 0, / (/ — длина оболочки) ставятся для заполнителя относительно a r r , orZi иг> иг и для несущих слоев относительно Т\у Q, Ми и, до, 0. Для

решения поставленной задачи используется метод прямых, суть которого заключается в замене на прямых, параллельных оси г, частных производных по координате г их ко­ нечно-разностными аналогами. Используются центральные и крайние конечно-разност­ ные соотношения второго порядка точности. В итоге система уравнений в частных про­ изводных (1) — (4) приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 4N+12 (N — число прямых), которая в векторной форме имеет вид

тод последовательных приближений Ньютона—Канторовича. Устойчивость решения ли­ нейной краевой задачи, полученной с помощью линеаризации, достигается использова­ нием на каждом этапе интегрирования метода ортогональной прогонки [7]. Процесс пре­ кращается при достижении заданной точности е.

Разработанный алгоритм реализован на языке АЛГОЛ-60 для БЭСМ-6. Правиль­ ность его работы проверялась при сравнении полученных результатов с известными ре­ шениями ряда геометрически нелинейных и линейных задач однослойных и трехслойных оболочек [1, 2, 6]. Во всех случаях получено хорошее совпадение результатов.

Приведем примеры расчета.

1. Рассмотрим сжатие трехслойной цилиндрической оболочки равномерной осевой нагрузкой. Оболочка имеет длину /=0,37 м, наружный радиус /?о= 0,5 м, толщины несущих слоев /i = /2 = 3 мм, толщину заполнителя Я3=100 мм. Модули упругости не-