Математические основы криптологии и криптографические методы и средс

Это обычные школьные правила, но их надо не запоминать, а выводить из аксиом поля. Посмотрим, как это делается для второго правила. Пусть х = а/Ь и у = c/d - решения уравнений Ьх = а и dy = с.

Подполем F поля P называется подкольцо в P, само являющееся полем.

Пример 42. Поле рациональных чисел Q - подполе поля веще­ ственных чисел R.

В случае Fez Р говорят также, что поле Р является расширением своего подполя F. Из определения подполя следует, что ноль и еди­ ница поля Р будут содержаться также в F и служить для F нулем и единицей. Если взять в Р пересечение F\ всех подполей, содержа­ щих F и некоторый элемент а^Р , не принадлежащий F, то Ft будет минимальным полем, содержащим множество {F,a}. Говорят, что расширение Ft поля F получено присоединением к F элемента а, и отражают этот факт в записи Fi = F(a). Аналогично можно гово­ рить о подполе F\ = F{a\,...a„) поля Р, полученном присоединением к F п элементов а\,...а„поля Р.

Пример 43. Небольшая проверка показывает, что {?(V2 ) совпа-

дает с множеством чисел поскольку

Поля Р и Р' называются изоморфными, если они изоморфны как кольца. По определению ДО) = 0 ' иД1) = 1' для любого изоморфного отображения f Не имеет смысла говорить о гомоморфизмах полей, так как

Кег / ф 0 =>Дя) = 0, а ф 0 =>Д1) = Д а а 1) =Да)Да ') = ОДа1) = = 0 => ДЬ) =ДЩ = ОДЬ) = О Vb => K e r/= Р.

Напротив, автоморфизмы, т.е. изоморфные отображения поля Р на себя, связаны с самыми глубокими свойствами полей и являются мощным инструментом для изучения этих свойств.

1.2.15. Поля Галуа

Ранее было построено конечное кольцо классов вычетов Zm с элементами 0,1,...т —1 и операциями сложения и умножения. Если т =st, s > 1, t > 1, то st = m = 0, т.е. s и t - делители нуля в Zm. Если т = р - простое число, то справедлива

Теорема 10. Кольцо классов вычетов Zmявляется полем тогда и только тогда, когда т = р - простое число.

Доказательство. Нам достаточно установить существование для каждого se Z p обратного элемента s' е Zp (целые числа s и s' нс должны, очевидно, делится нар).

Рассмотрим элементы s, 2 s,..., (р —1)s. Они все отличны от нуля, так как s ф 0(mod т) => ks Ф0(mod т) при к = 1,2, ..., р - 1. Здесь ис­ пользуется простотар. По этой же причине элементы s, 2s, ..., (p - l)s все различны: из As = Is, к<1 следовало бы ( / - k)s = 0, что неверно. Итак, последовательность элементов s,2s, ..., ( p - l) s совпадает с по­ следовательностью переставленных каким-то образом элементов 1,2, ..., р —1. В частности, найдется s', 1 < sr < р -1 , для которого s's = 1, т.е. s' - обратный к s элемент. Теорема доказана.

Следствие (малая теорема Ферма). Для любого целого числа

т, не делящегося на простое число р, имеет место сравнение: n f y= l(mod т).

Доказательство. Мультипликативная группа Z*p имеет порядок р - 1. Из теоремы Лагранжа, утверждающей, что порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгруппы, следует, что р - 1 делится на порядок любого элемента из Z*p. Таким образом, 1 = (т Г 1=m f x, т.е. п Г х- 1 = 0 . Следствие доказано.

1.2.16. Кольцо многочленов

Многочлены составляют старый и хорошо изученный раздел традиционной алгебры. На языке многочленов формулируются или

решаются самые различные задачи математики. Тому есть множест­ во причин, и одна из них заключается в свойстве универсальности кольца многочленов.

Пусть К - коммутативное кольцо с единицей 1, А - некоторое его подкольцо, содержащее 1. Если t e K, то наименьшее подкольцо в К, содержащее А и/, будет, очевидно, состоять из элементов вида

a(t) = «о + a\t + а2? + ... + anf , (*),

где а, е A, n e Z , и>0. Мы обозначим его символом A\t\ и назовем кольцом, полученным из А присоединением элемента t, а выражение

(*) - многочленом от t с коэффициентами в А. Что понимать под сум­ мой и произведением многочленов, видно из простейшего примера.

Пример 44

a(t) + b(i) = (ад + d\t + а2?) + (bo + bit + bit1) = (во + bo) +

+ (ei + b\)t + («2 + bi)^.

a(t)b(t) = abg + (e06i + афо )t + (воb2+ афх+ афо)? +

+ (аф2+ a2bi)f + a2b21*.

Очевидно, что приведение подобных членов в A[t] основано на попарной перестановочности всех элементов a,-, bj, f

Теперь самое время вспомнить, что t —наугад взятый элемент кольца К, и поэтому внешне различные выражения (*) могут на са­

формальных правил. Чтобы прийти к привычному понятию много­ члена, необходимо освободится от всех таких побочных соотноше­ ний, для чего под t следует понимать произвольный элемент, не обя­ зательно содержащийся в К. Он призван играть чисто вспомогатель­ ную роль. Гораздо большее значение имеют правила, по которым составляются коэффициенты выражений a(t) + b(t), a(t)b(t). Имея в виду эти предварительные замечания, перейдем к точному опреде­ лению алгебраического объекта, называемого многочленом, и собра­ ния таких объектов - кольца многочленов.

Пусть А - произвольное коммутативное кольцо с единицей. По­ строим новое кольцо В, элементами которого являются бесконечные упорядоченные последовательности:

такие, что все /•, кроме конечного их числа, равны нулю. Определим на множестве В операции сложения и умножения, полагая

f + g = (ftofhfb ...) + (go, gi, gb •••) = (fo +go,fi +guf:i +gb ...),

и умножения получится снова последовательность вида ( 1) с конеч­ ным числом отличных от нуля членов, т.е. элементов из В. Проверка всех аксиом кольца, кроме, разве, аксиомы ассоциативности, очевид­ на. В самом деле, поскольку сложение двух элементов из В сводится к сложению конечного числа элементов из кольца А , (В, + ) является абелевой группой с нулевым элементом (0 , 0 , ...) и элементом- / = = (-/« , ~ /ь ~ /ь обратным к произвольному/ = (fo,fi,/i, .••)• Да­ лее, коммутативность умножения следует непосредственно из сим­ метричности выражения элементов hkчерез f и g j. Это же выражение показывает, что в В выполнен закон дистрибутивности (f + g)h ~ =fh +gh. Что касается ассоциативности операции умножения, то

результат. Итак, В - коммутативное кольцо с единицей (1,0,0,...). Последовательности (а, 0 , 0 , ...) складываются и умножаются

так же, как элементы кольца А. Это позволяет отождествить такие последовательности с соответствующими элементами из А, т.е. по­ ложить а = (а, 0, 0, ...) для всех аеА . Тем самым А становится под­ кольцом кольца В. Обозначим далее (0, 1, 0, 0,...) через X и назовем X переменной (или неизвестной) над А. Используя введенную на В операцию умножения, получим

Х= (0 ,1, О, О,...),

Х2 = ф, 0,1,0,...),

fi, ...ftв правой части (3) - это члены последовательности (fa f b ...fa 0,...), которая равна нулю тогда и только тогда, когда /о=/1 = ...= /я = 0.

Введенное таким образом кольцо В обозначается через А[Х\ и называется кольцом многочленов над А от одной переменной X , а его элементы - многочленами (или полиномами).

Введение заглавной буквы X - намеренное, чтобы отличить наш специально выделенный многочлен f = X от теоретико-функциона­ льной переменной х , пробегающей какое-то множество значений. Это чисто временное соглашение, придерживаться которого в будущем не обязательно. Более привычной является запись многочлена/ в виде

Д X) = а0 + а{х 1+ а2х 2+ ... + а„хп,

или

f(X) = а<ьхп+ а\Хп~1+ aixn~2+ ... + ал_\Х + а„.

Элементы а-,называются коэффициентами многочлена f. Много­ член / - нулевой, когда все его коэффициенты равны нулю. Коэффи­ циент при х в нулевой степени называется еще постоянным членом. Если апф 0 (а0ф 0), то ап (а0) называют старшим коэффициентом, а /I - степенью многочлена и пишут п = deg / Нулевому многочлену приписывают степень -оо.

Роль единицы кольца А[Х\ играет единичный элемент 1 кольца А , рассматриваемый как многочлен нулевой степени. Непосредст-

Говорят, что элемент Ье К делится на а € Л" (или Ь кратен а), ес­ ли существует такой элемент с е ЛТ, что Ь = ас (обозначается а\Ь). Ес­ ли а\Ь и Ь\а, то а и b называются ассоциированными элементами. То­ гда Ь = иа, где и|1. В силу сделанного выше замечания ассоцииро­ ванность многочленов/ g€A[X] означает, что они отличаются обра­ тимым множителем из А.

Элемент р е К называется простым (или неразложимым), если р необратим и его нельзя представить в виде р —ab, где а, Ь - необратимые элементы. В поле Р каждый ненулевой элемент обра­ тим, и в Р нет простых элементов. Простой элемент кольца А[Х] на­ зывается чаще неприводимым многочленом.

Отмстим следующие основные свойства отношения делимости

вцелостном кольце К.

1.Если а\Ь и Ь\с, то а\с. Действительно, мы имеем b = ab', с =Ьс',

где Ь',с' е К. Поэтому с = (ab'ус' = а(Ь'с').

2. Если с\а и с\Ь, то с\{а ± Ь). В самом деле, по условию а = са\ b - c b ' для некоторых a',b’G К, и ввиду дистрибутивности а ± Ь -

= с(а'±Ь г).

3. Если а\Ь, то а\Ьс. Ясно, что b = ab' => b e - (ab'yc = а(Ь'с).

4. Комбинируя 2 и 3, получаем, что если каждый из элементов b\,b2,..., bmG К делится на а е К, то на а будет делиться также элемент b{Cf + b2c2+ ... + Ьтст, где сьсг,...ст- произвольные элементы.

Теперь введем понятие, которое нам понадобится в дальнейшем. Говорят, что целостное кольцо К - кольцо с однозначным разложе­ нием на простые множители (или К - факториальное кольцо), если любой элемент а ф0 из К можно представить в виде

a = uptp2...p„

где «-обратимый элемент, а РьРъ---Рг~ простые элементы (не обя­ зательно попарно различные), причем из существования другого та­ кого разложения a = v q\q2...qsследует, что r =s, и при надлежащей нумерации элементов р, и qj будет q\ = U\pu ...qr = u,pn где «1,«2,...Игобратимые элементы.

Допуская в равенстве а = и р\р2... р гзначение г = 0, мы прини­ маем соглашение, что обратимые элементы в К тоже имеют разложе­ ние на простые множители. Ясно, что если р - простой, а и - обратимый элемент, то ассоциированный с р элемент up - тоже про­ стой. В кольце Z с обратимыми элементами 1 и -1 отношение поряд­ ка (а < Ь) дает возможность выделить положительное простое число р из двух возможных простых элементов ±р. В кольце Р[Х\ удобно рассматривать унитарные (с равным единице старшим коэффициен­ том) неприводимые многочлены.

Справедлива следующая общая Теорема 13. Пусть К - произвольное целостное кольцо с разло­

жением на простые множители. Однозначность разложения в К (факториальность К) имеет место тогда и только тогда, когда любой про­ стой элемент р е К, делящий произведение ab е К, делит по крайней мере один из множителей а, Ь.

Без доказательства.

В произвольном целостном кольце К элемент а Ф0 вообще не обязан допускать разложение типа а = ир\р2...рт.Что более интерес­ но, имеются целостные кольца, в которых разложение на простые множители хотя и возможно, но не является однозначным, т.е. усло­ вие теоремы 13, кажущееся тривиальным, не всегда выполняется.

Пример 45. Рассмотрим мнимое квадратичное поле Q

Х= «Х1Х2---Xr# о , в = ±1, тоN(y) =N(xl)...N(ys). Поскольку 1 <N(yJ) eZ, то при заданном х число множителей г не может неограниченно расти. Стало быть, разложение на простые множители в К возможно.

Вместе с тем число 9 (да и не только оно) допускает два сущест­ венно различных разложения на простые множители:

9 = З'З = (2 + л/-5 )*(2- л П ) . Неассоциированность элементов 3 и 2± у/—5 очевидна. Далее

N(3) = N(2± -/-5 ) = 9. Поэтому из разложения %= Для X = 3 или

с необратимыми ХьХгследовало бы 9 = 7V(x) = Л'СсОМХг)» т.е. 7V(x,) = 3, i = 1,2, что невозможно, поскольку уравнение х2 + 5у 2 = 3 с

x,y&Z неразрешимо. Этим доказана простота элементов 3 и 2±V—5 .

1.2.19. Факториальность евклидовых колец

Алгоритм деления с остатком в Z и £[А] делает естественным рассмотрение целостного кольца К в котором каждому элементу аф 0 поставлено в соответствие неотрицательное целое число 6 (a), т.е. определено отображение

а*Р\Х\, мы приходим к выводу, что ги Р [Х \ - евклидовы кольца.

В евклидовых кольцах существует способ нахождения НОД(а,6 ), называемый алгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида и заключающийся в следующем. Пусть даны ненулевые элементы а,Ь евклидова кольца К. Применяя достаточно большое (но конечное) число раз предписание (£2 ), мы получим систему равенств типа (7) с последним нулевым остатком:

a = q\b + гь 8 (г,) < 6 (6 )